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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 13 décembre 2016}}} %gauche
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\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES 2\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo 

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}


\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $g(x)=\e^{-x}$.

\textsf{\textsc{proposition 1 :}} 

La tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=-x+1$.

\medskip

\item  On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la dérivée  $f'$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$ et on note $f''$ sa dérivée seconde.

Les droites $d$ et $d'$ sont tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ respectivement aux points $A$ d'abscisse $(-1)$ et $B$ d'abscisse 1.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(5,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x^2-9)*(x-3)/8}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-2)(6,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(6,5)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.39165}{5.20761}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,5)(3,-1)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2,4)(0,4)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-3,0)(-1,4)(1,2)(3,0)
\uput[u](-1,4){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ur](1,2){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[ul](-2,4){\prune{$d$}}\uput[dr](3,-1){\prune{$d'$}}
\uput[dl](6,5){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\textsf{\textsc{proposition 2 :}} 

$f(-1) \geqslant f(1)$.

\medskip

\textsf{\textsc{proposition 3 :}} 

La fonction $f$ est concave sur l'intervalle $[-3 ; 1]$.

\medskip

\textsf{\textsc{proposition 4 :}} 

$f''(1)=-\dfrac{3}{2}$.

\medskip

\textsf{\textsc{proposition 5 :}} 

Au point d'abscisse 3, la courbe représentative de la fonction $f$ admet un point d'inflexion.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$  par $f(x) =(2x-8)\times\e^{0,5x}$. 

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$. 

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre réel $x$,  on a : $f'(x) = (x-2)\times\e^{0,5x}$.
	\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.	
\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=\e^{0,5}$ admet une unique solution $\alpha$. 

Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse 0.
\item \begin{enumerate}
 \item \'Etudier la convexité de la fonction $f$.
 \item La courbe représentative de la fonction $f$  a-t-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo

 \medskip 


On considère le graphe $\Gamma$ ci-dessous :


\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(1,4){A}{\bleu{\footnotesize A}}
\cnodeput(4.5,3){B}{\bleu{\footnotesize  B}}
\cnodeput(2.5,3){C}{\bleu{\footnotesize C}}
\cnodeput(1.5,1.2){D}{\bleu{\footnotesize D}}
\cnodeput(8,0){E}{\bleu{\footnotesize E}}
\cnodeput(0,0){F}{\bleu{\footnotesize F}}
\cnodeput(7,4){G}{\bleu{\footnotesize G}}
\cnodeput(5.5,1.2){H}{\bleu{\footnotesize H}}
\ncline{A}{F}\ncline{F}{E}\ncline{E}{G}\ncline{G}{A}\ncline{A}{B}\ncline{B}{G}\ncline{G}{H}\ncline{H}{D}\ncline{D}{C}\ncline{C}{B}\ncline{B}{H}\ncline{H}{E}\ncline{E}{D}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner l'ordre du graphe puis le degré de chacun des sommets. 	
\item On range les sommets par ordre alphabétique. Donner la matrice d'adjacence $M$ associée au graphe. 
\item Une des trois matrices $R$, $S$ ou $T$ est la matrice $M^3$.

	\begin{center}
	\scriptsize{
	 $R = \begin{pmatrix}
2 & 7 & 0 & 5 & 3 & 5 & 8 & 4\\
7 & 4 & 6 & 3 & 6 & 3 & 8 & 8\\
0 & 6 & 1 & 5 & 3 & 2 & 4 & 2\\
5 & 3 & 5 & 2 & 7 & 1 & 4 & 8\\
3 & 6 & 3 & 7 & 4 & 6 & 8 & 8\\
5 & 3 & 2 & 1 & 6 & 1 & 2 & 4\\
8 & 8 & 4 & 4 & 8 & 2 & 6 & 9\\
4 & 8 & 2 & 8 & 8 & 4 & 9 & 6\\
\end{pmatrix}$
 \hfill
 $S =\begin{pmatrix*}[r]
1 & 3 & 1 & 5 & 3 & 5 & 8 & 4\\
4 & 4 & 6 & 3 & 6 & 3 & 8 & 10\\
5 & 6 & 8 & 5 & 3 & 2 & 4 & 2\\
1 & 3 & 5 & 2 & 7 & 1 & 4 & 8\\
3 & 6 & 3 & 7 & 4 & 6 & 9 & 8\\
5 & 3 & 2 & 1 & 6 & 8 & 2 & 5\\
8 & 8 & 4 & 4 & 9 & 2 & 6 & 7\\
4 & 9 & 2 & 8 & 8 & 4 & 8 & 6\\
\end{pmatrix*}$
 \hfill
$T =\begin{pmatrix*}[r]
2 & 7 & 1 & 5 & 3 & 5 & 8 & 4\\
7 & 4 & 6 & 3 & 6 & 3 & 8 & 10\\
1 & 6 & 0 & 5 & 3 & 2 & 4 & 2\\
5 & 3 & 5 & 2 & 7 & 1 & 4 & 8\\
3 & 6 & 3 & 7 & 4 & 6 & 10 & 8\\
5 & 3 & 2 & 1 & 6 & 0 & 2 & 4\\
8 & 8 & 4 & 4 & 10 & 2 & 6 & 9\\
4 & 10 & 2 & 8 & 8 & 4 & 9 & 6\\
\end{pmatrix*}$}
	\end{center}
\begin{enumerate}
\item Sans calculer la matrice $M^3$, indiquer quelle est la matrice $M^3$ en justifiant votre choix.
\item Donner, en justifiant, le nombre de chaînes de longueur 3 reliant C à G. Les citer toutes.
\end{enumerate}
\item Déterminer en justifiant si ce graphe est :
	\begin{enumerate}
		\item complet ; 
		\item connexe.
	\end{enumerate}
	\item Le graphe $\Gamma$ modélise le plan d'un parc public. Les arêtes du graphe représentent les allées du parc et les sommets du graphe sont les intersections. 
	
\begin{enumerate}
\item En début de journée, le responsable du service d'entretien fait le tour du parc pour inspecter l'état des allées.

Est-il possible d'optimiser le parcours pour que le responsable passe par toutes les allées sans emprunter plusieurs fois la même allée ? Justifier la réponse. Si oui proposer un  parcours.
\item Pour rationaliser le nettoyage des allées, on souhaite établir un circuit commençant et finissant par l'entrepôt situé en E et qui passe par toutes les allées une et une seule fois.

Quel est le nombre minimal d'allées qu'il faudrait tracer pour obtenir un tel circuit ?
\end{enumerate}	
\end{enumerate}



\end{document}

