contrôles en terminale ES

contrôle du 18 octobre 2016

thèmes abordés

  • Matrices.
  • Étude d'une fonction coût, dérivée variation, convexité.

exercice 1

On considère les matrices A=2-31-1z3 et B=x-1-3y-145.

  1. Déterminer les réels x, y et z pour que le produit des deux matrices AB=1001.

  2. Peut-on conclure que la matrice B est l'inverse de la matrice A ?


exercice 2

Un artisan fabrique trois articles A, B et C.
Chacun de ces trois articles est obtenu à partir de trois matières premières différentes m1, m2 et m3.

Le tableau suivant présente les quantités, exprimées dans la même unité, de matières premières nécessaires à la fabrication de chaque article A, B ou C.

ABC
m1135
m2452
m3342

On considère la matrice de production P=135452342 et on donne P-1=214-19-2-131815-7 sa matrice inverse.

  1. L'artisan reçoit une commande de 10 articles A, 12 articles B et 8 articles C.
    Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, la matrice M indiquant les quantités de matières premières nécessaires à la réalisation de cette commande.

  2. Au début du mois cet artisan reçoit une livraison de 2000 unités de matière première m1, 2300 unités de matière première m2 et 1900 unités de matière première m3.
    Déterminer le nombre de chaque article que l'artisan peut produire avec les quantités des matières premières qu'il reçoit.


exercice 3

On considère la matrice M=1-12-312-3-21-3. On note I=100010001 la matrice identité d'ordre 3.

  1. Calculer la matrice M2.

    1. Calculer la matrice M+2M2.

    2. En déduire que M est inversible et exprimer M-1 en fonction des matrices I et M.

    3. Calculer M-1.


exercice 4

La capacité de production mensuelle d'une entreprise est limitée à 9 milliers d'articles.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués. Le coût total de production fx, exprimé en milliers d'euros, est représenté par la courbe Cf dans le plan muni d'un repère orthogonal.
La tangente à la courbe Cf au point A361 est tracée sur le graphique.
La tangente au point B575 à la courbe Cf passe par l'origine du repère.

Courbe Cf : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On admet que la fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle 09 et, on note f la fonction dérivée de la fonction f et f la dérivée seconde de la fonction f.

partie a

Le coût marginal est assimilé sur l'intervalle 09 à la dérivée du coût total de production.

  1. À partir du graphique et des renseignements fournis déterminer la valeur du coût marginal pour x=5.

  2. Quelle est, parmi les trois courbes proposées ci-dessous, celle qui représente le coût marginal ?

    Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle 09 par fx=x3-9x2+30x+25.

  1. Calculer fx.

  2. Étudier les variations de la fonction f.

    1. Étudier la convexité de la fonction f.

    2. La courbe Cf admet-elle des points d'inflexion ?

partie c

Le prix de vente d'un article est de 30 €. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise pour x milliers d'articles vendus est donné par Bx=30x-fx.

  1. Pour quelle quantité d'articles vendus, le bénéfice est-il maximal ?

  2. Déterminer les quantités commercialisées, arrondies à la centaine d'articles près, dégageant un bénéfice positif.



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