contrôles en terminale ES

contrôle du 18 octobre 2016

Corrigé de l'exercice 1 (spécialité)

On considère les matrices $A = (\begin{matrix} 2 & - 3 & 1 \\ 5 & z & 3 \end{matrix})$ et $B = (\begin{array}{rrr} x & - 1 \\ - 3 & y \\ - 14 & - 1 \end{array})$ .

Déterminer les réels x, y et z pour que le produit des deux matrices $A B = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ .
Calculons le produit des deux matrices : $\begin{array}{rcl} A B & = & (\begin{matrix} 2 & - 3 & 1 \\ 5 & z & 3 \end{matrix}) \times (\begin{array}{rrr} x & - 1 \\ - 3 & y \\ - 14 & - 1 \end{array}) \\ = & (\begin{matrix} 2 x + 9 - 14 & - 2 - 3 y - 1 \\ 5 x - 3 z - 42 & - 5 + z y - 3 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 2 x - 5 & - 3 y - 3 \\ 5 x - 3 z - 42 & z y - 8 \end{matrix}) \end{array}$
Par conséquent, $A B = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ pour x, y et z solutions du système : $\begin{array}{rcl} {\begin{cases} 2 x - 5 = 1 \\ - 3 y - 3 = 0 \\ 5 x - 3 z - 42 = 0 \\ z y - 8 = 1 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} x = 3 \\ y = - 1 \\ 5 \times 3 - 3 z - 42 = 0 \\ - z - 8 = 1 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} x = 3 \\ y = - 1 \\ z = - 9 \\ z = - 9 \end{cases} \end{array}$
Ainsi, $A = (\begin{matrix} 2 & - 3 & 1 \\ 5 & - 9 & 3 \end{matrix})$ et $B = (\begin{array}{rrr} 3 & - 1 \\ - 3 & - 1 \\ - 14 & - 1 \end{array})$ .
Peut-on conclure que la matrice B est l'inverse de la matrice A ?
A n'est pas une matrice carrée donc A n'est pas inversible.

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