contrôles en terminale ES

contrôle du 18 octobre 2016

Corrigé de l'exercice 4

La capacité de production mensuelle d'une entreprise est limitée à 9 milliers d'articles.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués. Le coût total de production $f (x)$ , exprimé en milliers d'euros, est représenté par la courbe $C_{f}$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
La tangente à la courbe $C_{f}$ au point $A (3; 61)$ est tracée sur le graphique.
La tangente au point $B (5; 75)$ à la courbe $C_{f}$ passe par l'origine du repère.

On admet que la fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle $[0; 9]$ et, on note $f'$ la fonction dérivée de la fonction f et $f ″$ la dérivée seconde de la fonction f.

partie a

Le coût marginal est assimilé sur l'intervalle $[0; 9]$ à la dérivée du coût total de production.

À partir du graphique et des renseignements fournis déterminer la valeur du coût marginal pour $x = 5$ .
Le nombre dérivé $f' (5)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point $B (5; 75)$ . Comme cette droite passe par l'origine du repère, on en déduit que : $f' (5) = \frac{75}{5} = 15$
Le coût marginal pour $x = 5$ est $f' (5) = 15$ .

Quelle est, parmi les trois courbes proposées ci-dessous, celle qui représente le coût marginal ?

La courbe $C_{f}$ traverse sa tangente au point $A (3; 61)$ donc la fonction f change de convexité pour $x = 3$ .
Par lecture graphique, la fonction f semble concave sur l'intervalle $] 0; 3]$ et convexe sur $[3; 9]$ . On en déduit que la dérivée de la fonction f est décroissante sur l'intervalle $] 0; 3]$ et croissante sur $[3; 9]$ .
Par conséquent, la courbe $C_{2}$ ne peut pas représenter la dérivée $f'$ .
D'autre part, $f' (5) = 15$ et $f' (3) > 0$ donc la courbe $C_{3}$ ne peut pas représenter la dérivée $f'$ .

$C_{1}$ est la courbe représentative du coût marginal.

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle $[0; 9]$ par $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 30 x + 25$ .

Calculer $f' (x)$ .
$f'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0; 9]$ par $f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 30$ .
Étudier les variations de la fonction f.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Le discriminant du polynôme du second degré $3 x^{2} - 18 x + 30$ est : $\begin{matrix} Δ = {(- 18)}^{2} - 4 \times 3 \times 30 = - 36 \end{matrix}$ $Δ < 0$ donc pour tout réel x, $3 x^{2} - 18 x + 30 > 0$
Pour tout réel x de l'intervalle $[0; 9]$ , $f' (x) > 0$ donc la fonction f est strictement croissante.
1. Étudier la convexité de la fonction f.
  La convexité de la fonction f se déduit des variations de sa dérivée.
  La fonction polynôme du second degré $x \mapsto 3 x^{2} - 18 x + 30$ admet un minimum pour $x = \frac{18}{6} = 3$ . D'où le tableau de variations de la fonction $f'$ :
  x 0 3 9
  $f' (x)$
  30
  3
  111
  La fonction f est concave sur l'intervalle $] 0; 3]$ et convexe sur $[3; 9]$ .
2. La courbe $C_{f}$ admet-elle des points d'inflexion ?
  La fonction f change de convexité pour $x = 3$ donc :
  le point $A (3; 61)$ est un point d'inflexion pour la courbe $C_{f}$ .

partie c

Le prix de vente d'un article est de 30 €. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise pour x milliers d'articles vendus est donné par $B (x) = 30 x - f (x)$ .

Pour quelle quantité d'articles vendus, le bénéfice est-il maximal ?

La fonction B est définie sur l'intervalle $[0; 9]$ par $B (x) = 30 x - (x^{3} - 9 x^{2} + 30 x + 25) = - x^{3} + 9 x^{2} - 25$

La dérivée de la fonction B est la fonction $B'$ définie sur l'intervalle $[0; 9]$ par : $B' (x) = - 3 x^{2} + 18 x = - 3 x (x - 6)$

Les variations de la fonction B se déduisent du signe de sa dérivée.

x	0		6		9
$B' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$B (x)$	$- 25$		83		$- 25$

Le bénéfice maximal est obtenu pour la vente de 6000 articles.

Déterminer les quantités commercialisées, arrondies à la centaine d'articles près, dégageant un bénéfice positif.
La fonction B est dérivable donc continue et, sur chacun des intervalles où la fonction est monotone on a : $B (0) < 0 < B (6)$ et $B (9) < 0 < B (6)$ .
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $B (x) = 0$ admet une solution unique sur chacun de ces intervalles $x_{1} \in [0; 6]$ et $x_{2} \in [6; 9]$ .
Soit d'après le tableau de variation de la fonction B, $B (x) ⩾ 0$ sur l'intervalle $[x_{1}; x_{2}]$ .
x 0 $x_{1}$ 6 $x_{2}$ 9
$B (x)$
$- 25$
83
$- 25$
À l'aide de la calculatrice, on trouve $x_{1} \approx 1,873$ et $x_{2} \approx 8,667$ .
Le bénéfice est positif pour un vente comprise entre 1900 et 8600 articles dans le mois.

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x	0		3		9
$f' (x)$	30		3		111