contrôle du 1^er février 2018

Corrigé de l'exercice 2

partie a

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=\mathrm{8 500}$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{1,02}{u}_n-250$.

1. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par : $v_n=u_n-\mathrm{12 500}$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{1,02}$ et préciser le premier terme.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-\mathrm{12 500}\\ & =& \mathrm{1,02}{u}_n-250-\mathrm{12 500}\\ & =& \mathrm{1,02}{u}_n-\mathrm{12 750}\\ & =& \mathrm{1,02}\times \left(u_n-\mathrm{12 500}\right)\\ & =& \mathrm{1,02}{v}_n\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{1,02}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{1,02}$ dont le premier terme $v_0=\mathrm{8 500}-\mathrm{12 500}=-\mathrm{4 000}$.

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   2. Exprimer $v_n$ en fonction de n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme $v_0=-\mathrm{4 000}$ donc pour tout entier naturel n, on a :$v_n=-\mathrm{4 000}\times {\mathrm{1,02}}^n$.

      ---

   3. Justifier que pour tout entier naturel n, $u_n=\mathrm{12 500}-\mathrm{4 000}\times {\mathrm{1,02}}^n$.

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-\mathrm{12 500}\iff u_n=v_n+\mathrm{12 500}$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, $u_n=\mathrm{12 500}-\mathrm{4 000}\times {\mathrm{1,02}}^n$.

      ---

2. Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.

   Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}-u_n& =& \left(\mathrm{12 500}-\mathrm{4 000}\times {\mathrm{1,02}}^{n+1}\right)-\left(\mathrm{12 500}-\mathrm{4 000}\times {\mathrm{1,02}}^n\right)\\ & =& -\mathrm{4 000}\times {\mathrm{1,02}}^{n+1}+\mathrm{4 000}\times {\mathrm{1,02}}^n\\ & =& \mathrm{4 000}\times {\mathrm{1,02}}^n\times \left(-\mathrm{1,02}+1\right)\\ & =& -80\times {\mathrm{1,02}}^n\end{array}$$

   Or pour tout entier n, $-80\times {\mathrm{1,02}}^n<0$, donc :

   pour tout entier n, $u_{n+1}-u_n<0$. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.

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partie b

Un site internet propose sur inscription un service de jeux en ligne. Le 1^er janvier 2018 il y avait 8 500 membres inscrits.
L'évolution mensuelle du nombre de membres est modélisée par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ est une estimation du nombre de membres inscrits au bout de n mois.
La responsable du service marketing, a prévu de lancer une campagne de publicité dès que le nombre de membres inscrits sera inférieur à 7 500.

1. Voici deux propositions d'algorithmes :

   $U\leftarrow \mathrm{8 500}$ $N\leftarrow 0$		$U\leftarrow \mathrm{8 500}$ $N\leftarrow 0$
   Tant que $U<\mathrm{7 500}$ $U\leftarrow \mathrm{1,02}\times U-250$ $N\leftarrow N+1$ Fin Tant que		Tant que $U⩾\mathrm{7 500}$ $U\leftarrow \mathrm{1,02}\times U-250$ $N\leftarrow N+1$ Fin Tant que
   Algorithme 1		Algorithme 2

   Un seul de ces algorithmes permet de calculer le plus petit entier naturel n tel que $u_n<\mathrm{7 500}$. Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.

   La négation de la condition « $u_n<\mathrm{7 500}$ » est « $u_n⩾\mathrm{7 500}$ ». Donc l'algorithme 1 ne convient pas car la condition $U<\mathrm{7 500}$ est fausse dès l'initialisation par conséquent, la boucle Tant que ne sera pas exécutée et on obtient à la fin de l'exécution de cet algorithme $N=0$.

   L'algorithme 2 permet de calculer le plus petit entier naturel n tel que $u_n<\mathrm{7 500}$.

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2. 1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation : $\mathrm{12 500}-\mathrm{4 000}\times {\mathrm{1,02}}^n<\mathrm{7 500}$.

      Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{rcll}\mathrm{12 500}-\mathrm{4 000}\times {\mathrm{1,02}}^n<\mathrm{7 500}& \iff & -\mathrm{4 000}\times {\mathrm{1,02}}^n<-\mathrm{5 000}& \\ & \iff & {\mathrm{1,02}}^n>\mathrm{1,25}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,02}}^n\right)>\ln \mathrm{1,25}& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{1,02}>\ln \mathrm{1,25}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{1,25}}{\ln \mathrm{1,02}}}& \end{array}$$

      Or ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{1,25}}{\ln \mathrm{1,02}}}\approx \mathrm{11,3}$

      Les solutions entières de l'inéquation $\mathrm{12 500}-\mathrm{4 000}\times {\mathrm{1,02}}^n<\mathrm{7 500}$ sont les entiers $n⩾12$.

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   2. En déduire la valeur de la variable N à la fin de l'exécution de l'algorithme choisi à la question précédente et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

      Le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_n<\mathrm{7 500}$ est égal à 12.

      La valeur de la variable N à la fin de l'exécution de l'algorithme 2 est $N=12$. Le nombre de membres inscrits sera inférieur à 7 500 au bout de 12 mois.

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