On a tracé ci-dessous, la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur .
La droite d est la tangente à la courbe au point A d'abscisse .
Parmi les trois courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la dérivée de la fonction f : laquelle ? Justifier la réponse.
Par lecture graphique :
Le maximum de la fonction f est atteint pour d'où . Par conséquent, la courbe ne peut pas représenter la dérivée de la fonction f.
Le point A d'abscisse est un point d'inflexion donc la dérivée de la fonction f change de variation pour . Par conséquent, la courbe ne peut pas représenter la dérivée de la fonction f.
La courbe est la seule des trois courbes susceptible de représenter la dérivée de la fonction f.
La fonction f est définie pour tout réel x, par .
On note la dérivée de la fonction f. Déterminer .
La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :
d'où avec pour tout réel x, . Soit pour tout réel x,
est la fonction définie pour tout réel x par .
Étudier les variations de la fonction f.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Pour tout réel x, donc est du même signe que
Or
Nous pouvons établir le tableau du signe de et des variations de la fonction f :
x | |||||
+ | − | ||||
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0.
Une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :
Or et d'où :
La tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation .
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