contrôles en terminale ES

contrôle du 26 septembre 2017

Corrigé de l'exercice 1

partie a

On considère la suite (un) définie par u0=1760 et pour tout entier naturel n, un+1=0,65×un+861.

  1. Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par vn=un-2460.

    1. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-2460=0,65un+861-2460=0,65un-1599=0,65×(un-2460)=0,65vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=0,65vn donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,65 dont le premier terme v0=1760-2460=-700.


    2. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, un=2460-700×0,65n.

      (vn) est une suite géométrique de raison 0,65 et de premier terme v0=-700 donc pour tout entier naturel n, on a :vn=-700×0,65n

      Comme pour tout entier naturel n, vn=un-2460un=vn+2460 on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, un=2460-700×0,65n.


  2. Étudier le sens de variation de la suite (un).

    Pour tout entier n, un+1-un=(2460-700×0,65n+1)-(2460-700×0,65n)=-700×0,65n+1+700×0,65n=700×0,65n×(-0,65+1)=245×0,65n

    Or pour tout entier n, 245×0,65n>0, donc :

    pour tout entier n, un+1-un>0. La suite (un) est strictement croissante.


  3. Déterminer la limite de la suite (un).

    0<0,65<1 donc limn+0,65n=0 d'où, limn+2460-700×0,65n=2460. Soit limn+un=2460.

    La suite (un) converge vers 2460.


partie b

Une étude réalisée sur le nombre d'emplacements de camping d'une région touristique a permis d'établir que la demande d'emplacements peut être modélisée par la suite (un)un désigne le nombre d'emplacements l'année 2017+n.

  1. Un réaménagement de l'offre d'emplacements de camping sera nécessaire dès que la demande dépassera 2400 emplacements.
    On considère l'algorithme suivant :

    U1760
    N0

    Tant que U2400
    NN+1
    U0,65×U+861
    Fin Tant que

    1. Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité.

      Valeur de N0123456
      Valeur de U1760200521642268233523782407
      Condition U2400VraieVraieVraieVraieVraieVraieFAUSSE
    2. Donner la valeur affectée à la variable N à la fin de l'exécution de cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      La valeur finale de la variable N calculée par cet algorithme est N=6. Il faudra prévoir un réaménagement de l'offre d'emplacements de camping en 2023.


  2. Selon ce modèle, est-il possible d'envisager une demande supérieure à 2500 emplacements ?

    La suite (un) est strictement croissante et converge vers 2460 par conséquent, selon ce modèle, la demande ne dépassera pas 2460 emplacements.



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