contrôles en terminale ES

contrôle du 21 novembre 2017

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(2-x)ex.
Sa courbe représentative notée 𝒞f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.

    1. On note f la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que pour tout nombre réel x, on a : f(x)=(1-x)ex.

      La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x, {u(x)=2-x;u(x)=-1v(x)=ex;v(x)=ex

      Soit pour tout réel x, f(x)=-ex+(2-x)ex=(-1+2-x)ex=(1-x)ex

      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(1-x)ex


    2. Étudier les variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Pour tout réel x, ex>0 donc f(x) est du même signe que (1-x). Or 1-x0x1

      Nous pouvons établir le tableau du signe de f(x) et des variations de la fonction f :

      x-1+
      f(x)+0||
      f(x)fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      e

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Montrer que sur l'intervalle [1;2], l'équation f(x)=2 admet une solution unique α . À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie à 10-2 près de α.

    f(1)=e>2 et f(2)=0. Sur l'intervalle [1;2], la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et f(2)<2<f(1) alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

    l'équation f(x)=2 admet une unique solution α[1;2]. À l'aide de la calculatrice, on trouve α1,59.


  2. Déterminer une équation de la tangente 𝒟 à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse 0. Tracer la droite 𝒟 dans le repère précédent.

    Une équation de la tangente 𝒟 à la courbe 𝒞f au point d'abscisse 0 est :y=f(0)×(x-0)+f(0)

    Or f(0)=2 et f(0)=1.

    La tangente à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse 0 a pour équation y=x+2.


    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    La droite 𝒟 d'équation y=x+2 passe par le point A et par le point de coordonnées (1;3).

    1. On note f la dérivée seconde de la fonction f. Calculer f(x).

      La fonction dérivée f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x, {u(x)=1-x;u(x)=-1v(x)=ex;v(x)=ex

      Soit pour tout réel x, f(x)=-ex+(1-x)ex=(-1+1-x)ex=-xex

      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=-xex


    2. Étudier la convexité de la fonction f.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde f.

      Comme pour tout réel x, ex>0, nous pouvons en déduire le tableau du signe de f(x) :

      x- 0 +
      f(x) +0|| 

      La fonction f est convexe sur l'intervalle ]-;0] et concave sur l'intervalle [0;+[.


    3. La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.

      La fonction f change de convexité en 0 donc le point A de coordonnées (0;2) est un point d'inflexion de la courbe 𝒞f.



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