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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 1\up{er} février 2018}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 5}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES-L\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}
\exo 

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.} 

\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La solution exacte de l'équation $\left( \dfrac{1}{3} \right)^x = \dfrac{2}{3}$ est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $0,369$ & \item  $\ln 2$ & \item $1-\dfrac{\ln 2}{\ln 3}$ & \item $3\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)$ \end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip

\item La solution exacte de l'équation $\ln\left(\dfrac{x}{2}\right) = 2$ est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $2\e^2$ & \item  $\e$ & \item $\dfrac{\e^2}{2}$ & \item $\e^{\tfrac{1}{2}}$ \end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip

\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $\e^{2-x}\times \e^{3x-1} \geqslant 2$ est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $S=\left[ \dfrac{\ln 2}{2}-1 ; +\infty \right[$ & \item   $S=\left[ \dfrac{\ln 2}{2} ; +\infty \right[$ & \item $S=\left[ 1-\dfrac{\ln 2}{2} ; +\infty \right[$ & \item $S=\left[ \dfrac{\ln 2 -1}{2} ; +\infty \right[$ \end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x \ln (x) - x$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

On a alors :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $f'(x) = \ln (x)-1$& \item $f'(x) = \ln (x)$& \item $f'(x) = \dfrac{1}{x} - 1$& \item $f'(x) = \dfrac{\ln (x)}{x} - 1$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=2\e^{0,5x}-\dfrac{\e}{2} x$. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ au point $A$ d'abscisse 2 a pour équation :


\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $y = \dfrac{\e}{2}$& \item $y = \dfrac{\e}{2}- x$& \item $y = \dfrac{\e}{2} x-2$& \item $y = \dfrac{\e}{2} x$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

 \medskip 

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Soit  $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = \np{8500}$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1,02 u_n -250$.

	\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = u_n - \np{12500}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 1,02$ et préciser le premier terme. 
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. 
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \np{12500}- \np{4000} \times  1,02^n$.
	\end{enumerate}
	\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Un site internet propose sur inscription un service de jeux en ligne.

Le 1\up{er} janvier 2018 il y avait \np{8500} membres inscrits. 

L'évolution mensuelle du nombre de membres est modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ est une estimation du nombre de membres inscrits au bout de $n$ mois. 

La responsable du service marketing, a prévu de lancer une campagne de publicité dès que le nombre de membres inscrits sera inférieur à \np{7500}.

\begin{enumerate}

\item Voici deux propositions d'algorithmes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|X|m{0.5cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}

$U \leftarrow \np{8500}$

$N \leftarrow 0$
&&

$U \leftarrow \np{8500}$

$N \leftarrow 0$\\

Tant que $U < \np{7500}$

$U \leftarrow 1,02 \times U -250$

$N \leftarrow N + 1$

Fin Tant que
&&

Tant que $U \geqslant \np{7500}$

$U \leftarrow 1,02 \times U -250$

$N \leftarrow N + 1$

Fin Tant que\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{c}{\textsc{\textsf{Algorithme 1}}}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textsc{\textsf{Algorithme 2}}}
\end{tabularx}
\end{center}

Un seul de ces algorithmes permet de calculer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n < \np{7500}$.
		
Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.

		\item \begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation : $\np{12500}- \np{4000} \times  1,02^n <  \np{7500}$. 
		
		\item En déduire la valeur de la variable $N$ à la fin de l'exécution de l'algorithme choisi à la question précédente et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\bigskip

\exo 

\medskip

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $] 0 ; 8]$ par $f(x)=2\ln (x) + x^2-5x$. 

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable. On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0 ; 8]$ on a : $f'(x)=\dfrac{2x^2-5x+2}{x}$.
\item \begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $] 0 ; 8]$.
\item En déduire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0 ; 8]$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Montrer que dans l'intervalle $] 0 ; 8]$, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$. 
		\item À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de la solution $\alpha$.
		\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ au point $A$ d'abscisse 1.
\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à sa tangente $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}

\end{document}
