contrôle du 22 novembre 2016

Corrigé de l'exercice 3

On a tracé ci-dessous, la courbe $C_f$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.
La droite d est la tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse $\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

1. Parmi les trois courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la dérivée de la fonction f : laquelle ? Justifier la réponse.

   Par lecture graphique :

   • Le maximum de la fonction f est atteint pour $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ d'où $f\prime \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0$. Par conséquent, la courbe $C_1$ ne peut pas représenter la dérivée de la fonction f.

   • Le point A d'abscisse $\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ est un point d'inflexion donc la dérivée de la fonction f change de variation pour $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Par conséquent, la courbe $C_3$ ne peut pas représenter la dérivée de la fonction f.

   La courbe $C_2$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la dérivée de la fonction f.

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2. La fonction f est définie pour tout réel x, par $f\left(x\right)=\left(3-2x\right){\mathrm{e}}^x$.

   1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Déterminer $f\prime \left(x\right)$.

      La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :

      $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=3-2x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-2\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$. Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& -2\times {\mathrm{e}}^x+\left(3-2x\right)\times {\mathrm{e}}^x\\ & =& \left(-2+3-2x\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& \left(1-2x\right){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(1-2x\right){\mathrm{e}}^x$.

      ---

   2. Étudier les variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(1-2x\right)$

      Or $$\begin{array}{rcl}1-2x⩽0& \iff & x⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      Nous pouvons établir le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ et des variations de la fonction f :

      x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			$2\sqrt{\mathrm{e}}$

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

   Une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :$$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Or $f\left(0\right)=3$ et $f\prime \left(0\right)=1$ d'où :

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=x+3$.

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