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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 17 octobre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle commun \no 2}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo 

 \medskip 

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 
\begin{itemize}
\item L'abscisse du point $C$ est égale à $(-0,5)$.
\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B(-3 ; 2)$ passe par le point de coordonnées $(-5;0)$.
\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $D$ a pour équation $y=-x+4$.
\end{itemize}
\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-8,-3)(7,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\fa{(-x^4-16*x^3-90*x^2-200*x-109)/16}
\def\fb{(x^4+2*x^3-36*x^2-37*x+436)/125}
\def\fc{-x^4/16+3*x^3/4-3*x^2+4*x+1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-3)(7,5)
%\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=1]{->}(0,0)(-8,-3)(7,5)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7.179}{-3}{\fa}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{2}{\fb}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{2}{6.179}{\fc}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-5.9,1)(-4.1,1)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-5,0)(-1,4)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1.25,3.5625)(.25,3.5625)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(3,1)(5,1)
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-5,1)(-3,2)(-.5,3.5625)(2,2)(4,1)
\uput[u](-5,1){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ul](-3,2){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[u](-.5,3.5){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[ur](2,2){\bleu{\footnotesize{$D$}}}\uput[u](4,1){\bleu{\footnotesize{$E$}}}\uput[ul](7,-3){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Tracer la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $D$.
\item Déterminer $f'(2)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\emph{Les réponses aux questions suivantes seront justifiées à partir d'arguments graphiques.}
\end{center}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item  Déterminer  $f'(-3)$ et $f'(4)$.
\item Déterminer dans chacun des cas, lequel des trois symboles $\leqslant$, $=$ ou $\geqslant$ est approprié :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\raggedright \arraybackslash}X@{}}}
$f'(-5) \cdots 0$ & $f'(-7) \cdots f'(6)$ & $f''(-1) \cdots f''(3)$ & $f''(2) \cdots 0$ \\ 
\end{tabularx}
\item Quels sont les points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
\item Une des quatre courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$ et $\mathcal{C}_4$ ci-dessous est la courbe représentative de la dérivée $f'$ et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde $f{''}$.

Déterminer la courbe qui représente la dérivée $f'$ et celle qui représente la dérivée seconde $f{''}$.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}	
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(6,4)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\fa{-x^3/4-3*x^2-45*x/4-25/2}
\def\fb{(4*x^3+6*x^2-72*x-37)/125}
\def\fc{-x^3/4+9*x^2/4-6*x+4}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-7,-5)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-5)(6,4)
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.821}{-3}{\fa}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{2}{\fb}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{2}{6}{\fc}
\end{pspicture}&
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(6,4)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x+5)*(x+3)*(x-2)*(x-4)/120}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-7,-5)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-5)(6,4)
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.52}{5.52}{\f}
\end{pspicture}\\
Courbe $\mathcal{C}_1$ & Courbe $\mathcal{C}_2$\\
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(6,4)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x+5)*(x+.5)*(x-4)/35}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-7,-5)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-5)(6,4)
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{5.97}{\f}
\end{pspicture} &
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(6,4)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\fa{-.75*x^2-6*x-45/4}
\def\fb{(12*x^2+12*x-72)/125}
\def\fc{-.75*x^2+4.5*x-6}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-7,-5)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-5)(6,4)
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.768}{-3}{\fa}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{2}{\fb}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{2}{5.768}{\fc}
\end{pspicture}\\
Courbe $\mathcal{C}_3$ & Courbe $\mathcal{C}_4$\\
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo

 \medskip 

On considère la fonction $f$ définie et dérivable pour tout réel $x$ par $f(x)= \dfrac{x^3-x^2-3}{x^2+3}$.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$,  $f'(x)=\dfrac{x^4+9x^2}{{(x^2+3)}^2}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$.
\item \begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$.
		\item À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de la solution $\alpha$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

 On admet que la dérivée seconde de la fonction $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f''(x)= \dfrac{-6x\left(x^2-9\right)}{{(x^2+3)}^3}$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est convexe ou concave.
	\item La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des points d'inflexion ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 

Une entreprise vend trois articles notés $A_1$, $A_2$ et $A_3$. La fabrication de chacun de ces articles nécessite trois ressources $X$, $Y$ et $Z$ (\emph{par exemple travail, matières premières et énergie}). 

Le tableau suivant présente les  coûts des ressources en euros, nécessaires à la fabrication de chaque article. 
\begin{center}

\begin{tabular}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}m{1cm}|}}\cline{2-4}
 \multicolumn{1}{l|}{} & $X$ & $Y$ & $Z$  \\ \hline
 $A_1$ & 15 & 10 & 3  \\ \hline
 $A_2$ & 12 & 8 & 5 \\ \hline
 $A_3$ & 8 & 9 & 5  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Effectuer le produit $\begin{pmatrix*}[r] 15 & 10 & 3  \\ 12 & 8 & 5 \\ 8 & 9 & 5  \end{pmatrix*}\times{\begin{pmatrix} 1  \\ 1\\  1 \\\end{pmatrix} }$  et interpréter le résultat.
\item À l'aide d'un produit de matrices, calculer le coût total de production pour la fabrication de 100 articles de chaque sorte.
\end{enumerate}
\item La matrice des commandes de deux clients notés $C_1$ et $C_2$  est  $C={\begin{pmatrix*}[r] 10 & 5 & 7 \\ 20 & 12 & 18 \\\end{pmatrix*}}$  les lignes étant relatives aux clients et les colonnes aux articles.
\begin{enumerate}
\item Effectuer le produit $\begin{pmatrix} 1 & 1  \end{pmatrix}\times C$  et interpréter le résultat.
\item Le prix de vente unitaire de chacun des trois articles est respectivement 45~\euro, 50~\euro{}  et 35~\euro. 
	
	Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, le montant en euros de la commande de chacun des clients.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}

\begin{enumerate}
\item Soit $A$ et $B$ deux matrices définies par : $A=\begin{pmatrix*}[l] x & 4 \\ x-1 & 3  \end{pmatrix*}$   et   $B= \begin{pmatrix*}[l] x & 2  \\ 2x & x-1  \end{pmatrix*}$ où $x$ est un réel fixé.
\begin{enumerate}
\item \textsf {\textsc{affirmation 1 :}} $A\times B=\begin{pmatrix*}[l] x^2+8x & 10x \\ x^2-x & 5x-1  \end{pmatrix*}$.
\item \textsf {\textsc{affirmation 2 :}} Il existe une unique valeur $x$ pour laquelle $A\times B = \begin{pmatrix*}[r] 4 & 8 \\ 14 & 5  \end{pmatrix*}$. 
\end{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction deux fois dérivable telle que pour tout $x$ réel, $f''(x) = 3x+2$,   $f'(3) = 2$  et $f(3) = 5$.
\begin{enumerate}
\item \textsf {\textsc{affirmation 3 :}} La fonction est convexe sur $\left[-\dfrac{2}{3} ; 3\right]$.
\item \textsf {\textsc{affirmation 4 :}} L'équation de la tangente au point d'abscisse 3 est : $y= 2x+5$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}

