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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\24 Mars 2016}}} %gauche
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\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 3 heures}}}%droit
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

Une somme de \np{3000} \euro{} a été empruntée auprès d'un organisme de crédit aux conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item des mensualités de remboursement fixes de 150 \euro{} ;
\item un taux d'intérêt mensuel de 1,5\% sur le capital restant dû ;
\item le capital restant dû peut être remboursé par anticipation.
\end{itemize}

On modélise les modalités de remboursement de ce prêt à l'aide d'une suite $(u_n)$. 

Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ de la suite est égal au montant du capital restant dû le $n$-ième mois après la date de l'emprunt. 

On a ainsi $u_0=3000$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1,015u_n -150$.

\begin{center}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

On veut déterminer le capital restant dû après un certain nombre de mois. 


On donne ci-dessous deux algorithmes :

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\textsf{\textbf{Variables :}}&& \textsf{\textbf{Variables :}}  \\
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
\textsf{\textbf{Entrée}}&&\textsf{\textbf{Entrée}}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
\textsf{\textbf{Début traitement}}&&\textsf{\textbf{Début traitement}}\\
$U$ prend la valeur $\np{3000}$

Pour $i$ de 1 à $N$ faire
\begin{itemize}
\item[] $U$ prend la valeur $1,015\times U - 150$
\end{itemize}

Fin pour

Afficher $\text{ARRONDI}\;(U,2)$
&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire
\begin{itemize}
\item[]$U$ prend la valeur $\np{3000}$
\item[] $U$ prend la valeur $1,015\times U - 150$
\end{itemize}

Fin pour

Afficher $\text{ARRONDI}\;(U,2)$\\ 
\textsf{\textbf{Fin traitement}}&&\textsf{\textbf{Fin traitement}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}} &\multicolumn{1}{c}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex}}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}\\
\end{tabularx}

	\begin{enumerate}
		\item Dans l'algorithme 1, l'utilisateur saisi la valeur  $N=6$.
		\begin{enumerate}
		 \item Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (\emph{arrondir les valeurs calculées au centième}).
		 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|p{2cm}}\hline
valeur de $i$&     xxx&   1&   \ldots \\ \hline  
valeur de   $U$ & \np{3000}&&\ldots  \\ \hline 
\end{tabular}
\end{center} 
		\item  Pour la valeur $N = 6$ saisie, quel affichage obtient-on en sortie de cet algorithme ? 

Comment s'interprète cet affichage ? 
 \end{enumerate} 
		\item  En quoi l'algorithme 2 ne fournit pas la réponse attendue ? 
	\end{enumerate}
\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

\begin{enumerate}
	
	
\item Pour tout nombre entier naturel $n$, on définit la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n = u_n - \np{10000}$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique  dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $u_n = \np{10000} - \np{7000} \times  1,015^{n}$.		
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer le plus petit entier $N$ solution de l'inéquation $\np{10000} - \np{7000} \times  1,015^{n}\leqslant 0$.
	\item En déduire la durée de remboursement du prêt de \np{3000} \euro{}.
	\item Quelle sera le montant de la dernière mensualité ?
	\end{enumerate}
	\item Calculer le montant total des intérêts versés à l'organisme de crédit.
\end{enumerate}

\pagebreak
\exo \qquad  ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des composants électroniques. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le composant est conforme aux normes en vigueur.

\begin{center}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Les composants sont produits en grande quantité par deux machines A et B. 

La machine A fournit 60\,\% de la production totale de composants et la machine B en fournit 40\,\%.

Une étude a permis d'établir que 97,6\,\% des composants produits par la machine A sont conformes  et 6,4\,\% des composants produits par la machine B ne sont pas conformes.

\medskip

On prélève au hasard un composant parmi la production totale de l'entreprise.

Tous les composants ont la même probabilité d'être tirés.

On définit les évènements suivants :


\begin{itemize}
\item $A$ : \og le composant provient de la machine A \fg{} ;
\item $B$ : \og le composant provient de la machine B \fg{} ;
\item $C$ : \og le composant est conforme \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :

\medskip

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$A$}~}\naput{\prune\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$C$}}\naput{\prune\ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{C}$}}\nbput{\footnotesize{\prune\ldots}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$B$}~}\nbput{\prune\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$C$}}\naput{\prune\ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{C}$}}\nbput{\bleu{$0,064$}}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item Calculer la probabilité qu'un composant soit conforme et qu'il provient de la machine B.
\item Démontrer que $P(C) = 0,96$ et donner une interprétation de ce résultat.
\item Le composant est conforme. Quelle est la probabilité qu'il ait été produit par la machine B ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

On prélève au hasard 50 composants dans le stock. Ce stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à la répétition de 50 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à tout échantillon de 50 composants le nombre de composants non conformes.

\medskip

\emph{On rappelle que la probabilité qu'un composant prélevé au hasard dans le stock soit conforme est égale à $0,96$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité de la variable $X$ ? Préciser les paramètres.
\item Déterminer une valeur arrondie à $10^{-3}$ près de chacun des évènements suivants :
\begin{enumerate}
\item \og L'échantillon contient deux composants non conformes \fg{} ;
\item \og L'échantillon contient au moins deux composants non conformes \fg{}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\pagebreak

\exo \qquad  ( 5 \textit{points} )  \hfill \emph{Série ES obligatoire et L spécialité}

\medskip

Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. 

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le cours d'une action a augmenté chaque mois de 5\,\%  pendant 2 mois consécutifs.

Au terme des deux mois, le cours de l'action  :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}} 
\item a augmenté de 10 \% &\item a augmenté de 1,10 \% \\ \item  a augmenté de 10,25 \% & \item  a été multiplié par $1,10$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; + \infty [$ par  $f(x)=\dfrac{x}{2} - \ln (x)$, $f'$ est la dérivée de la fonction $f$ on a :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $f'(x)=\dfrac{0,5-x}{x^2}$ &\item $f'(x)=\dfrac{x-2}{2x}$ & \item $f'(x)=\dfrac{1}{2}-x$ & \item $f'(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{x}$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item On a représenté ci-dessous, la courbe représentative d'une fonction $f$  définie  et dérivable sur  $]0 ; + \infty [$ ainsi que sa tangente au point $A$ d'abscisse 1. Par lecture graphique, on peut conjecturer que :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-1,-1)(16,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{x/2-ln(x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(16,6)
\psset{unit=1cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(8,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.051}{8}{\f}
\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune]{-}(-.5,1.25)(2.5,-.25)
\uput[ul](8,2){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $f'(1)=\dfrac{1}{2}$ & \item $f'(1)=1$ & \item  $f'(1)=-2$ & \item  $f'(1)=-\dfrac{1}{2}$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item Sur $\R$, l'équation $\ln (x) +2 = 0$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}} 
\item n'a pas de solution &\item a pour solution $x=-\e^2$ \\ \item a pour solution $x=\dfrac{1}{2}$ & \item  a pour solution $x =\dfrac{1}{\e^2}$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}	
	
\medskip

\item La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-\dfrac{x^3}{6}+x^2-\dfrac{3x}{2}$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}} 
\item est convexe &\item est concave sur $]-\infty ; 2]$ \\ \item change de convexité en 2 & \item  change de convexité en 1 et 3
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
		\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{2}

\exo  \qquad  ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{\'Elèves ayant suivi l'enseignement de spécialité ES}

\begin{center}
\emph{Les parties A, B et C sont indépendantes.}
\end{center}


 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Le graphe orienté ci-dessous modélise le plan de circulation des poids lourds entre différents villages d'une zone touristique.  Les arêtes sont pondérées par les distances entre deux villages, exprimées en kilomètres.

\begin{center}
\psset{xunit=6cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(2,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu, arrowscale=1.25}
\begin{footnotesize}
\cnodeput(1,6){A}{\bleu {A}} \cnodeput(0,4){B}{\bleu {B}} \cnodeput(1,4){C}{\bleu {C}} \cnodeput(2,4){D}{\bleu {D}} \cnodeput(2,1.5){E} {\bleu {E}}\cnodeput(1,0){F}{\bleu {F}} \cnodeput(0,1.5){G}{\bleu {G}} \cnodeput(1,2){H}{\bleu {H}}
\ncline{->}{A}{D}\ncput*{\textsf{\prune 20}} \ncline{->}{B}{A}\ncput*{\textsf{\prune 12}} \ncarc[arcangle=-12]{->}{B}{C}\ncput*{\textsf{\prune 18}} \ncarc[arcangle=-12]{->}{C}{B}\ncput*{\textsf{\prune 18}}\ncarc[arcangle=-12]{->}{C}{D}\ncput*{\textsf{\prune 15}} \ncarc[arcangle=-12]{->}{D}{C}\ncput*{\textsf{\prune 15}} \ncline{->}{D}{E}\ncput*{\textsf{\prune 9}} \ncline{->}{E}{F}\ncput*{\textsf{\prune 7}} \ncline{->}{F}{G}\ncput*{\textsf{\prune 8}} \ncline{->}{F}{H} \ncput*{\textsf{\prune 6}}\ncline{->}{G}{B}\ncput*{\textsf{\prune 10}} \ncline{->}{H}{B}\ncput*{\textsf{\prune 10}}\ncline{->}{H}{D}\ncput*{\textsf{\prune 16}}
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{center}

Un fournisseur dont le dépôt est situé dans le village D doit effectuer une livraison de produits frais, en camion frigorifique, à un client du village B.

\medskip

À l'aide d'un algorithme, déterminer l'itinéraire le plus court entre les villages D et B. Quelle est la distance parcourue ?

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

Une agence de voyage propose un circuit touristique pour visiter les trois villages A, B et C. Le client peut choisir la durée du séjour dans chaque village. 

L'agence distingue deux périodes, la haute et la basse saison, et différencie ses tarifs selon la période.

Les tarifs dans les différents villages, en euro par personne et par jour, sont donnés dans le tableau suivant.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{l|}{}&Village A &Village B &Village C\\ \hline
Nombre de jours& 1 &1 &1\\ \hline
Tarif haute saison &160 &220 &140\\ \hline
Tarif basse saison &130 &180 &110\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On note $P$ la matrice $\begin{pmatrix}
1&1&1\\160&220&140\\130&180&110\end{pmatrix}$.

\medskip

 Un client souhaite effectuer un circuit qui comprend quatre jours dans le village A, six jours dans le village B et deux jours dans le village C. On associe à ce choix la matrice $S = \begin{pmatrix}4\\6\\2\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit matriciel $P \times S$. Que représentent les termes de la matrice obtenue ?
		\item Ce client dispose d'un budget de \np{2000}~\euro. Pourra-t-il réaliser son voyage ?
	\end{enumerate}
	
\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie c}}}

\medskip

Dans le village C se trouve un camping dont le plan est schématisé par le graphe ci-dessous. 

Les arêtes sont les allées du camping et les sommets les carrefours.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2.4cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(5,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\begin{footnotesize}
\cnodeput(0,3){1}{\bleu {1}} \cnodeput(.5,0){2}{\bleu {2}} \cnodeput(2,0){3}{\bleu {3}} \cnodeput(3.5,0){4}{\bleu {4}} \cnodeput(3.5,2){5} {\bleu {5}}\cnodeput(5,2){6}{\bleu {6}} \cnodeput(5,4){7}{\bleu {7}} \cnodeput(3.5,4){8}{\bleu {8}}\cnodeput(4.5,6){9}{\bleu {9}}\cnodeput(3.25,6){10}{\bleu {10}}\cnodeput(1.5,3){11}{\bleu {11}}\cnodeput(2,6){12}{\bleu {12}}\cnodeput(.5,6){13}{\bleu {13}}
\end{footnotesize}
\ncline{1}{3}\ncline{3}{11}\ncline{11}{5}\ncline{5}{8}\ncline{8}{10}\ncline{10}{12}\ncline{12}{1}\ncline{1}{13}\ncline{13}{12}\ncline{12}{11}\ncline{11}{10}\ncline{10}{9}\ncline{9}{8}\ncline{8}{7}\ncline{7}{6}\ncline{6}{5}\ncline{5}{4}\ncline{4}{3}\ncline{3}{2}\ncline{2}{1}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Afin d'optimiser le nettoyage des allées, le gestionnaire du camping souhaite établir un parcours qui passe une seule fois par chaque allée.

Un tel parcours est-il possible ? 

\pagebreak

 \exo  \qquad  ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip
 
Une entreprise fabrique un nouvel article. Le coût moyen de fabrication de chaque article est de 15 euros. L'entreprise envisage de vendre chaque article entre 20 euros et 45 euros.
 
Avant la commercialisation l'entreprise effectue une étude de marché afin de déterminer la quantité demandée en fonction du prix de vente. 

L'étude a permis d'établir que, si chaque article est vendu au prix de $x$  euros, la quantité d'articles demandés $f(x)$, en milliers d'unités, s'exprime par : \[f(x)=(20x-200)\e^{-0,1x}.\]
 
La fonction de demande $f$ est définie sur l'intervalle $[20 ;45]$. La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée en annexe ci dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.


\begin{enumerate}
\item Si l'entreprise propose un prix de vente de 40 euros : \begin{enumerate}
\item calculer le nombre d'articles demandés arrondi à la centaine d'articles près.
\item Estimer alors le bénéfice réalisé.
		 
\emph{On rappelle que le coût moyen de fabrication d'un article est de $15$ euros.}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.

Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[20 ;45]$,  $f'(x)=(40-2x)\e^{-0,1x}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[20 ;45]$.
\end{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 11$ possède une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[20 ; 45]$.
		\item En déduire l'intervalle dans lequel doit se situer le prix de vente d'un article pour que la quantité demandée soit supérieure ou égale à \np{11000} unités. 
	\end{enumerate}
	\item Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|c|X|}\hline
1	&	\emph{\textsf{Dériver}} \: $[(40-2x)\cdot\mathrm{exp}(-0.1x)]$ \\ \hline
	& \multicolumn{1}{r|}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\left(\dfrac{x}{5}-6\right)\cdot\mathrm{exp}(-0.1x)$} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Utiliser ce résultat pour déterminer, en justifiant, l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip
 
On appelle fonction d'offre la fonction $g$, définie sur l'intervalle $[20 ; 45]$, par : $g(x) = x-18$.

Le nombre $g(x)$ est le nombre de milliers d'articles que l'entreprise est prête à produire pour un prix de vente unitaire de $x$ euros.
\begin{enumerate} 
\item  Tracer sur la feuille annexe la représentation graphique de la fonction $g$. 
\item On appelle prix d'équilibre le prix unitaire $x$ d'un article pour lequel l'offre est égale à la demande.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement le prix d'équilibre. 
		\item En déduire une valeur approchée au millier près, du nombre d'articles que l'entreprise peut espérer vendre au prix d'équilibre. 
		\item Estimer alors le bénéfice réalisé.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\pagebreak

	\begin{center}
	 \textsf{\textsc{\textbf{{annexe}}}}
	 
	 \bigskip
	 
 \textsf{(\emph{à rendre avec la copie})}

\bigskip

\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-1,-1)(28,30)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(20*x+200)*EXP(-2-x/10)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(28,30)
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=5,Dy=2,Ox=20]{->}(0,0)(28,30)
\uput[dl](28,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,30){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{25}{\f}
\uput[r](25,8){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}




\end{document}

