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\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 26 septembre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle commun \no 1}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo 

 \medskip 

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1760$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1} = 0,65u_{n} +861$.
 
\begin{enumerate}
\item Soit $\left(v_{n}\right)$  la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 2460$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
		
		En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n} = 2460 -700\times  0,65^n$.
	\end{enumerate} 
\item \'Etudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item Déterminer la limite de la suite  $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une étude réalisée sur le nombre d'emplacements de camping d'une région touristique a permis d'établir que la demande d'emplacements peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre d'emplacements l'année $2017 + n$. 

\begin{enumerate}
\item Un réaménagement de l'offre d'emplacements de camping sera nécessaire dès que la demande dépassera \np{2400} emplacements.

On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$U \leftarrow \np{1760}$

$N \leftarrow  0$

Tant que  $U \leqslant \np{2400}$

\begin{itemize}
\item[] $N \leftarrow N+1$
\item[] $U \leftarrow 0,65 \times U + 861$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
			\item Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité. 
			
			\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3}\cline{5-5}
Valeur de $N$				&0	& 1	& \ldots & \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
Valeur de $U$				& \np{1760}  & & \ldots & \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
Condition $U \leqslant \np{2400}$	& Vraie & & \ldots & \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Donner la valeur affectée à la variable $N$ à la fin de l'exécution de cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\end{enumerate}
		\item Selon ce modèle, est-il possible d'envisager une demande supérieure à \np{2500} emplacements ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 10 milliers d'articles.

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $C$  définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0;10]$ par \[C(x)=x^3+12x^2+21x+320\]La courbe représentative de la fonction $C$, notée $\mathcal{C}_T$, est donnée en annexe  ci-dessous.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}

\item Le coût marginal de fabrication pour une production de $x$ milliers d'articles est donné par $C'(x)$ où $C'$ est la dérivée de la fonction $C$.

Calculer $C'(4)$ et $C'(6)$.
\item Justifier que la fonction $C$ est strictement croissante sur $[0;10]$.

\end{enumerate}

\pagebreak
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
Chaque article est vendu 273 euros, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par \[R(x)=273x\]
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe  $\mathcal{D}$ représentative de la fonction $R$.
	\item Par lecture graphique, déterminer la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{enumerate}
\item Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0;10]$ par $B(x)=R(x)-C(x)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend \np{6000} articles un mois donné.
	\item On note $B'$ la dérivée de la fonction $B$. 
	
	Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;10]$ on a $B'(x)=-3x^2-24x+252$.
	\item Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0;10]$. 
	\item En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal.	
	Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}

%\item Vérifier que si le bénéfice est maximal alors le coût marginal est égal au prix de vente d'un article.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

On note $f(x)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. 

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0 ; 10]$ par $f(x) = \dfrac{x^3+12x^2+21x+320}{x}$. 

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; 10]$ et on appelle $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
	\item  Calculer $f'(x)$, et vérifier que $f'(x)= \dfrac{(x-4)(2x^2+20x+80)}{x^2}$  pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; 10]$. 
	\item \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur $]0 ; 10]$.
	\item En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(22,16.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
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\rput(10,16){\small{\textbf{\textsc{\textsf{annexe}}}}}
\rput(10,15.5){\small{(\emph{à rendre avec la copie})}}
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\def\f{(x^3+12*x^2+21*x+320)}
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\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,3000){$y$}
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\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}

