contrôle du 26 septembre 2017

exercice 1

partie a

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1760$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,65}\times u_n+861$.

1. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-2460$.

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

   2. Exprimer $v_n$ en fonction de n.
      En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, $u_n=2460-700\times {\mathrm{0,65}}^n$.

2. Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.

3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

partie b

Une étude réalisée sur le nombre d'emplacements de camping d'une région touristique a permis d'établir que la demande d'emplacements peut être modélisée par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ désigne le nombre d'emplacements l'année $2017+n$.

1. Un réaménagement de l'offre d'emplacements de camping sera nécessaire dès que la demande dépassera 2400 emplacements.
   On considère l'algorithme suivant :

   $U\leftarrow 1760$
   $N\leftarrow 0$

   Tant que $U⩽2400$
   $N\leftarrow N+1$
   $U\leftarrow \mathrm{0,65}\times U+861$
   Fin Tant que

   1. Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité.

      Valeur de N	0	1	…
      Valeur de U	1760		…
      Condition $U⩽2400$	Vraie		…

   2. Donner la valeur affectée à la variable N à la fin de l'exécution de cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. Selon ce modèle, est-il possible d'envisager une demande supérieure à 2500 emplacements ?

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exercice 2

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 10 milliers d'articles.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction C définie pour tout x élément de l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $$C\left(x\right)=x^3+12x^2+21x+320$$ La courbe représentative de la fonction C, notée ${𝒞}_T$, est donnée ci-dessous.

partie a

1. Le coût marginal de fabrication pour une production de x milliers d'articles est donné par $C\prime \left(x\right)$ où $C\prime$ est la dérivée de la fonction C.
   Calculer $C\prime \left(4\right)$ et $C\prime \left(6\right)$.

2. Justifier que la fonction C est strictement croissante sur $\left[0;10\right]$.

partie b

Chaque article est vendu 273 euros, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par $R\left(x\right)=273x$.

1. 1. Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe 𝒟 représentative de la fonction R.

   2. Par lecture graphique, déterminer la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.

2. Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $B\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)$.

   1. Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend 6 000 articles un mois donné.

   2. On note $B\prime$ la dérivée de la fonction B.
      Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;10\right]$ on a $B\prime \left(x\right)=-3x^2-24x+252$.

   3. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle $\left[0;10\right]$.

   4. En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal.
      Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?

partie c

On note $f\left(x\right)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]0;10\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3+12x^2+21x+320}{x}}$.
On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle $\left]0;10\right]$ et on appelle $f\prime$ sa fonction dérivée.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$, et vérifier que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x-4\right)\left(2x^2+20x+80\right)}{x^2}}$ pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;10\right]$.

2. Étudier les variations de la fonction f sur $\left]0;10\right]$.

3. En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?

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