Soit f la fonction définie pour tout réel x par .
Sa courbe représentative notée est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.
On note la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que pour tout nombre réel x, on a : .
La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x,
Soit pour tout réel x,
Ainsi, est la fonction définie pour tout réel x par
Étudier les variations de la fonction f.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Pour tout réel x, donc est du même signe que . Or
Nous pouvons établir le tableau du signe de et des variations de la fonction f :
x | 1 | ||||
+ | − | ||||
e |
Montrer que sur l'intervalle , l'équation admet une solution unique α . À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie à près de α.
et . Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
l'équation admet une unique solution . À l'aide de la calculatrice, on trouve .
Déterminer une équation de la tangente 𝒟 à la courbe au point A d'abscisse 0. Tracer la droite 𝒟 dans le repère précédent.
Une équation de la tangente 𝒟 à la courbe au point d'abscisse 0 est :
Or et .
La tangente à la courbe au point A d'abscisse 0 a pour équation .
La droite 𝒟 d'équation passe par le point A et par le point de coordonnées .
On note la dérivée seconde de la fonction f. Calculer .
La fonction dérivée est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x,
Soit pour tout réel x,
Ainsi, est la fonction définie pour tout réel x par
Étudier la convexité de la fonction f.
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde .
Comme pour tout réel x, , nous pouvons en déduire le tableau du signe de :
x | 0 | ||||
+ | − |
La fonction f est convexe sur l'intervalle et concave sur l'intervalle .
La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.
La fonction f change de convexité en 0 donc le point A de coordonnées est un point d'inflexion de la courbe .
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