contrôle du 1^er février 2018

Corrigé de l'exercice 3

Soit f une fonction définie sur l'intervalle $\left]0;8\right]$ par $f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+x^2-5x$. On admet que la fonction f est deux fois dérivable. On note $f\prime$ sa dérivée et $f″$ sa dérivée seconde.

1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;8\right]$ on a : $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-5x+2}{x}}$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;8\right]$ :$$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}+2x-5={\displaystyle \frac{2+2x^2-5x}{x}}$$

   Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left]0;8\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-5x+2}{x}}$.

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2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0;8\right]$.

      Sur l'intervalle $\left]0;8\right]$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $2x^2-5x+2$. Cherchons les racines du trinôme.

      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=25-16=9$ donc le trinôme admet deux racines :$$\begin{array}{ccc}{x}_1={\displaystyle \frac{5-3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{5+3}{4}}=2\end{array}$$

      D'où le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ :

      x	0				${\displaystyle \frac{1}{2}}$		2		8
      $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   2. En déduire le tableau complet des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;8\right]$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	0				${\displaystyle \frac{1}{2}}$		2		8
      $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$					$2\ln \left(\mathrm{0,5}\right)-\mathrm{2,25}$		$2\ln \left(2\right)-6$		$2\ln \left(8\right)+24$

      $f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=2\ln \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}=-2\ln \left(2\right)-{\displaystyle \frac{9}{4}}$ ; $f\left(2\right)=2\ln \left(2\right)-6$ et $f\left(8\right)=2\ln \left(8\right)+24=6\ln \left(2\right)+24$

3. 1. Montrer que dans l'intervalle $\left]0;8\right]$, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α.

      • Sur l'intervalle $\left]0;2\right]$, le maximum de la fonction f est $f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-2\ln \left(2\right)-{\displaystyle \frac{9}{4}}\approx -\mathrm{3,6}$. Donc sur l'intervalle $\left]0;2\right]$ l'équation $f\left(x\right)=0$ n'a pas de solution.

      • Sur l'intervalle $\left[2;8\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left(2\right)<0<f\left(8\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[2;8\right]$.

      Sur l'intervalle $\left]0;8\right]$, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique α.

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   2. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à ${10}^{-2}$ près de la solution α.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{4,32}$.

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4. Déterminer une équation de la tangente 𝒟 à la courbe ${𝒞}_f$ représentative de la fonction f au point A d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente 𝒟 à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 1 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $f\left(1\right)=2\ln \left(2\right)+1-5=-4$ et $f\prime \left(1\right)=2-5+2=-1$ d'où une équation de la tangente 𝒟 :$$\begin{array}{ccc}y=-\left(x-1\right)-4& \iff & y=-x-3\end{array}$$

   La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 1 a pour équation $y=-x-3$.

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5. Étudier les positions relatives de la courbe ${𝒞}_f$ par rapport à sa tangente 𝒟 ?

   Étudions la convexité de la fonction f :

   • La fonction dérivée $f\prime$ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f\prime ={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f″={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;8\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=2x^2-5x+2& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=4x-5\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$

     Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;8\right]$ : $$\begin{array}{rcl}f″\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(4x-5\right)\times x-\left(2x^2-5x+2\right)}{x^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2-2}{x^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2\left(x^2-1\right)}{x^2}}\end{array}$$

   • La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde :

     x	0				1		8
     $f″\left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

     La fonction f est concave sur $\left]0;1\right]$ et convexe sur $\left[1;8\right]$. Le point A d'abscisse 1 est un point d'inflexion.

   La courbe ${𝒞}_f$ traverse sa tangente en A. Sur $\left]0;1\right]$, la courbe ${𝒞}_f$ est au dessous de sa tangente 𝒟 et sur $\left[1;8\right]$ la courbe ${𝒞}_f$ est au dessus de sa tangente 𝒟.

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