contrôle commun № 8 du 12 Avril 2018

Corrigé de l'exercice 2

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.
On note $f\prime$ la dérivée de la fonction fonction f et F une primitive de la fonction fonction f.

1. Déterminer graphiquement une valeur approchée à l'unité de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   Sur l'intervalle $\left[-2;1\right]$ la fonction f est continue et positive donc l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-2$ et $x=1$.

   L'aire du domaine hachurée peut encadrée par l'aire de deux polygones, comme indiqué sur la figure ci-dessus d'où :$${\displaystyle \frac{95}{24}}<{\displaystyle {\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<{\displaystyle \frac{37}{8}}$$

   L'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ a pour valeur approchée 4.

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2. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ et une autre celle de la fonction F.

   1. Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F.

      Courbe $C_1$	Courbe $C_2$ représentative de la dérivée $f\prime$
      Courbe $C_3$ représentive de la primitive F	Courbe $C_4$

      • La fonction f est croissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$ donc sur cet intervalle, $f\prime \left(x\right)⩾0$.

        La courbe $C_2$ est la seule courbe susceptible de représenter la fonction $f\prime$.

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      • Sur l'intervalle $\left[-2;1\right]$ la fonction f est positive donc sur cet intervalle, toute primitive de la fonction f est strictement croissante.

        La courbe $C_3$ est la seule courbe susceptible de représenter une primitive F de la fonction f.

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   2. En déduire la valeur de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-2}^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      F est une primitive de f donc $${\displaystyle {\int }_{-2}^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=F\left(5\right)-F\left(-2\right)=4$$

      ${\displaystyle {\int }_{-2}^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=4$.

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   3. La courbe représentative de la fonction F admet-elle des points d'inflexion ?

      Comme F est une primitive de la fonction f, la dérivée seconde de la fonction F est la fonction $f\prime$. Or $f\prime$ s'annule en changeant de signe pour $x=-1$.

      La courbe représentative de la fonction F admet un seul point d'inflexion d'abscisse $-1$.

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