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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
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\clubpenalty=10000
\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 9 Mars 2018}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{entraînement au baccalauréat}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES et L spécialité\\Durée 3 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}
 
\exo  \qquad  ( 5 \emph{points} )   \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

 \medskip 

Au 1\up{er} janvier 2018, une association  compte \np{3000} adhérents. On constate que chaque mois :
 
\begin{itemize}
\item 2\:\% des adhérents de l'association ne renouvellent pas leur adhésion ;
\item 50 nouvelles personnes adhérent à l'association.
\end{itemize}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une estimation du nombre d'adhérents au 1\up{er} mars 2018.
\end{enumerate}

On modélise le nombre d'adhérents de l'association par la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = \np{3000}$ et, pour tout entier naturel $n$, 
\[u_{n+1} = 0,98u_n + 50.\] 
Le terme $u_n$ donne ainsi une estimation du nombre d'adhérents de l'association au bout de $n$ mois. 

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = u_n - \np{2500}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 500\times  0,98^n + \np{2500}$.
\end{enumerate}

\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item Déterminer la limite de la suite  $\left(u_{n}\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La responsable de l'association, souhaite déterminer au bout de combien de mois le nombre de membres inscrits sera inférieur à \np{2900}.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de répondre au problème posé. 

\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$U \leftarrow \np{3000}$

$N \leftarrow 0$


Tant que \dotfill

\hspace{1em} $U \leftarrow\ldots $

\hspace{1em} $N \leftarrow \ldots$

Fin Tant que

\end{minipage}
}
\end{center}

\item En résolvant l'inéquation : $500 \times  0,98^n + \np{2500} <  \np{2900}$, déterminer la valeur de la variable $N$ obtenue à la fin de l'exécution de l'algorithme précédent.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Le montant de la cotisation mensuelle à l'association est de 10 euros.

Calculer la somme totale que l'association espère obtenir pour l'année 2018.

\pagebreak

\exo   \qquad  ( 5 \emph{points} )   \hfill \emph{Élèves ES (obligatoire) et L (spécialité)}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.} 

\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre $(-2)$ est solution de l'équation :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $\e^{\ln x}   = -2$ & \item   $\e^x= -2$ & \item $\ln \left(\e^x\right) = - 2$ & \item  $\ln x = - \ln 2$ \end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip

\item Pour tout réel $x$, $\left(\e^x\right)^2  \times \e^{3-2x}$ est égal à : 

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $\e^{x^2 -2x +3}$ & \item  $\e^{2x \left(3-2x\right)}$ & \item $\e^{x^2 \left(3-2x\right)}$ & \item $\e^3$ \end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip

\item La dérivée de la fonction  $f \colon x \mapsto \e^{2}x+\ln  2$ est la fonction :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $f' \colon x \mapsto 2\e x$ & \item    $f' \colon x \mapsto \e^{2}+\dfrac{1}{2}$ & \item  $f' \colon x \mapsto 2\e x +\dfrac{1}{2}$ & \item  $f' \colon x \mapsto \e^2$ \end{tabularx} \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$. 

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ ainsi que les tangentes à la courbe aux points $A$ et $B$ d'abscisses respectives 1 et 4.
\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(9,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^3/6-2*x^2+6*x-7/6}
\def\g{2.5*x+.5}
\def\h{9.5-2*x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-3)(9,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-3)(9,5)
\uput[dl](9,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.279}{8.133}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=.75pt, linecolor=prune]{-1}{1.8}{\g}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=.75pt, linecolor=prune]{2.25}{6}{\h}
\psdots[dotscale=.8,linecolor=bleu](1,3)(4,1.5)
\uput[ul](1,3){\bleu{$A$}}\uput[ur](4,1.5){\bleu{$B$}}
\uput[dl](9,5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ et $f''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $f'(1)=3$ & \item $f'(1)=2,5$ & \item $f''(4)=1,5$ & \item $f''(4)=-2$ \\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Le tableau des variations de la fonction dérivée $f'$ est :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\item  \psset{unit=.65cm} 
\begin{pspicture}(10.5,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10.5,3)\psline(0,2.2)(10.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\footnotesize{\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(2,2.6){$- \infty$} \rput(6,2.6){$4$} \rput(10,2.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.1){$f'(x)$} \rput(2,.4){\rnode{A}{}} \rput(6,1.8){\rnode{B}{$-2$}} \rput(10,.4){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}} 
\end{pspicture}
& \item \psset{unit=.65cm} 
\begin{pspicture}(10.5,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10.5,3)\psline(0,2.2)(10.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\footnotesize{\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(2,2.6){$- \infty$} \rput(6,2.6){$4$} \rput(10,2.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.1){$f'(x)$} \rput(2,1.8){\rnode{A}{}} \rput(6,.4){\rnode{B}{$-2$}} \rput(10,1.8){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}} 
\end{pspicture}
\\
\item  \psset{unit=.65cm} 
\begin{pspicture}(10.5,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10.5,3)\psline(0,2.2)(10.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\footnotesize{\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(2,2.6){$- \infty$} \rput(6,2.6){$4$} \rput(10,2.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.1){$f'(x)$} \rput(2,.4){\rnode{A}{}} \rput(6,1.8){\rnode{B}{$1,5$}} \rput(10,.4){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}} 
\end{pspicture}
& \item \psset{unit=.65cm} 
\begin{pspicture}(10.5,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10.5,3)\psline(0,2.2)(10.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\footnotesize{\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(2,2.6){$- \infty$} \rput(6,2.6){$4$} \rput(10,2.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.1){$f'(x)$} \rput(2,1.8){\rnode{A}{}} \rput(6,.4){\rnode{B}{$1,5$}} \rput(10,1.8){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}} 
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak 

\setcounter{nexo}{1}

\exo \qquad  ( 5 \emph{points} )   \hfill \emph{Élèves ES (spécialité)}

\medskip

Le graphe ci-dessous, modélise le plan d'un quartier historique d'une ville. 

Les sommets sont les différents centres d'intérêts et les arêtes les rues. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\cnodeput(6,1.5){A}{\bleu{A}}
\cnodeput(3,1.5){B}{\bleu{B}}
\cnodeput(4.5,3){C}{\bleu{C}}
\cnodeput(0,3){D}{\bleu{D}}
\cnodeput(1,5){E}{\bleu{E}}
\cnodeput(7.5,3){F}{\bleu{F}}
\cnodeput(2,0){H}{\bleu{H}}
\cnodeput(9,0){G}{\bleu{G}}
\cnodeput(8,5){I}{\bleu{I}}
\cnodeput(10,3){J}{\bleu{J}}
\ncline{G}{A} \ncline{A}{F}\ncline{F}{I} \ncline{I}{C}\ncline{C}{B} \ncline{B}{H}\ncline{H}{D} \ncline{D}{E} \ncline{E}{C} \ncline{C}{F}\ncline{F}{G} \ncline{G}{J}\ncline{J}{I}\ncline{I}{E} \ncline{E}{B}\ncline{B}{A}    
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On appelle $M$ la matrice associée à ce graphe les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique. 

On donne deux matrices $R$ et $S$ :  
\begin{center}

$R =\begin{pmatrix*}[r]
10 & 5 & 14 & 1 & 9 & 12 & 10 & 9 & 11 & 8\\
5 & 26 & 20 & 26 & 17 & 16 & 16 & 5 & 26 & 4\\
14 & 20 & 48 & 20 & 38 & 25 & 17 & 25 & 29 & 15\\
1 & 26 & 20 & 26 & 17 & 16 & 16 & 5 & 26 & 4\\
9 & 17 & 38 & 17 & 37 & 26 & 9 & 23 & 20 & 15\\
12 & 16 & 25 & 16 & 26 & 31 & 14 & 16 & 19 & 17\\
10 & 16 & 17 & 16 & 9 & 14 & 25 & 4 & 24 & 12\\
9 & 5 & 25 & 5 & 23 & 16 & 4 & 20 & 8 & 4\\
11 & 26 & 29 & 26 & 20 & 19 & 24 & 8 & 35 & 6\\
8 & 4 & 15 & 4 & 15 & 17 & 12 & 4 & 6 & 12\\
\end{pmatrix*}$
 \hfill
 $S =\begin{pmatrix*}[r]
19 & 8 & 22 & 3 & 17 & 15 & 11 & 9 & 15 & 10\\
8 & 31 & 19 & 15 & 16 & 22 & 14 & 3 & 25 & 6\\
22 & 19 & 34 & 10 & 26 & 21 & 15 & 12 & 26 & 12\\
3 & 15 & 10 & 10 & 5 & 6 & 5 & 1 & 12 & 1\\
17 & 16 & 26 & 5 & 32 & 24 & 8 & 15 & 17 & 13\\
15 & 22 & 21 & 6 & 24 & 32 & 13 & 6 & 19 & 16\\
11 & 14 & 15 & 5 & 8 & 13 & 17 & 2 & 20 & 4\\
9 & 3 & 12 & 1 & 15 & 6 & 2 & 10 & 5 & 4\\
15 & 25 & 26 & 12 & 17 & 19 & 20 & 5 & 32 & 6\\
10 & 6 & 12 & 1 & 13 & 16 & 4 & 4 & 6 & 11\\
\end{pmatrix*}$

	\end{center}
\begin{enumerate}	
\item Une des deux matrices $R$ ou $S$  est la matrice $M^4$.
	
	Sans calculs, indiquer laquelle des deux matrices $R$ ou $S$ est la matrice $M^4$ en justifiant la réponse.
\item Un touriste a quitté son hôtel  H et s'est rendu au jardin J. Au cours de son déplacement, il est passé exactement trois fois devant un des centres d'intérêt du quartier.
	
	 Combien de trajets différents a-t-il pu suivre ? Expliquer.
	\end{enumerate}
\item Déterminer en justifiant si ce graphe est connexe.
\item Est-il possible pour un touriste de parcourir chaque rue du quartier une et une seule fois en partant de son hôtel H ?
\item Sur le graphe pondéré ci-dessous, on a indiqué sur les arêtes les distances en mètres entre les différents lieux :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\cnodeput(6,1.5){A}{\bleu{A}}
\cnodeput(3,1.5){B}{\bleu{B}}
\cnodeput(4.5,3){C}{\bleu{C}}
\cnodeput(0,3){D}{\bleu{D}}
\cnodeput(1,5){E}{\bleu{E}}
\cnodeput(7.5,3){F}{\bleu{F}}
\cnodeput(2,0){H}{\bleu{H}}
\cnodeput(9,0){G}{\bleu{G}}
\cnodeput(8,5){I}{\bleu{I}}
\cnodeput(10,3){J}{\bleu{J}}
\end{footnotesize}
\begin{scriptsize}
\ncline{G}{A}\ncput*{\textsf{\prune 250}} \ncline{A}{F}\ncput*{\textsf{\prune 240}}\ncline{F}{I}\ncput*{\textsf{\prune 130}} \ncline{I}{C}\ncput*{\textsf{\prune 640}}\ncline{C}{B}\ncput*{\textsf{\prune 160}} \ncline{B}{H}\ncput*{\textsf{\prune 130}}\ncline{H}{D}\ncput*{\textsf{\prune 260}} \ncline{D}{E}\ncput*{\textsf{\prune 280}} \ncline{E}{C}\ncput*{\textsf{\prune 240}} \ncline{C}{F}\ncput*{\textsf{\prune 700}} \ncline{F}{G}\ncput*{\textsf{\prune 110}} \ncline{G}{J}\ncput*{\textsf{\prune 180}} \ncline{J}{I}\ncput*{\textsf{\prune 160}} \ncline{I}{E}\ncput*{\textsf{\prune 280}}  \ncline{E}{B}\ncput*{\textsf{\prune 440}}\ncline{B}{A}\ncput*{\textsf{\prune 690}}    
\end{scriptsize}
\end{pspicture}
\end{center}

À l'aide d'un algorithme, déterminer la distance minimale permettant d'aller du sommet H (hôtel) au sommet J (jardin). Préciser alors le trajet à emprunter. 
\end{enumerate}

 \pagebreak
 
\exo  \qquad  ( 5 \emph{points} )   \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

 \medskip 
 
\begin{center}\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\emph{Les résultats seront si nécessaire, arrondis à  $10^{-3}$.}
\end{center}

On s'intéresse à un certain modèle de tablette vendues dans un magasin.

\medskip

\textsf{\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}
 
\medskip

On considère un stock important de tablettes de ce modèle.
 
On note $E$ l'événement : \og une tablette prélevée au hasard dans le stock est défectueuse.\fg

On suppose que $P(E) = 0,02$.

On prélève au hasard 100 tablettes dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 tablettes.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à  tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de tablettes défectueuses.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item On donne en annexe ci-dessous, un extrait du tableau obtenu à l'aide d'un tableur fournissant des probabilités $P(X \leqslant k)$, où $k$ est un entier naturel compris entre 0 et 100.

À l'aide de ce tableau ou de la calculatrice :
\begin{enumerate}
\item  calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre tablettes défectueuses ;
\item  calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait au moins deux tablettes défectueuses ;
\item  calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait au plus six tablettes défectueuses sachant qu'au moins deux tablettes sont défectueuses.
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textsf{\small{\textbf{\textsc{annexe}}}}
\end{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{10}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}}  \hline
$k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
$P\left(X \leqslant  k\right)$ & \np{0,13262} & \np{0,40327} &\np{0,67669} & \np{0,85896} & \np{0,94917} & \np{0,98452} & \np{0,99594} & \np{0,99907} & \np{0,99981} & \np{0,99997} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Les tablettes de ce modèle proviennent de deux fournisseurs notés \og fournisseur 1\fg{} et \og fournisseur 2\fg{}.

Le fournisseur 1 a fourni 60\,\% des tablettes d'un lot important et le fournisseur 2 a fourni le reste de ce lot.
 
Dans ce lot, 1\,\% des tablettes provenant du fournisseur 1 sont défectueuses et 1,5\,\% des tablettes provenant du fournisseur 2 sont défectueuses.

Un client choisi au hasard une tablette dans ce lot. On considère les événements suivants :


\begin{itemize}
\item $A$ : \og la tablette provient du fournisseur 1 \fg{} ; 
\item $B$ : \og la tablette provient du fournisseur 2\fg{} ; 
\item $D$ : \og la tablette est défectueuse \fg{}.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_{A}(D)$ et $P_{B}(D)$.
\item \begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité d'acheter une tablette défectueuse provenant du fournisseur 1.
		\item Déterminer la probabilité qu'une tablette soit défectueuse.		
		\item Le client a acheté une tablette non défectueuse, quelle est la probabilité que cette tablette ait été fabriqué par le fournisseur 2 ?		
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \pagebreak
 
\exo  \qquad  ( 5 \emph{points} )   \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

 \medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left] 0; +\infty \right[$ par $f(x)=x^2-x\ln(x)+20$.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline
\multirow{2}*{1} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} $f(x) := x\:\hat\:\:2-x*\ln(x)+20$\\
	& \multicolumn{1}{r@{\hspace{2em}}|}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex}$\to f(x) := x^2-x\ln(x)+20$}\\ \hline
\multirow{2}*{2} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} $g(x) :=\:$ Dériver $\left[f(x) , x\right]$\\
	&\multicolumn{1}{r@{\hspace{2em}}|}{\rule[-2ex]{0pt}{4ex}$\to g(x) := 2x-\ln(x)-1$}\\ \hline
	\multirow{2}*{3} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} Dériver $\left[g(x) , x\right]$\\
	&\multicolumn{1}{r@{\hspace{2em}}|}{\rule[-2ex]{0pt}{4ex}$\to  2-\dfrac{1}{x}$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. 
	\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Étudier les variations de la dérivée  $f'$. 	
	\item En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante.
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip

Une entreprise produit et commercialise un article. 

Sa capacité de production est comprise entre \np{1000} et \np{10000} articles par jour.

\medskip

Le coût total de production exprimé en milliers d'euros est modélisé sur l'intervalle $\left[ 1; 10 \right]$ par la fonction $f$ de la partie A, où $x$ désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.

\medskip

Soit $C(x)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. 

La fonction $C$ est définie sur l'intervalle $\left[ 1; 10 \right]$ par $C(x) = \dfrac{f(x)}{x}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
	\item On note $C'$ la dérivée de la fonction $C$. Calculer $C'(x)$. 
	\item Étudier les variations de la fonction $C$ sur $\left[ 1; 10 \right]$.
	\item Montrer que l'équation $C(x)=11$ admet une solution unique $\alpha$.
	\item \begin{enumerate}
	\item Si le prix de vente d'un article est de 7 \euro{}, l'entreprise fera-t-elle un bénéfice ? 
\item On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 11 \euro{}.

Déterminer l'intervalle (à la centaine d'article près) dans lequel doit se situer la production $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
