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\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 13 février 2018}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle commun \no 6}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 1 heure 50 min}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo

 \medskip 

\begin{center}
\emph{Dans cet exercice, les résultats seront si nécessaire, arrondis au dix millième près.}
\end{center}
 
Un fabriquant de lentilles  hydrophiles a constaté à l'issue de la fabrication, que ces lentilles peuvent avoir une perméabilité à l'oxygène défectueuse.
 
On admet que dans cette production, 23\,\% des lentilles présentent ce défaut.

L'entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de qualité de ces lentilles avant leur mise en vente.

Ce contrôle détecte et élimine 90\% des lentilles défectueuses, mais il élimine également à tort 4\% des lentilles non défectueuses. Les lentilles non éliminées sont alors mises en vente.

On prélève une lentille au hasard dans cette production et on note :

\begin{itemize}
\item $D$ l'évènement \og la lentille est défectueuse \fg{} ;
\item $V$ l'évènement \og la lentille est mise en vente\fg{}.
 \end{itemize}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}
 
\medskip

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$D$}~}\naput{\bleu{$0,23$}}}
		{
\TR{\bleu{$V$}}\naput{\prune \ldots}
\TR{\bleu{$\overline{V}$}}\nbput{\prune\ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{D}$}~}\nbput{\prune\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$V$}}\naput{\prune \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{V}$}}\nbput{\bleu{$0,04$}}
 		}
}
\end{center}
\item Calculer la probabilité que la lentille soit défectueuse et mise en vente.
\item Montrer que la probabilité qu'une lentille soit mise en vente est égale à  0,7622.
\item Quelle est la probabilité qu'une lentille mise en vente soit défectueuse ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}
 
\medskip

Dans le stock de lentilles commercialisées par l'entreprise, on admet que 3\,\% des lentilles sont défectueuses.

On prélève au hasard un lot de $n$ lentilles. On suppose que le nombre de lentilles est suffisamment grand pour assimiler ce prélèvement à des tirages successifs avec remise.
 
Soit $X$ la variable aléatoire  qui à  tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de lentilles  défectueuses.

\begin{enumerate}
	\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
	\item On suppose dans cette question, que $n=25$. 
	
	Quelle est la probabilité, arrondie au millième près, que dans un lot de 25 lentilles, il y ait au moins une lentille défectueuse ?
	\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation : \[1-0,97^n \geqslant 0,95\]
	\item Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}	  
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

\medskip

\begin{center}
\emph{Les deux parties sont indépendantes}
\end{center}
 
 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

On considère le graphe dont la matrice associée est $ M= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\
 \end{pmatrix}$
 
 \begin{enumerate}
 \item Quel l'ordre du graphe ? Quel est le nombre d'arêtes de ce graphe ? 
\item On donne les deux matrices $M^2 =\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 4 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 4 & 1 & 1 & 2\\
1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 4 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 4\\
\end{pmatrix}$ et  $M^3 =\begin{pmatrix}
2 & 2 & 3 & 2 & 5 & 5 & 2 & 3\\
2 & 2 & 5 & 2 & 5 & 3 & 2 & 3\\
3 & 5 & 4 & 5 & 8 & 4 & 3 & 8\\
2 & 2 & 5 & 2 & 3 & 3 & 2 & 5\\
5 & 5 & 8 & 3 & 4 & 8 & 3 & 4\\
5 & 3 & 4 & 3 & 8 & 4 & 5 & 8\\
2 & 2 & 3 & 2 & 3 & 5 & 2 & 5\\
3 & 3 & 8 & 5 & 4 & 8 & 5 & 4\\
\end{pmatrix}$.

Quelle est la longueur de la plus courte chaîne entre les sommets 1 et 4 ?
\item Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}
 
\medskip 
 
 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}
 
Le graphe ci-dessous, modélise le plan du quartier dans lequel un facteur effectue sa tournée à partir du sommet C. 

Les nombres présents sur chacune des arêtes indiquent le temps moyen en minutes mis par le facteur pour distribuer le courrier dans chaque rue.

\begin{center}
\psset{xunit=.75cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(12,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\cnodeput(10.8,6){1}{\bleu{A}}
\cnodeput(1.2,6){2}{\bleu{B}}
\cnodeput(0,3){3}{\bleu{C}}
\cnodeput(4,2.5){4}{\bleu{D}}
\cnodeput(6,4){5}{\bleu{E}}
\cnodeput(12,3){6}{\bleu{F}}
\cnodeput(8,2.5){7}{\bleu{G}}
\cnodeput(6,0){8}{\bleu{H}}
\end{footnotesize}
\begin{scriptsize}
\ncline{1}{5}\ncput*{\textsf{\prune 33}} \ncline{5}{6}\ncput*{\textsf{\prune 18}}\ncline{6}{8} \ncput*{\textsf{\prune 20}}\ncline{8}{3}\ncput*{\textsf{\prune 21}}\ncline{3}{5}\ncput*{\textsf{\prune 19}} \ncline{5}{2}\ncput*{\textsf{\prune 7}}\ncline{2}{3}\ncput*{\textsf{\prune 12}} \ncline{3}{4}\ncput*{\textsf{\prune 8}} \ncline{4}{8}\ncput*{\textsf{\prune 12}} \ncline{8}{7}\ncput*{\textsf{\prune 7}}\ncline{7}{6}\ncput*{\textsf{\prune 9}} \ncline{6}{1}\ncput*{\textsf{\prune 14}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}
\end{center}

Le facteur souhaite effectuer sa tournée de manière à arriver le plus rapidement en A tout en distribuant le courrier dans chaque rue où il passe.
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un algorithme, déterminer le parcours permettant d'aller du sommet C au sommet A le plus rapidement possible. Préciser alors le trajet à emprunter.
\item Est-il possible pour le facteur de revenir en C pour distribuer le courrier restant dans chacune des rues où il n'est pas passé sans avoir à repasser par une des rues déjà empruntée ? Si oui donner un parcours possible. 

Quel est alors le temps mis par le facteur pour effectuer sa tournée complète ? 

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

\medskip

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $f(x)=x^2\left(2\ln (x)-3\right) +3$. 

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable.

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous dans un repère orthogonal. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(8,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(2*ln(x)-3)*(x^2)+3}
\def\g{-4*x+4}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-2)(8,7)
\psset{xunit=1cm, yunit =.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=4]{->}(0,0)(-1,-8)(8,28)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,28){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.001}{6.2}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-.5}{3}{\g}
\uput[dr](6.2,28){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 
 \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a :  $f'(x)=4x \ln (x)-4x$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$.
\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0 ; +\infty[$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ au point $A$ d'abscisse 1.
\item \begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$. 
		\item Donner les valeurs, éventuellement arrondies à $10^{-3}$ près, de chacune des solutions.
		\end{enumerate}

\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à sa tangente $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}

\end{document}
