contrôles en terminale ES-L

contrôle du 21 décembre 2017

Corrigé de l'exercice 2

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième. Les parties A et B sont indépendantes.

D'après une enquête sur l'emploi en France :

  • 52 % des personnes qui exercent un emploi sont des hommes ;
  • 15 % des hommes qui exercent un emploi ne sont pas salariés ;
  • 91,6 % des femmes qui exercent un emploi sont salariées.

partie a

On interroge au hasard une personne ayant un emploi et on note :

  • H : l'évènement « la personne est un homme » ;
  • F : l'évènement « la personne est une femme » ;
  • S : l'évènement « la personne exerce un emploi salarié ».
  1. Calculer les probabilités p(F), pH(S) et pF(S¯).

    • 52 % des personnes qui exercent un emploi sont des hommes d'où p(H)=0,52 et p(F)=1-p(H)=1-0,52=0,48.

    • 15 % des hommes qui exercent un emploi ne sont pas salariés d'où pH(S¯)=0,15 et pH(S)=1-pH(S¯)=1-0,15=0,85.

    • 91,6 % des femmes qui exercent un emploi sont salariées d'où pF(S)=0,916 et pF(S¯)=1-pF(S)=1-0,916=0,084.

    Ainsi, p(F)=0,48, pH(S)=0,85 et pF(S¯)=0,084.


  2. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

    Arbre de probabilités : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Calculer p(FS). Interpréter le résultat.

    p(FS)=pF(S)×p(F)Soitp(FS)=0,916×0,480,44

    Arrondie au millième près, la probabilité qu'une personne qui exerce un emploi soit une femme salariée est 0,44.


  4. Calculer la probabilité qu'une personne exerce un emploi salarié.

    D'après la formule des probabilités totales : p(S)=p(FS)+p(HS)

    Avec p(HS)=pH(S)×p(H)Soitp(HS)=0,85×0,52=0,442

    D'où p(S)=0,44+0,442=0,882

    La probabilité qu'une personne exerce un emploi salarié est égale à 0,882.


  5. La personne interrogée exerce un emploi salarié. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ?

    pS(H)=p(HS)p(S)SoitpS(H)=0,4420,8820,501

    Arrondie au millième près, la probabilité qu'une personne salariée soit un homme est 0,501.


partie b

Selon cette étude, 30 % des femmes qui ont un emploi, travaillent à temps partiel.
On choisit au hasard 40 femmes qui ont un emploi. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de femmes qui travaillent à temps partiel.
La population de femmes qui exercent un emploi est suffisamment importante pour que l'on puisse considérer que X suit une loi binomiale.

  1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

    X suit la loi binomiale de paramètres n=40 et p=0,3.


  2. Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter le résultat.

    L'espérance mathématique de X est E(X)=40×0,3=12.
    Dans l'ensemble des groupes de 40 femmes qui ont un emploi il y a en moyenne 12 femmes qui travaillent à temps partiel.


  3. Déterminer la probabilité que dans ce groupe il y a exactement 12 femmes qui travaillent à temps partiel.

    À l'aide de la calculatrice, on a P(X=12)0,137.

    Arrondie au millième près, la probabilité que dans ce groupe il y a exactement 12 femmes qui travaillent à temps partiel est 0,137.


  4. On a calculé ci-dessous, les valeurs des probabilités P(Xk), pour k allant de 5 à 19.

    kP(Xk)kP(Xk)kP(Xk)kP(Xk)kP(Xk)
    50,008 680,111 0110,440 6140,807 4170,968 0
    60,023 890,195 9120,577 2150,884 9180,985 2
    70,0553100,308 7130,703 2160,936 7190,993 7
    1. Déterminer la probabilité que dans ce groupe il y ait au moins 12 femmes qui travaillent à temps partiel.

      P(X12)=1-P(X11)=1-0,44060,559

      Arrondie au millième près, la probabilité que dans ce groupe il y ait au moins 12 femmes qui travaillent à temps partiel est 0,559.


    2. Calculer P(7X18). Interpréter ce résultat.

      P(7X18)=P(X18)-P(X6)=0,9852-0,0238=0,961

      Dans un groupe de 40 femmes qui ont un emploi, la probabilité qu'il y ait entre 7 et 18 femmes qui travaillent à temps partiel est 0,961.



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