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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 7 avril 2016}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 8}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES 3\\Durée 1 heure}}}%droit
%pied de page                                              
%\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}
\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{sujet a}}}
\end{center}

\exo 

 \medskip 

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 
	
	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-5)(14,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(5-x)*(x^2+5*x+13)/63}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-5)(14,6)
\psset{unit=1cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{5}{\f} \gsave
\psline(-1,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.25pt] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-2.5)(7,3)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{6.71}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-3,.777)(-1.2,.777)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,1.285)(3,1.285)
\uput[u](-2,.8){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[u](2,1.3){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[ur](5,0){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.75](-2,.777)(2,1.285)(5,0)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.857)
\uput[dr](-5,2.5){\small{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $F$ une primitive de la fonction fonction $f$.

	\begin{enumerate}
	
		\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la primitive $F$. 
		
		Déterminer la courbe associée à la fonction $F$. 
		
\medskip

\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-3)(6,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-3)(6,5)
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\def\f{(22*x^3-3*x^2-75)/(25*x^2+25)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-2}{6}{\f}
\rput(2,-3.75){Courbe $C_1$}
\end{pspicture}\hfill\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{-.25*x^2+2*x+.25}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-3)(6,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-3)(6,5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.385}{6}{\f}
\rput(2,-3.75){Courbe $C_2$}
\end{pspicture}\hfill\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(8,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-3)(8,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-3)(8,5)
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\def\f{(-x^4+24*x^2+260*x-267)/252}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-2}{8}{\f}
\rput(3,-3.75){Courbe $C_3$}
\end{pspicture}

\item Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré.
\end{enumerate}	

\bigskip

\exo 

\medskip
 
 Calculer les intégrales suivantes : 
 
$A=\displaystyle\int_{\e^{-1}}^{1} 2x -\dfrac{1}{x} \dd x$ ; \hspace{3cm} $B=\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2}{2} +\dfrac{1}{x^2} \dd x$. 
 
 \bigskip
 
 \exo
 
 \medskip
 
 Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ; 10]$ par $f(x)=x\e^{-0,2x}$.
 
 \begin{enumerate}
  \item Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|c|X|}\hline
1	& $\text{\textsf{fmax }}(x\e^{-0.2x}\; ,\; x\; ,\; 0\; ,\;10)$ \\ \hline
	& \multicolumn{1}{r|}{ $x=5$} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Justifier que le maximum de la fonction $f$ est atteint pour $x=5$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par $F(x) = \left(-5x-25\right)\e^{-0,2x}$ est une primitive de $f$ sur $[0 ; 10]$.
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.
\end{enumerate}
  \end{enumerate} 

 \pagebreak
 
 \setcounter{nexo}{0} 
\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{sujet b}}}
\end{center}
\exo 

 \medskip 


La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 
	
\begin{center}
\psset{unit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-3,-5)(14,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(10-2*x)*(2*x-1)/17}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-5)(14,4)
\psset{unit=1cm} 
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{1}{4}{\f} \gsave
\psline(4,0)(1,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.25pt] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-2.5)(7,2)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](7,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.21}{6.71}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](1.75,1.19)(3.75,1.19)
\uput[u](.5,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[u](2.75,1.3){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[ur](5,0){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.75](.5,0)(2.75,1.19)(5,0)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](1,0)(1,.47)\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](4,0)(4,.823)
\uput[dl](7,-1.5){\small{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $F$ une primitive de la fonction fonction $f$.

	\begin{enumerate}
	
		\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la primitive $F$. 
		
		Déterminer la courbe associée à la fonction $F$. 
		
\medskip

\psset{unit=.65cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(6,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(6*x^3-x^4+6*x^2-10*x-62)/61}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(6,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-2)(6,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-2}{6}{\f}
\rput(2,-2.75){Courbe $C_1$}
\end{pspicture}\hfill\psset{unit=.65cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(6,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(33*x^2-4*x^3-30*x-50)/51}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(6,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-2)(6,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.897}{6}{\f}
\rput(2,-2.75){Courbe $C_2$}
\end{pspicture}\hfill\psset{unit=.65cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(23*x^3-12*x^2-99*x+34)/(27*x^2+27)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(5,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-2)(5,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-3}{5}{\f}
\rput(1,-2.75){Courbe $C_3$}
\end{pspicture}


\item Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip
 
 Calculer les intégrales suivantes : 
 
$A=\displaystyle\int_{1}^{\e} 4x +\dfrac{2}{x} \dd x$ ; \hspace{3cm} $B=\displaystyle\int_{1}^{2} 3x^2 -\dfrac{2}{x^2} \dd x$. 
 
\bigskip
 
 \exo
 
 \medskip
 
 Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ; 10]$ par $f(x)=x\e^{-0,5x}$.
 
 \begin{enumerate}
  \item Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|c|X|}\hline
1	& $\text{\textsf{fmax }}(x\e^{-0.5x}\; ,\; x\; ,\; 0\; ,\;10)$ \\ \hline
	& \multicolumn{1}{r|}{ $x=2$} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Justifier que le maximum de la fonction $f$ est atteint pour $x=2$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par $F(x) = \left(-2x-4\right)\e^{-0,5x}$ est une primitive de $f$ sur $[0 ; 10]$.
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.
\end{enumerate}
  \end{enumerate}


\end{document}

