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\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 29 septembre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 1}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES-L\\Durée 1 heure}}}%droit
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo 

 \medskip 
 
Dans une ville, un abonnement annuel est proposé pour les spectacles subventionnés par la municipalité. En 2016, il y avait \np{1200} abonnés.

Une étude statistique a permis de modéliser l'évolution du nombre d'abonnements pour les prochaines années de la manière suivante  :

Chaque année, 70\,\% des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l'année suivante et $780$ nouveaux abonnements seront souscrits.

\begin{enumerate}
\item Selon ce modèle, quel est le nombre d'abonnements prévus pour l'année 2018 ?
\end{enumerate}

\medskip

On représente l'évolution du nombre d'abonnés par une suite $\left( u_n \right)$ où $u_n$ représente le nombre d'abonnements l'année $2016 + n$.

La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par $u_0 = 1200$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,7 u_n + 780$.

\medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Un gestionnaire écrit l'algorithme suivant :
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$U \leftarrow \np{1200}$

$N \leftarrow  0$

Tant que  $U \leqslant \np{2500}$

\begin{itemize}
\item[] $N \leftarrow N+1$
\item[] $U \leftarrow 0,7 \times U + 780$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

Donner une interprétation de la valeur $N=8$ obtenue à la fin de l'exécution de cet algorithme.

\item Soit $\left(v_{n}\right)$  la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 2600$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
		
		En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n} = 2600 -1400\times  0,7^n$.
	\end{enumerate} 

\item Déterminer la limite de la suite  $\left(u_{n}\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$.  

On sait que  :
\begin{itemize}
	\item les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ aux points $A$ et $B$  d'abscisses respectives $(-0,5)$ et 4 sont  parallèles à l'axe des abscisses ;
	\item la tangente au point $D(1 ; 1)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point de coordonnées $( 0 ; 3 )$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-16,-3)(18,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(7-4*x)/(x^2+2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-3)(18,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-1.5)(9,5)
\uput[dl](9,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[ul](-2,2.5){\bleu{\footnotesize{$E$}}}\uput[u](-.5,4){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[d](4,-.5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[ur](1,1){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{9}{\f}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\psline(-3,1.5)(-1,3.5)
\psline(-1.5,4)(.5,4)
\psline(0,3)(2,-1)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-5,1)(-2,2.5)(-.5,4)(4,-.5)(1,1)
\uput[ur](-8,.6){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \medskip 

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

 À partir du graphique et des renseignements fournis :
\begin{enumerate}
\item Déterminer  $f'(-0,5)$ et $f'\left( 1\right)$.
\item Déterminer dans chacun des cas, lequel des trois symboles $\leqslant$, $=$ ou $\geqslant$ est approprié :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\raggedright \arraybackslash}X@{}}}
\item $f'(-2) \cdots 0$ & \item $f'(-5) \cdots f'(1)$  & \item $f'(0) \cdots f'(8)$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \medskip 

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{7-4x}{x^2+2}$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{4x^2-14x-8}{\left(x^2+2\right)^2}$.
\item \begin{enumerate}
\item \'Etudier le signe de $f'(x)$.
\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $E$ d'abscisse $(-2)$.
\end{enumerate}



\end{document}

