contrôles en terminale ES

contrôle du 18 octobre 2016

Corrigé de l'exercice 2 (spécialité)

Un artisan fabrique trois articles A, B et C.
Chacun de ces trois articles est obtenu à partir de trois matières premières différentes $m_{1}$ , $m_{2}$ et $m_{3}$ .

Le tableau suivant présente les quantités, exprimées dans la même unité, de matières premières nécessaires à la fabrication de chaque article A, B ou C.

	A	B	C
$m_{1}$	1	3	5
$m_{2}$	4	5	2
$m_{3}$	3	4	2

On considère la matrice de production $P = (\begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 2 \\ 3 & 4 & 2 \end{matrix})$ et on donne $P^{- 1} = (\begin{array}{rrr} 2 & 14 & - 19 \\ - 2 & - 13 & 18 \\ 1 & 5 & - 7 \end{array})$ sa matrice inverse.

L'artisan reçoit une commande de 10 articles A, 12 articles B et 8 articles C.
Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, la matrice M indiquant les quantités de matières premières nécessaires à la réalisation de cette commande.
Soit $D = (\begin{array}{r} 10 \\ 12 \\ 8 \end{array})$ la matrice associée à la commande du client. Alors, $M = P \times D$ soit : $\begin{matrix} M & = & (\begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 2 \\ 3 & 4 & 2 \end{matrix}) \times (\begin{array}{r} 10 \\ 12 \\ 8 \end{array}) & = & (\begin{array}{l} 10 + 36 + 40 \\ 40 + 60 + 16 \\ 30 + 48 + 16 \end{array}) & = & (\begin{array}{r} 86 \\ 116 \\ 94 \end{array}) \end{matrix}$
La matrice indiquant les quantités de matières premières nécessaires à la réalisation de la commande est $M = (\begin{array}{r} 86 \\ 116 \\ 94 \end{array})$ .
Au début du mois cet artisan reçoit une livraison de 2 000 unités de matière première $m_{1}$ , 2300 unités de matière première $m_{2}$ et 1900 unités de matière première $m_{3}$ .
Déterminer le nombre de chaque article que l'artisan peut produire avec les quantités des matières premières qu'il reçoit.
Soit $L = (\begin{matrix} 2 000 \\ 2300 \\ 1900 \end{matrix})$ la matrice indiquant les quantités de matières premières reçues et $X = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ la matrice indiquant les quantités de chaque article que l'artisan peut produire.
Nous avons : $\begin{matrix} P X = L & \Leftrightarrow & P^{- 1} P X = P^{- 1} L & \Leftrightarrow & X = P^{- 1} L \end{matrix}$
Soit $\begin{matrix} X & = & (\begin{array}{rrr} 2 & 14 & - 19 \\ - 2 & - 13 & 18 \\ 1 & 5 & - 7 \end{array}) \times (\begin{matrix} 2 000 \\ 2300 \\ 1900 \end{matrix}) & = & (\begin{array}{l} 4000 + 32200 - 36100 \\ - 4000 - 29900 + 34200 \\ 2 000 + 11500 - 13300 \end{array}) & = & (\begin{matrix} 100 \\ 300 \\ 200 \end{matrix}) \end{matrix}$
Avec cette livraison, l'artisan pourra produire 100 articles A, 300 articles B et 200 articles C.

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