\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{hhline}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{xcolor,colortbl}
\usepackage{pstricks,pst-all,pst-plot,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot,pst-func}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{pifont}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty=10000 
\tolerance=2000
\emergencystretch=1em
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
%\newcommand{\C}{\mathds {C}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 9 janvier 2016}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 4}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES 3\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}
\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{sujet a}}}
\end{center}

\exo 

\medskip
 
 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.  On sait que  :
\begin{itemize}
	\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $-1$ est parallèle à l'axe des abscisses.
	\item Le point $B\left(0 ; 2\right)$ est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.	
	\item La tangente au point  $B$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point de coordonnées $(1;1)$.
\end{itemize} 
 
 On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$. 
 
\begin{center}
\psset{unit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-6,-6)(10,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(x+2)*EXP(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(10,8)
\psset{unit=1cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(5,4)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.3}{5}{\f}
\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.5,2.71828)(-.5,2.71828)
\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.5,3.5)(1.5,.5)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,2.71828)(0,2)
\uput[ul](5,0){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}\uput[ul](-1,2.7){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ur](0,2){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

À partir du graphique et des renseignements fournis :
\begin{enumerate}
	\item Déterminer $f'(-1)$ et $f'(0)$.
	\item Donner le tableau de variation de la fonction dérivée $f'$.
\item  Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et l'autre celle de $f''$.

Déterminer la courbe qui représente la dérivée $f'$ et celle qui représente la dérivée seconde $f''$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering\arraybackslash}X}}
\psset{unit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{2*(x+1)*EXP(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-3)(5,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-3)(5,4)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.378}{5}{\f}
\end{pspicture}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{x*EXP(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-5)(5,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-5)(5,2)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.32672}{5}{\f}
\end{pspicture}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{-x*EXP(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-2)(5,5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.32672}{5}{\f}
\end{pspicture}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5,5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{-(x+1)*EXP(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-2)(5,5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.81455}{5}{\f}
\end{pspicture}\\
Courbe $C_1$ & Courbe $C_2$ & Courbe $C_3$ & Courbe $C_4$\\ 
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=(x+2)\e^{-x}$. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer, $f'(x)$.
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}
 
 \pagebreak
 
 \exo
 
 \medskip
 
Une entreprise agroalimentaire fabrique des plats cuisinés destinés à la consommation. Ces préparations culinaires sont d'abord conditionnées dans des emballages sous vide puis étiquetées.

Le conditionnement de ces préparations peut présenter deux défauts : un emballage sous vide défectueux ou l'absence de la date limite de consommation sur l'étiquette.

\medskip
 
 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Une étude statistique a permis de constater que :
\begin{itemize}
\item 5\,\% des préparations ne sont pas correctement emballées ;
\item la date limite de consommation est absente sur l'étiquette de 20\,\% des préparations qui ne sont pas correctement emballées et sur 2\,\% des préparations  correctement emballées.
\end{itemize}

On prélève au hasard une préparation destinée à la vente et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $E$ : \og  le plat est correctement emballé \fg{} ;
\item $D$ : \og  l'étiquette comporte une date limite de consommation \fg{}.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :

\medskip

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$E$}~}\naput{\prune\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$D$}}\naput{\prune\ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{D}$}}\nbput{\footnotesize{\bleu{$0,02$}}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{E}$}~}\nbput{\prune\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$D$}}\naput{\prune \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{D}$}}\nbput{\prune\ldots}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item Calculer la probabilité de l'évènement $E \cap \overline{D}$.
\item Montrer que la probabilité d'une date limite de consommation absente sur l'étiquette est égale à  0,029.
\item La date limite de consommation ne figure pas sur l'étiquette, quelle est la probabilité que la préparation soit correctement emballée ?
	\end{enumerate}
	
\medskip
 
 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

Les préparations culinaires correctement emballées sont commercialisées par l'entreprise. 

On rappelle que parmi celles-ci, 2\,\% n'ont pas de date limite de consommation.

\medskip

Un supermarché passe une commande de 100 plats cuisinés. Le stock est suffisamment important pour assimiler cette commande à un tirage aléatoire avec remise. 
 
 \medskip
 
Pour un lot de 100 préparations, on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de préparations sur lesquelles on note l'absence de date limite de consommation.

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.  
\item \begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P(X = 0)$ et interpréter le résultat à l'aide d'une phrase. On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\item En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité $P(X \geqslant 1)$.
\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer $P(X \geqslant 5)$. 
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a : }}  Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 7,5]$ par $f(x) = - x^2 +11x-9 \ln (x)-10$.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-2,-4)(18,13)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{-x^2+11*x-10-9*ln(x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-4)(18,13)
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-2)(9,6.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{7.5}{\f}
\uput[ur](7.5,-2){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 7,5]$, on a  $f'(x) = \dfrac{-2x^2+11x-9}{x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[1 ; 7,5]$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.
	\end{enumerate}

\item La dérivée seconde de la fonction $f$ est la fonction $f''$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 7,5]$ par $f''(x) = \dfrac{9}{x^2}-2$. 

Montrer que  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }} Application à l'économie}

\medskip

Une entreprise fabrique des pièces. Sa production quotidienne varie entre 100 pièces et  750 pièces.

Le bénéfice de l'entreprise en milliers d'euro, pour $x$ centaines de pièces fabriquées et vendues ($1 \leqslant  x \leqslant 7,5$), est modélisé par $f(x)$, où $f$ est la fonction définie dans la partie \textbf{A}.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution dans l'intervalle $[7 ; 7,5]$, et donner
une valeur approchée au centième de cette solution.
		\item En déduire jusqu'à quel nombre de pièces fabriquées l'entreprise réalise un bénéfice.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le nombre de pièces que doit fabriquer l'entreprise afin d'obtenir le bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice maximal, arrondi à la centaine d'euro.
\end{enumerate}


 \newpage
 \setcounter{page}{1}
 \setcounter{nexo}{0} 
 
\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{sujet b}}}
\end{center}

\exo 

\medskip
 
 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.  On sait que  :
\begin{itemize}
	\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ d'abscisse $2$ est parallèle à l'axe des abscisses.
	\item Le point $A\left(0 ; 4\right)$ est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.	
	\item La tangente au point  $A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point de coordonnées $(-2;2)$.
\end{itemize} 
 
 On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$. 
 
\begin{center}
\psset{unit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-16,-6)(10,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(4-x)*EXP(.5*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-6)(10,12)
\psset{unit=1cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-3)(5,6)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{4.34216}{\f}
\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune](1,5.43656)(3,5.43656)
\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune](-2,2)(2,6)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](2,5.43656)(0,4)
\uput[ul](5,-3){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}\uput[u](2,5.4){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[ul](0,4){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

À partir du graphique et des renseignements fournis :
\begin{enumerate}
	\item Déterminer $f'(2)$ et $f'(0)$.
	\item Donner le tableau de variation de la fonction dérivée $f'$.
\item  Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et l'autre celle de $f''$.

Déterminer la courbe qui représente la dérivée $f'$ et celle qui représente la dérivée seconde $f''$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering\arraybackslash}X}}
\psset{unit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-3,-5)(4,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(1-.5*x)*EXP(.5*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-5)(4,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(4,2)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-3}{3.62911}{\f}
\end{pspicture}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(3,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{.5*x*EXP(.5*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(3,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-1)(3,6)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-4}{2.86481}{\f}
\end{pspicture}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(4,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(.5*x-1)*EXP(.5*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(4,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-2)(4,5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-3}{3.62911}{\f}
\end{pspicture}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-6)(4,1)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{-.25*x*EXP(.5*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-6)(4,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-6)(4,1)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,1){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-3}{3.72563}{\f}
\end{pspicture}\\
Courbe $C_1$ & Courbe $C_2$ & Courbe $C_3$ & Courbe $C_4$\\ 
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=(4-x)\e^{0,5x}$. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer, $f'(x)$.
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}
 
 \pagebreak
 
 \exo
 
 \medskip
 
Une entreprise agroalimentaire fabrique des plats cuisinés destinés à la consommation. Ces préparations culinaires sont d'abord conditionnées dans des emballages sous vide puis étiquetées.

Le conditionnement de ces préparations peut présenter deux défauts : un emballage sous vide défectueux ou l'absence de la date limite de consommation sur l'étiquette.

\medskip
 
 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Une étude statistique a permis de constater que :
\begin{itemize}
\item 6\,\% des préparations ne sont pas correctement emballées ;
\item la date limite de consommation est absente sur l'étiquette de 18\,\% des préparations qui ne sont pas correctement emballées et sur 3\,\% des préparations  correctement emballées.
\end{itemize}

On prélève au hasard une préparation destinée à la vente et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $E$ : \og  le plat est correctement emballé \fg{} ;
\item $D$ : \og  l'étiquette comporte une date limite de consommation \fg{}.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :

\medskip

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$E$}~}\naput{\prune\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$D$}}\naput{\prune\ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{D}$}}\nbput{\footnotesize{\bleu{$0,03$}}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{E}$}~}\nbput{\prune\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$D$}}\naput{\prune \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{D}$}}\nbput{\prune\ldots}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item Calculer la probabilité de l'évènement $E \cap \overline{D}$.
\item Montrer que la probabilité d'une date limite de consommation absente sur l'étiquette est égale à  0,039.
\item La date limite de consommation ne figure pas sur l'étiquette, quelle est la probabilité que la préparation soit correctement emballée ?
	\end{enumerate}
	
\medskip
 
 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

Les préparations culinaires correctement emballées sont commercialisées par l'entreprise. 

On rappelle que parmi celles-ci, 3\,\% n'ont pas de date limite de consommation.

\medskip

Un supermarché passe une commande de 60 plats cuisinés. Le stock est suffisamment important pour assimiler cette commande à un tirage aléatoire avec remise. 
 
 \medskip
 
Pour un lot de 60 préparations, on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de préparations sur lesquelles on note l'absence de date limite de consommation.

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.  
\item \begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P(X = 0)$ et interpréter le résultat à l'aide d'une phrase. On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\item En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité $P(X \geqslant 1)$.
\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer $P(X \geqslant 6)$. 
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo

\medskip
\textsf {\textbf{\textsc{partie a : }}  Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 6,5]$ par \[f(x) = -1,5 x^2 +15x-12 \ln (x)-13,5 .\]
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-2,-4)(16,13)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{-1.5*x^2+15*x-13.5-12*ln(x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-4)(16,13)
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-2)(8,6.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{6.5}{\f}
\uput[ur](6.5,-2){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 6,5]$, on a  $f'(x) = \dfrac{-3x^2+15x-12}{x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[1 ; 6,5]$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.
	\end{enumerate}

\item La dérivée seconde de la fonction $f$ est la fonction $f''$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 6,5]$ par $f''(x) = \dfrac{12}{x^2}-3$. 

Montrer que  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }} Application à l'économie}

\medskip

Une entreprise fabrique des pièces. Sa production quotidienne varie entre 100 pièces et  650 pièces.

Le bénéfice de l'entreprise en milliers d'euro, pour $x$ centaines de pièces fabriquées et vendues ($1 \leqslant  x \leqslant 6,5$), est modélisé par $f(x)$, où $f$ est la fonction définie dans la partie \textbf{A}.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution dans l'intervalle $[6 ; 6,5]$, et donner
une valeur approchée au centième de cette solution.
		\item En déduire jusqu'à quel nombre de pièces fabriquées l'entreprise réalise un bénéfice.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le nombre de pièces que doit fabriquer l'entreprise afin d'obtenir le bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice maximal, arrondi à la centaine d'euro.
\end{enumerate}
\end{document}

