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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 21 décembre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 4}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES-L\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}
\exo \qquad (\emph{5 points})

\medskip

\begin{center}
\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En France,  le nombre de femmes actives  âgées de 50 à 64 ans a fortement augmenté depuis 2006, il est passé de 3~millions en 2006 à 4,1~millions en 2016.

\textsf{\textsc{{affirmation} 1 :}} 

Entre 2006 et 2016, le nombre de femmes actives âgées de 50 à 64 ans a augmenté d'environ 3,2\,\% chaque année.

\bigskip

\item Soient $\left( u_n\right)$ la suite définie par $u_0=100$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=81-1,025 u_{n}$ et $ \left( v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par  $v_{n}=40-u_{n}$.

\textsf{\textsc{{affirmation} 2 :}} 

$ \left( v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=1,025$ et de premier terme $v_0=-60$.

\medskip

\textsc{\textsf{affirmation 3}}

Pour tout entier naturel $n$, $u_n=40+60\times \left(-1,025\right)^n$.

\bigskip

\item On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de \textbf{la dérivée} $f'$ d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur  $\R$. 

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(7,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{3*(4-x)*(x+4)*(x-2)/(x^2-3*x+21)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,griddots=10](-6,-6)(7,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-6)(7,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](7,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-4.969}{5.969}{\f}
\uput[dl](-5,3){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsc{\textsf{affirmation 4}}

Sur l'intervalle $]-\infty ; -1]$, la fonction $f$ est décroissante.

\medskip

\textsc{\textsf{affirmation 5}}

Sur l'intervalle $[ -1 ; 3]$, la fonction $f$ est convexe.

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad (\emph{7 points})

\begin{center}
\emph{Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième. Les parties A et B sont indépendantes. }
\end{center}

D'après une enquête sur l'emploi en France : 
\begin{itemize}
\item 52\,\% des personnes qui exercent un emploi sont des hommes  ;
\item 15\,\% des hommes qui exercent un emploi ne sont pas salariés ;
\item 91,6\,\% des femmes qui exercent un emploi sont salariées.
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On interroge au hasard une personne ayant un emploi et on note :

\begin{itemize}
\item $H$  l'évènement \og la personne est un homme \fg{} ;
\item $F$  l'évènement \og la personne est une femme \fg{} ;
\item $S$  l'évènement \og la personne exerce un emploi salarié \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités $p(F)$, $p_{H}(S)$ et $p_{F}(\overline{S})$.
\item Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$H$}~}\naput{\ldots}}
		{
\TR{\bleu{$S$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{\bleu{$\overline{S}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$F$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$S$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{~\bleu{$\overline{S}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
}
\end{center}

\item Calculer $p\left( F \cap S\right)$. Interpréter le résultat.
\item Calculer la probabilité qu'une personne exerce un emploi salarié.
\item La personne interrogée exerce un emploi salarié. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Selon cette étude, 30\,\% des femmes qui ont un emploi, travaillent à temps partiel.

On choisit au hasard 40 femmes qui ont un emploi. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de femmes qui travaillent à temps partiel.
	
La population de femmes qui exercent un emploi est suffisamment importante pour que l'on puisse considérer que $X$ suit une loi binomiale.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Interpréter le résultat.
		\item Déterminer la probabilité que dans ce groupe il y a exactement 12 femmes qui travaillent à temps partiel.
		\item On a calculé ci-dessous, les valeurs des probabilités $P\left(X \leqslant  k\right)$, pour $k$ allant de 5 à 19.

 \begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{|>{\centering}m{2em}|>{\centering \arraybackslash}X|}}  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$\\ \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
5 & \np{0,0086} & 8 & \np{0,1110} & 11 & \np{0,4406} & 14 & \np{0,8074} & 17 & \np{0,9680}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
6 & \np{0,0238} & 9 & \np{0,1959} & 12 & \np{0,5772} & 15 & \np{0,8849} & 18 & \np{0,9852}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
7 & \np{0,0553} & 10 & \np{0,3087} & 13 & \np{0,7032} & 16 & \np{0,9367} & 19 & \np{0,9937}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité  que dans ce groupe il y ait au moins 12 femmes qui travaillent à temps partiel. 
\item Calculer $P\left( 7\leqslant X \leqslant 18\right)$. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
 \bigskip
  
\exo \qquad (\emph{8 points})

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip


Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[ 0 ; 8]$ par $f(x)=\left(\dfrac{3}{4}x-6\right)\mathrm{e}^{0,5x-2}+5$. 

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable. On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(3*x/4-6)*EXP(.5*x-2)+5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(9,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(9,6)
\uput[dl](9,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{8}{\f}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,5)(6,.5)
%\psdot[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](4,2)
%\uput[ul](4,2){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\uput[dr](8,5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[ 0 ; 8]$ on a : $f'(x)=\left(\dfrac{3}{8}x-\dfrac{9}{4}\right)\mathrm{e}^{0,5x-2}$.
\item \begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[ 0 ; 8]$.
\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse 4.
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ dans le repère précédent. 
\item En déduire graphiquement la valeur de $f''(4)$.
\end{enumerate}
\item Montrer que dans l'intervalle $[6; 8]$, l'équation $f(x)=2$ admet une deuxième solution $\alpha$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une entreprise fabrique un certain type d'article. Sa capacité de production est limitée à 800 articles par jour.

Après avoir fait une étude, le directeur constate que si l'entreprise produit chaque jour $x$ centaines d'articles (où $x$ est un nombre réel de l'intervalle $[ 0 ; 8]$), alors le coût moyen de production d'un article, en centaines d'euros, est donné par la fonction $f$ définie dans la partie A.
\begin{enumerate}
\item Si le prix de vente d'un article est de 92 euros, l'entreprise fait-elle un bénéfice ?
\item Déterminer l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production $x$ pour que le coût moyen de production soit inférieur ou égal à 200 euros.
\end{enumerate}

\end{document}
