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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 18 octobre 2016}}} %gauche
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\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES 2\\Durée 2 heures}}}%droit
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad  ( 3 \emph{points} ) 

\medskip

On considère les matrices   $A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1  \\ 5 & z & 3  \end{pmatrix}$ et  $B = \begin{pmatrix*}[r] x & -1  \\ -3 & y \\ -14 & -1 \end{pmatrix*}$
 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les réels $x$, $y$ et $z$ pour que le produit des deux matrices $A B= \begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 1  \end{pmatrix}$.
 \item Peut-on conclure que la matrice $B$ est l'inverse de la matrice $A$ ? 
 \end{enumerate} 

\bigskip

\exo \qquad  ( 3 \emph{points} ) 

\medskip

Un artisan fabrique trois articles $A$, $B$ et $C$. 

Chacun de ces trois articles est obtenu  à partir de trois matières premières différentes $m_1$, $m_2$ et $m_3$.

Le tableau suivant présente les quantités, exprimées dans la même unité, de  matières premières nécessaires à la fabrication de chaque article $A$, $B$ ou $C$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|m{1cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
 \multicolumn{1}{l|}{} & $A$ & $B$ & $C$ \\ \hline
 $m_1$ & 1 & 3 & 5 \\ \hline
 $m_2$ & 4 & 5 & 2 \\ \hline
 $m_3$ & 3 & 4 & 2 \\ \hline
\end{tabularx}
 \end{center}

On considère la matrice de production $P=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 2 \\ 3 & 4 & 2  \end{pmatrix}$ et on donne $P^{-1}=\begin{pmatrix*}[r] 2 & 14 & -19 \\ -2 & -13 & 18 \\ 1 & 5 & -7 \end{pmatrix*}$ sa matrice inverse. 
 
\begin{enumerate}
\item L'artisan reçoit une commande de 10 articles $A$, 12 articles $B$ et 8 articles $C$. 

Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, la matrice $M$ indiquant les quantités de matières premières nécessaires à la réalisation de cette commande.
 \item Au début du mois cet artisan reçoit une livraison de \np{2000} unités de matière première $m_1$, \np{2300} unités de matière première $m_2$ et \np{1900} unités de matière première $m_3$.
 
 Déterminer le nombre de chaque article que l'artisan peut  produire avec les quantités des matières premières qu'il reçoit.
 \end{enumerate} 

\bigskip

\exo \qquad  ( 4 \emph{points} ) 

\medskip

On considère la matrice   $M = \begin{pmatrix*}[r] 1 & -1 & 2  \\ -3 & \dfrac{1}{2} & -3 \\ -2 & 1 & -3 \end{pmatrix*}$. On note  $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ la matrice identité d'ordre 3.
 
\begin{enumerate}
 \item Calculer la matrice $M^2$.
 \item \begin{enumerate}
 \item Calculer la matrice $M+2M^2$.
 \item En déduire que $M$ est inversible et exprimer $M^{-1}$ en fonction des matrices $I$ et $M$.
 \item Calculer $M^{-1}$.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate} 

\pagebreak

\exo \qquad  ( 10 \emph{points} ) 

\medskip
 
La capacité de production mensuelle d'une entreprise est limitée à 9 milliers d'articles. 

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués. Le coût total de production $f(x)$, exprimé en milliers d'euros, est représenté par la courbe $\mathcal{C}_f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A( 3 ; 61)$ est tracée sur le graphique. 

La tangente au point $B( 5 ; 75)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par l'origine du repère.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^3-9*x^2+30*x+25}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(20,12)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.02cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,Dx=1,Dy=50,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(10,300)
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,300){$y$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{-}(.5,53.5)(5.5,68.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{9}{\f}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](3,61)(5,75)
\uput[u](3,61){\bleu{$A$}} \uput[u](5,75){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[dr](9,300){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

On admet que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle  $[0;9]$ et, on note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$.  

 \medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

Le coût marginal est assimilé sur l'intervalle $[0;9]$ à la dérivée du coût total de production. 	
\begin{enumerate}
	\item À partir du graphique et des renseignements fournis déterminer la valeur du coût marginal pour $x=5$.
	\item Quelle est, parmi les trois courbes proposées ci-dessous, celle qui représente le coût marginal ?
	
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{3*x^2-18*x+30}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,9)
\psset{xunit=.5cm, yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=10,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-5)(9,90)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,90){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{8.385}{\f}
\uput[dl](8.3,90){\footnotesize{\bleu $C_1$}}
\end{pspicture} \hfill \psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{5*x^3/12-3.75*x^2+11.25*x+5/12}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,9)
\psset{xunit=.5cm, yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=10,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-5)(9,90)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,90){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{8.728}{\f}
\uput[dl](8.7,90){\footnotesize{\bleu $C_2$}}
\end{pspicture} \hfill \begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{2.5*(x-3)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,9)
\psset{xunit=.5cm, yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=10,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-5)(9,90)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,90){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{9}{\f}
\uput[dl](9,90){\footnotesize{\bleu $C_3$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip

La fonction  $f$  est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;9]$ par $f(x)=x^3-9x^2+30x+25$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
	\item  Étudier les variations de la fonction $f$.
	\item \begin{enumerate}
	\item Étudier la convexité de la fonction $f$.
	\item La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle des points d'inflexion ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie c}}}}

\medskip

Le prix de vente d'un article est de 30 \euro{}. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise pour $x$ milliers d'articles vendus est donné par $B(x)=30x-f(x)$.
\begin{enumerate}
\item Pour quelle quantité d'articles vendus, le bénéfice est-il maximal ?
\item Déterminer les quantités commercialisées, arrondies à la centaine d'articles près, dégageant un bénéfice positif.
\end{enumerate}

\end{document}

