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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 23 novembre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 3}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES-L\\Durée 1 heure 50 min}}}%droit
%pied de page                                              
%\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo

 \medskip 

Simplifier les expressions suivantes :

\begin{enumerate}
\item $A(x)=\dfrac{3^{2x-3}}{3^{x-2}} \times 3^{1-x}$.
\item $B(x)=\left(\e^{x}+\e^{-x}\right)\left(\e^{x}-\e^{-x}\right)+\dfrac{1}{\e^{2x}}$.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $\e^{-2x+1}-1=0$.
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $\e^{2-3x}\times\e^{2x+1}\geqslant 1$.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

 \medskip
 
 Sur les dix derniers mois, le cours du bois a augmenté de 46 \% et le cours du sucre a baissé de 30 \%
 
 \begin{enumerate}
 \item Calculer le pourcentage d'évolution mensuel moyen du cours du bois. (\emph{arrondir le résultat à 0,01 \% près}).
 \item Calculer le pourcentage d'évolution mensuel moyen du cours du sucre. (\emph{arrondir à 0,1 \% près}).
 \end{enumerate}
 
 \bigskip 

\exo

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$  par $f(x) =(x^2-2x+2)\e^{x}$. 

Sa courbe représentative notée $\mathcal{C}_f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-1)(6,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x^2-2*x+2)*EXP(x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-1)(6,12)
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-.5)(3,6)
\uput[dl](3,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5}{1.538}{\f}
\psdot[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](1,2.71828)
\uput[ul](1,2.71828){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\uput[dr](1.5,6){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

Montrer que pour tout nombre réel $x$,  on a : $f'(x) =x^2\e^{x}$.
	\item Étudier les variations de la fonction $f$.	
\end{enumerate}
\item Montrer que sur l'intervalle $[1; 2]$, l'équation $f(x)=4$ admet une unique solution $\alpha$. 

À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie au dixième près de $\alpha$.
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse 1.

Tracer la droite $\mathcal{D}$ dans le repère précédent.
\item \begin{enumerate}
\item On note $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$. Calculer $f''(x)$.
 \item Étudier la convexité de la fonction $f$.
 \item Calculer les coordonnées des points d'inflexion de la courbe  $\mathcal{C}_f$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
