contrôles en terminale ES

contrôle du 13 février 2018

Corrigé de l'exercice 3

Soit f une fonction définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f (x) = x^{2} (2 \ln (x) - 3) + 3$ . On admet que la fonction f est deux fois dérivable.
La courbe représentative $𝒞_{f}$ de la fonction f est donnée ci-dessous dans un repère orthogonal.

On note $f'$ la dérivée de la fonction f.

Montrer que pour tout réel x strictement positif, on a : $f' (x) = 4 x \ln (x) - 4 x$ .
Sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ la fonction f est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables :
$f = u v + 3$ d'où $f' = u' v + u v' + 0$ avec pour tout réel x strictement positif, ${\begin{array}{lcl} u (x) = x^{2} & ; & u' (x) = 2 x \\ v (x) = 2 \ln (x) - 3 & ; & v' (x) = \frac{2}{x} \end{array}$
Soit pour tout réel x strictement positif, $\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 2 x (2 \ln (x) - 3) + x^{2} \times \frac{2}{x} \\ = & 4 x \ln (x) - 6 x + 2 x \\ = & 4 x \ln (x) - 4 x \end{array}$
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f' (x) = 4 x \ln (x) - 4 x$ .
Étudier le signe de $f' (x)$ .
Pour tout réel x strictement positif, $f' (x) = 4 x \ln (x) - 4 x = 4 x (\ln (x) - 1)$
Par conséquent, sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ , $f' (x)$ est du même signe que $\ln (x) - 1$ . Or $\begin{array}{rcl} \ln (x) - 1 ⩾ 0 & \Leftrightarrow & \ln (x) ⩾ 1 \\ \Leftrightarrow & x ⩾ e \end{array}$
$f' (x) ⩽ 0$ sur l'intervalle $] 0; e]$ et sur l'intervalle $[e; + \infty [$ , on a $f' (x) ⩾ 0$ .

En déduire le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

x	0		e		$+ \infty$
$f' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$f (x)$			$3 - e^{2}$

Déterminer une équation de la tangente 𝒟 à la courbe $𝒞_{f}$ représentative de la fonction f au point A d'abscisse 1.
Une équation de la tangente 𝒟 à la courbe $𝒞_{f}$ au point A d'abscisse 1 est : $y = f' (1) \times (x - 1) + f (1)$
Or $f (1) = 0$ et $f' (1) = - 4$ d'où une équation de la tangente 𝒟 : $\begin{matrix} y = - 4 \times (x - 1) & \Leftrightarrow & y = - 4 x + 4 \end{matrix}$
La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point A d'abscisse 1 a pour équation $y = - 4 x + 4$ .
1. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f (x) = 0$ .
  - Sur l'intervalle $] 0; e]$ la fonction f est strictement décroissante et $f (1) = 0$ donc l'équation $f (x) = 0$ admet sur cet intervalle une seule solution $x = 1$ .
  - Sur l'intervalle $[e; + \infty [$ on a $f (e) = 3 - e^{2} \approx - 4,39$ et $f (e^{2}) = e^{4} + 3 \approx 57,6$ .
    Ainsi, sur l'intervalle $[e; + \infty [$ , la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f (e) < 0 < f (e^{2})$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α \in [e; e^{2}]$ .
  L'équation $f (x) = 0$ admet deux solutions.
2. Donner les valeurs, éventuellement arrondies à $10^{- 3}$ près, de chacune des solutions.
  À l'aide de la calculatrice, on obtient la valeur arrondie au millième de la solution α.
  Les solutions de l'équation $f (x) = 0$ sont 1 et $α \approx 4,099$ .
Étudier les positions relatives de la courbe $𝒞_{f}$ par rapport à sa tangente 𝒟.
Étudions la convexité de la fonction f :
- $f' (x) = 4 x (\ln (x) - 1)$ donc la fonction dérivée $f'$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :
  $f' = u v$ d'où $f ″ = u' v + u v'$ avec pour tout réel x strictement positif, ${\begin{array}{lcl} u (x) = 4 x & ; & u' (x) = 4 \\ v (x) = 2 \ln (x) - 1 & ; & v' (x) = \frac{1}{x} \end{array}$
  Soit pour tout réel x strictement positif, $f ″ (x) = 4 (\ln (x) - 1) + 4 x \times \frac{1}{x} = 4 \ln (x)$
- La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde :
  x 0 1 $+ \infty$
  $f ″ (x)$ − $0_{|}^{|}$ +
  La fonction f est concave sur $[0; 1]$ et convexe sur $[1; + \infty [$ . Le point A d'abscisse 1 est un point d'inflexion.
La courbe $𝒞_{f}$ traverse sa tangente en A. Sur $[0; 1]$ , la courbe $𝒞_{f}$ est au dessous de sa tangente 𝒟 et sur $[1; + \infty [$ la courbe $𝒞_{f}$ est au dessus de sa tangente 𝒟.

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