contrôles en terminale ES

contrôle du 22 novembre 2016

Corrigé de l'exercice 1 (spécialité)

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 4$ où a, b et c sont trois nombres réels.
La tangente à la courbe $C_{f}$ , représentative de la fonction f, au point $A (1; 2)$ a pour équation $y = - x + 3$ .
Le point A est un point d'inflexion de la courbe $C_{f}$ .

Justifier que les réels a, b et c sont solutions du système : ${\begin{matrix} a + b + c = - 2 \\ 3 a + 2 b + c = - 1 \\ 6 a + 2 b = 0 \end{matrix}$ .
- Le point $A (1; 2)$ appartient à la courbe $C_{f}$ donc $f (1) = 2$ . Soit $\begin{matrix} a + b + c + 4 = 2 & \Leftrightarrow & a + b + c = - 2 \end{matrix}$
- La dérivée de la fonction f est la fonction définie pour tout réel x par $f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ .
  Comme la tangente à la courbe $C_{f}$ au point $A (1; 2)$ a pour équation $y = - x + 3$ , on en déduit que le nombre dérivé $f' (1) = - 1$ . Soit $3 a + 2 b + c = - 1$
- La dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie pour tout réel x par $f ″ (x) = 6 a x + 2 b$ .
  Comme le point $A (1; 2)$ est un point d'inflexion de la courbe $C_{f}$ , on en déduit que $f ″ (1) = 0$ . Soit $6 a + 2 b = 0$
Ainsi, les réels a, b et c sont solutions du système : ${\begin{matrix} a + b + c = - 2 \\ 3 a + 2 b + c = - 1 \\ 6 a + 2 b = 0 \end{matrix}$ .
Déterminer l'expression de $f (x)$ .
Posons $A = (\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & 2 & 0 \end{array})$ , $X = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ et $B = (\begin{array}{r} - 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array})$ alors, le système précédent s'écrit sous la forme matricielle $A \times X = B$ .
À l'aide de la calculatrice, on vérifie que la matrice A est inversible et on a $A^{- 1} = (\begin{array}{rrr} 1 & - 1 & \frac{1}{2} \\ - 3 & 3 & - 1 \\ 3 & - 2 & \frac{1}{2} \end{array})$ . Comme : $\begin{array}{rcl} A \times X = B & \Leftrightarrow & A^{- 1} \times A \times X = A^{- 1} \times B \\ \Leftrightarrow & X = A^{- 1} \times B \end{array}$
On obtient : $(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{array}{rrr} 1 & - 1 & \frac{1}{2} \\ - 3 & 3 & - 1 \\ 3 & - 2 & \frac{1}{2} \end{array}) \times (\begin{array}{r} - 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{r} - 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array})$
Ainsi, la fonction f est définie pour tout réel x par $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 4$ .

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