contrôles en terminale ES

contrôle du 22 novembre 2016

Corrigé de l'exercice 3

On a tracé ci-dessous, la courbe Cf représentative d'une fonction f définie et dérivable sur .
La droite d est la tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse (-32).

Courbe Cf : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Parmi les trois courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la dérivée de la fonction f : laquelle ? Justifier la réponse.

    Par lecture graphique :

    • Le maximum de la fonction f est atteint pour x=-12 d'où f(-12)=0. Par conséquent, la courbe C2 ne peut pas représenter la dérivée de la fonction f.

    • Le point A d'abscisse (-32) est un point d'inflexion donc la dérivée de la fonction f change de variation pour x=-32. Par conséquent, la courbe C3 ne peut pas représenter la dérivée de la fonction f.

    Courbe C1 représentative de f' : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    La courbe C1 est la seule des trois courbes susceptible de représenter la dérivée de la fonction f.


  2. La fonction f est définie pour tout réel x, par f(x)=(3-6x)ex.

    1. On note f la dérivée de la fonction f. Déterminer f(x).

      La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :

      f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x, {u(x)=3-6x;u(x)=-6v(x)=ex;v(x)=ex. Soit pour tout réel x, f(x)=-6×ex+(3-6x)×ex=(-6+3-6x)ex=(-3-6x)ex

      f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(-3-6x)ex.


    2. Étudier les variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Pour tout réel x, ex>0 donc f(x) est du même signe que (-3-6x)

      Or -3-6x0x-12

      Nous pouvons établir le tableau du signe de f(x) et des variations de la fonction f :

      x--12+
      f(x)+0||
      f(x)fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      6e-0,5

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0.

    Une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :y=f(0)×x+f(0)

    Or f(0)=3 et f(0)=-3 d'où :

    La tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0 a pour équation y=-3x+3.



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