Au 1er janvier 2018, une association compte 3 000 adhérents. On constate que chaque mois :
Déterminer une estimation du nombre d'adhérents au 1er mars 2018.
On modélise le nombre d'adhérents de l'association par la suite telle que et, pour tout entier naturel n, .
Le terme donne ainsi une estimation du nombre d'adhérents de l'association au bout de n mois.
On considère la suite définie pour tout entier naturel n par : .
Démontrer que est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
En déduire que, pour tout entier naturel n, .
Étudier le sens de variation de la suite .
Déterminer la limite de la suite . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
La responsable de l'association, souhaite déterminer au bout de combien de mois le nombre de membres inscrits sera inférieur à 2 900.
Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de répondre au problème posé.
Tant que …
Fin Tant que
En résolvant l'inéquation : , déterminer la valeur de la variable N obtenue à la fin de l'exécution de l'algorithme précédent.
Le montant de la cotisation mensuelle à l'association est de 10 euros.
Calculer la somme totale que l'association espère obtenir pour l'année 2018.
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.
Le nombre est solution de l'équation :
a. | b. | c. | d. |
Pour tout réel x, est égal à :
a. | b. | c. | d. |
La dérivée de la fonction est la fonction :
a. | b. | c. | d. |
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur .
On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction f ainsi que les tangentes à la courbe aux points A et B d'abscisses respectives 1 et 4.
On note la dérivée de la fonction f et sa dérivée seconde.
a. | b. | c. | d. |
Le tableau des variations de la fonction dérivée est :
a.
| b.
| ||||||||||||||||||||||||
c.
| d.
|
Le graphe ci-dessous, modélise le plan d'un quartier historique d'une ville. Les sommets sont les différents centres d'intérêts et les arêtes les rues.
On appelle M la matrice associée à ce graphe les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique.
On donne deux matrices et .
Une des deux matrices R ou S est la matrice .
Sans calculs, indiquer laquelle des deux matrices R ou S est la matrice en justifiant la réponse.
Un touriste a quitté son hôtel H et s'est rendu au jardin J. Au cours de son déplacement, il est passé exactement trois fois devant un des centres d'intérêt du quartier.
Combien de trajets différents a-t-il pu suivre ? Expliquer.
Déterminer en justifiant si ce graphe est connexe.
Est-il possible pour un touriste de parcourir chaque rue du quartier une et une seule fois en partant de son hôtel H ?
Sur le graphe pondéré ci-dessous, on a indiqué sur les arêtes les distances en mètres entre les différents lieux :
À l'aide d'un algorithme, déterminer la distance minimale permettant d'aller du sommet H (hôtel) au sommet J (jardin). Préciser alors le trajet à emprunter.
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats seront si nécessaire, arrondis à .
On s'intéresse à un certain modèle de tablette vendues dans un magasin.
On considère un stock important de tablettes de ce modèle.
On note E l'événement : « une tablette prélevée au hasard dans le stock est défectueuse. »
On suppose que .
On prélève au hasard 100 tablettes dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 tablettes.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de tablettes défectueuses.
Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
On donne en annexe ci-dessous, un extrait du tableau obtenu à l'aide d'un tableur fournissant des probabilités , où k est un entier naturel compris entre 0 et 100.
k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
0,132 62 | 0,403 27 | 0,676 69 | 0,858 96 | 0,949 17 | 0,984 52 | 0,995 94 | 0,999 07 | 0,999 81 | 0,999 97 |
À l'aide de ce tableau ou de la calculatrice :
calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre tablettes défectueuses ;
calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait au moins deux tablettes défectueuses ;
calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait au plus six tablettes défectueuses sachant qu'au moins deux tablettes sont défectueuses.
Les tablettes de ce modèle proviennent de deux fournisseurs notés « fournisseur 1 » et « fournisseur 2 ».
Le fournisseur 1 a fourni 60 % des tablettes d'un lot important et le fournisseur 2 a fourni le reste de ce lot. Dans ce lot, 1 % des tablettes provenant du fournisseur 1 sont défectueuses et 1,5 % des tablettes provenant du fournisseur 2 sont défectueuses.
Un client choisi au hasard une tablette dans ce lot. On considère les événements suivants :
Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités , , et .
Calculer la probabilité d'acheter une tablette défectueuse provenant du fournisseur 1.
Déterminer la probabilité qu'une tablette soit défectueuse.
Le client a acheté une tablette non défectueuse, quelle est la probabilité que cette tablette ait été fabriqué par le fournisseur 2 ?
Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.
1 | |
2 | Dériver |
3 | Dériver |
Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est convexe.
On note la dérivée de la fonction f. Étudier les variations de la dérivée .
En déduire que la fonction f est strictement croissante.
Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production est comprise entre 1 000 et 10 000 articles par jour.
Le coût total de production exprimé en milliers d'euros est modélisé sur l'intervalle par la fonction f de la partie A, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.
Soit le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué.
La fonction C est définie sur l'intervalle par .
On note la dérivée de la fonction f. Calculer .
Étudier les variations de la fonction C sur .
Montrer que l'équation admet une solution unique α.
Si le prix de vente d'un article est de 7 €, l'entreprise fera-t-elle un bénéfice ?
On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 11 €.
Déterminer l'intervalle (à la centaine d'article près) dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.
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