contrôles en terminale ES

bac blanc du 24 février 2017

Corrigé de l'exercice 1

Dans une ville en pleine expansion, le responsable d'une salle de sport prévoit que 80 % des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l'année suivante et qu'il y aura chaque année 200 nouveaux abonnés.

partie a

Le 1^er janvier 2015 il y avait 300 abonnés et, le 1^er janvier 2017 il y a 552 abonnés.
L'évolution du nombre d'abonnés est-elle conforme aux prévisions du responsable de la salle de sport ?
Selon ce modèle, l'évolution du nombre d'abonnés est :
- Au 1^er janvier 2016 $300 \times 0,8 + 200 = 440$
- Au 1^er janvier 2017 $440 \times 0,8 + 200 = 552$
L'évolution du nombre d'abonnés a été conforme aux prévisions du responsable de la salle de sport.

Le responsable de la salle de sport souhaite déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés dépassera 900.
Indiquer, en justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année correspondante.

Algorithme 1	Algorithme 2	Algorithme 3
U prend la valeur 300 N prend la valeur 0	U prend la valeur 300 N prend la valeur 2015	U prend la valeur 300 N prend la valeur 0
Tant que $U ⩽ 900$ U prend la valeur $0,8 \times U + 200$ N prend la valeur $N + 1$ Fin tant que	Tant que $U > 900$ U prend la valeur $0,8 \times U + 200$ N prend la valeur $N + 1$ Fin tant que	Tant que $U < 900$ U prend la valeur $0,8 \times U + 200$ N prend la valeur $2015 + 1$ Fin tant que
Afficher $2015 + N$	Afficher N	Afficher N

L'algorithme 2 ne convient pas : la valeur de U est initialisée à 300 par conséquent, la condition $U > 900$ est fausse donc la boucle Tant que ne sera pas exécutée et l'algortitme affichera 2015.
L'algorithme 3 ne convient pas : à chaque itération à l'intérieur de la boucle Tant que on affecte à N la valeur 2016. Cet algorithme affiche 2016 en sortie.

L'algorithme 1 est le seul qui affiche en sortie l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés dépassera 900.

partie b

On modélise l'évolution du nombre d'abonnés à cette salle de sport par une suite numérique $(u_{n})$ où $u_{n}$ représente le nombre d'abonnés le 1^er janvier de l'année $2015 + n$ , avec n un nombre entier naturel.
On a ainsi $u_{0} = 300$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 200$ .

On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = 1000 - u_{n}$ .
1. Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & 1000 - u_{n + 1} \\ = & 1000 - 0,8 u_{n} - 200 \\ = & 800 - 0,8 u_{n} \\ = & 0,8 \times (1000 - u_{n}) \\ = & 0,8 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,8 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,8$ dont le premier terme $v_{0} = 1000 - 300 = 700$ .
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n, pour tout entier naturel n.
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,8$ dont le premier terme $v_{0} = 700$ donc pour tout entier naturel n, $v_{n} = 700 \times {0,8}^{n}$ .
3. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_{n} = 1000 - 700 \times {0,8}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = 1000 - u_{n} \Leftrightarrow u_{n} = 1000 - v_{n}$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 1000 - 700 \times {0,8}^{n}$ .
Déterminer par le calcul l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés aura dépassé 900.
Le nombre d'années n est le plus petit entier solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcll} u_{n} > 900 & \Leftrightarrow & 1000 - 700 \times {0,8}^{n} > 900 \\ \Leftrightarrow & - 700 \times {0,8}^{n} > - 100 \\ \Leftrightarrow & {0,8}^{n} < \frac{100}{700} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,8}^{n}) < \ln \frac{1}{7} & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,8 < - \ln 7 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > - \frac{\ln 7}{\ln 0,8} & \ln 0,8 < 0 \end{array}$
Comme $- \frac{\ln 7}{\ln 0,8} \approx 8,7$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} > 900$ est $n = 9$ .
Le nombre d'abonnés aura dépassé 900 en 2024.

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