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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 12 avril 2018}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle commun \no 8}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES et L spécialité\\Durée 3 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}
 \exo   \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

 \medskip 

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. 

On sait que $f(1)=-3$ et que le signe de la fonction $f$  est donné par le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11.5,2) 
\psframe(11.5,2) \psline(0,1.2)(11.5,1.2)\psline(2.5,0)(2.5,2) \psline[linewidth=.5pt](2.9,0)(2.9,1.2) \psline[linewidth=.5pt](3.1,0)(3.1,1.2)
\rput(1.25,1.6){$x$} \rput(3,1.6){$0$} \rput(7,1.6){$2$}  \rput(11,1.6){$+\infty$}
\rput(1.25,0.6){signe de $f(x)$} \rput(5,0.6){$-$} \pnode(7,1.2){a1}\pnode(7,0){a2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{a1}{a2}\ncput*{0} \rput(9,0.6){$+$} 	
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item $F$ est la primitive de la fonction fonction $f$  sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ telle que $F(1)= 1$. 
		\begin{enumerate}
			\item Donner le tableau de variations de la fonction $F$. 
	\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $F$.
	
	Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=1-\dfrac{4}{x^2}$.

Étudier la convexité de la fonction $F$.
	\end{enumerate}

\bigskip
 
\exo \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

 \medskip 

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 

On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ et $F$ une primitive de la fonction $f$.
	
	\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.5)(6,2.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.95 .95 .98}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{20*(3-x)^3*(3*x+7)/2709}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-2}{1}{\f} \gsave
\psline(1,0)(-2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,addfillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt,hatchsep=8pt] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-9,-6)(18,9)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1.5)(6,2.25)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,2.25){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2,0)(-2,.922)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,0)(1,.59)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.699}{5.09}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune]{<->}(-1.75,1.89)(-.25,1.89)
\psdot[linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,1.89)
\uput[ur](5,-1.5){\small{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](-1,1.89){\small{\bleu{$A$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement une valeur approchée à l'unité de l'intégrale $\displaystyle\int_{-2}^{1}  f(x)  \:\dd x$.
		\item Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et une autre celle de la fonction $F$. 


\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(7,3.75)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(2,3.5){\textsf{\small{{\textsc{courbe }$C_1$}}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(7,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(7,3)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{(x+1)^2*(3-x)*(67*x-370)/1260}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-2.187}{5.924}{\g}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(7,3.75)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(2,3.5){\textsf{\small{{\textsc{courbe }$C_2$}}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(7,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(7,3)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{-80*(x-3)^2*(x+1)/903}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-2.235}{5.31}{\g}
\end{pspicture}

\medskip
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(7,3.75)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(2,3.5){\textsf{\small{{\textsc{courbe }$C_3$}}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(7,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(7,3)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{(-12*x^5+100*x^4-120*x^3-1080*x^2+3780*x+3518)/2709}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-3}{6.35}{\g}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(7,3.75)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(2,3.5){\textsf{\small{{\textsc{courbe }$C_4$}}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(7,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(7,3)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{x^5/200-1073*x^3/7616-(24.27*x^4-668.53*x^2-1997.13*x+3940.4)/1904}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-3}{5.2529}{\g}
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F$. (\emph{Justifier})
\item En déduire la valeur de l'intégrale  $\displaystyle\int_{-2}^{5}  f(x)  \:\dd x$. 
\item La courbe représentative de la fonction $F$ admet-elle des points d'inflexion ?
\end{enumerate}	
\end{enumerate}	
	
 \bigskip
 
\exo \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

 \medskip
 
 Calculer les intégrales suivantes :
 
 \begin{enumerate}
  \item $A =\displaystyle \int_{-1}^{1} \left( x^2-3x+1 \right) \:\dd x$.
  \item $B =\displaystyle \int_{0}^{2\ln2} \left( x+\e^{0,5 x} \right) \:\dd x$.  
 \item $C =\displaystyle \int_{1}^{\e} \left( 2-\dfrac{1}{x} \right) \:\dd x$.
 \end{enumerate}
 
 \pagebreak
 
 \exo  \hfill \emph{Élèves L (spécialité) et ES (obligatoire)}

 \medskip 
\begin{center}
\emph{D'après sujet bac Nouvelle Calédonie (février 2018)}
\end{center}
On étudie les abonnements à un grand quotidien de 2011 à 2015. 

Le tableau suivant indique, pour chaque année de 2011 à 2015, le nombre d'abonnés.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015\\ \hline
Nombre d'abonnés & \np{620214} & \np{610156} & \np{575038} & \np{578282} & \np{555239}\\ \hline
Taux d'évolution annuel & & $- 1,62$\,\% & $- 5,76$\,\% & $0,56$\,\% & $- 3,98$\,\% \\ \hline
Taux d'évolution par rapport  à l'année 2011 & & $- 1,62$\,\% & $- 7,28$\,\% & $- 6,76$\,\% & $- 10,48$\,\% \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Retrouver par le calcul, le taux d'évolution annuel entre 2012 et 2013.
\item  Le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2015 est environ de $-2,73$\,\%. Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Afin d'étudier cette évolution, on suppose qu'à l'avenir, tous les ans, 10\,\% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement à ce quotidien mais que l'on compte $52$ milliers de nouveaux abonnés.

En 2011, le nombre d'abonnés est égal, après arrondi, à $620$ milliers.

On s'intéresse, pour tout entier naturel $n$, au nombre d'abonnés, en milliers, pour l'année $(2011 + n)$.

On note $u_n$ le nombre d'abonnés en milliers pour l'année $(2011 + n)$.

On fixe donc $u_0 = 620$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre d'abonnés en 2012 suivant ce modèle.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 0,9u_n + 52$.
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 520$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $v_0$.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 100 \times 0,9^n + 520$.
	\end{enumerate}
\item Le quotidien est considéré en difficulté financière lorsque le nombre d'abonnés est inférieur à $540$ milliers.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin de déterminer l'année à partir de laquelle le quotidien sera en difficulté financière.
		
\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$U \leftarrow 620$

$N \leftarrow 0$


Tant que \dotfill

\hspace{1em} $U \leftarrow\ldots $

\hspace{1em} $N \leftarrow \ldots$

Fin Tant que

\end{minipage}
}
\end{center}
		\item  Résoudre l'inéquation $u_n \leqslant 540$.
		\item  Déterminer à partir de quelle année le quotidien sera en difficulté financière. Indiquer la démarche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{3}

\exo   \hfill \emph{Élèves ES (spécialité)}

 \medskip 

Une municipalité propose aux personnes qui effectuent de nombreux déplacements deux types d'abonnement mensuel :

\begin{itemize}
\item un abonnement \og V-libre \fg{} à un service de location de vélos ;
\item un abonnement \og T-libre \fg{} aux transports en commun.
\end{itemize}

Une étude récente a montré que le nombre global d'abonnements reste constant dans le temps et que le nombre de personnes qui, un mois donné, acquièrent les deux abonnements est négligeable (on considère qu'un abonné ne souscrit qu'à un seul type d'abonnement \og T-libre \fg{} ou \og V-libre \fg{}).

\medskip

On a constaté également que, chaque mois, la répartition des abonnements évolue de la manière suivante :

\begin{itemize}
\item 22\,\% des abonnements \og T-libre \fg{} sont remplacés par des abonnements \og V-libre \fg{} ;
\item 66\,\% des abonnements \og V-libre \fg{} sont remplacés par des abonnements \og T-libre \fg{}.

\end{itemize}

\medskip

En janvier 2018, en raison d'un réaménagement des bornes d'emplacement des vélos, seulement 5\,\% des abonnements ont été souscrits au service \og V-libre \fg{}. 
 
Dans la suite de l'exercice, on note : 

\begin{itemize}
\item   $t_n$ la probabilité qu'un abonnement soit souscrit au service \og T-libre \fg{}, le $n$-ième mois après le mois de janvier 2018.
\item   $v_n$ la probabilité qu'un abonnement soit souscrit au service \og V-libre \fg{}, le $n$-ième mois après le mois de janvier 2018.
\item  $P_n = \begin{pmatrix} t_n& v_n \end{pmatrix}$ l'état probabiliste correspondant aux abonnements à ces deux services le $n$-ième mois après le mois de janvier 2018. On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,95& 0,05\end{pmatrix}$. 
 
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $T$ et $V$ où le sommet $T$ représente l'état \og abonné au service T-libre \fg{} et $V$ l'état  \og abonné au service V-libre \fg{}.
\item Déterminer la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en respectant l'ordre $\left(T , V\right)$ des sommets.
\end{enumerate}
\item En février 2018, quelle a été la part des abonnements \og V-libre \fg{} dans l'ensemble des abonnements ? 
\item Quelle est la part des abonnements \og T-libre \fg{} dans l'ensemble des abonnements en avril 2018 ? 

Donner le résultat en pourcentage arrondi à $0,1$\,\%.
\item Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n+1}=0,12 v_n+0,22$.
\item Quelle est la limite de la suite $\left(v_n\right)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x)=\dfrac{2\ln (x)}{x}+x$.
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(x)=\dfrac{x^2-2\ln (x)+2}{x^2}$. 
\item La dérivée seconde de la fonction $f$ est la fonction $f''$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f''(x)=\dfrac{4\ln (x) -6}{x^3}$.\begin{enumerate}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$.
\item En déduire le tableau des variations de la dérivée $f'$.
\end{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x) =0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à l'intervalle $\left[ \dfrac{1}{2} ; \e \right]$.

Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ près de la solution $\alpha$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $G$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $G(x) = \left( \ln x \right) ^2$ est une primitive de la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $g(x)=\dfrac{2\ln (x)}{x}$.

\item En déduire  une primitive $F$ de la fonction $f$  sur $]0;+\infty[$. 
 
\end{enumerate}
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[ 1 ; \e ]$.
\end{enumerate}

\end{document}
