contrôles en terminale ES-L

contrôle du 29 septembre 2017

Corrigé de l'exercice 1

Dans une ville, un abonnement annuel est proposé pour les spectacles subventionnés par la municipalité. En 2016, il y avait 1 200 abonnés.
Une étude statistique a permis de modéliser l'évolution du nombre d'abonnements pour les prochaines années de la manière suivante :
Chaque année, 70 % des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l'année suivante et 780 nouveaux abonnements seront souscrits.

Selon ce modèle, quel est le nombre d'abonnements prévus pour l'année 2018 ?
- Le nombre d'abonnements prévus pour l'année 2017 est : $1200 \times \frac{70}{100} + 780 = 1620$
- Le nombre d'abonnements prévus pour l'année 2018 est : $1620 \times 0,7 + 780 = 1914$
Selon ce modèle, 1914 personnes seront abonnées en 2014.

On représente l'évolution du nombre d'abonnés par une suite $(u_{n})$ où $u_{n}$ représente le nombre d'abonnements l'année $2016 + n$ .
La suite $(u_{n})$ est donc définie par $u_{0} = 1200$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,7 \times u_{n} + 780$ .

Un gestionnaire écrit l'algorithme suivant :
$U \leftarrow 1200$
$N \leftarrow 0$
Tant que $U ⩽ 2500$
$N \leftarrow N + 1$
$U \leftarrow 0,7 \times U + 780$
Fin Tant que
Donner une interprétation de la valeur $N = 8$ obtenue à la fin de l'exécution de cet algorithme.
$u_{8} > 2500$ . C'est en 2024 que le nombre d'abonnements dépassera 2500.
Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 2600$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 2600 \\ = & 0,7 u_{n} + 780 - 2600 \\ = & 0,7 u_{n} - 1820 \\ = & 0,7 \times (u_{n} - 2600) \\ = & 0,7 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,7 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,7 dont le premier terme $v_{0} = 1200 - 2600 = - 1400$ .
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, $u_{n} = 2600 - 1400 \times {0,7}^{n}$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme $v_{0} = - 1400$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_{n} = - 1400 \times {0,7}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 2600 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 2600$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 2600 - 1400 \times {0,7}^{n}$ .
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
$0 < 0,7 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,7}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 2600 - 1400 \times {0,7}^{n} = 2600$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 2600$ .
La suite $(u_{n})$ converge vers 2600 par conséquent, au bout d'un certain nombre d'années, le nombre de personnes abonnées sera très proche de 2600.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.