contrôles en terminale ES

contrôle commun № 9 du 24 mai 2018

thèmes abordés

QCM fonction logarithme
Probabilités
Suites.
Graphes probabilistes.
Fonction exponentielle.

exercice 1 : commun à tous les élèves

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte.
Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

On considère la fonction f définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{2 \ln x + 1}{2 x}$ .
Sa représentation graphique est la courbe $𝒞_{f}$ donnée ci-dessous dans un repère d'origine O.

La dérivée $f'$ de la fonction f est :
1. positive ou nulle sur l'intervalle $[1; + \infty [$ ;
2. négative ou nulle sur l'intervalle $] 0; \frac{1}{2}]$ ;
3. change de signe sur l'intervalle $[\frac{1}{2}; 1]$ .
4. négative ou nulle sur l'intervalle $[\sqrt{e}; + \infty [$ .
La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point A d'abscisse 1 a pour équation :
a.   $y = \frac{x}{2}$
b.   $y = x$
c.   $y = x + \frac{1}{2}$
d.   $y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$
La dérivée seconde de la fonction f est définie pour tout réel x strictement positif par $f ″ (x) = \frac{2 \ln x - 2}{x^{3}}$ .
La fonction dérivée $f'$ est :
1. croissante sur l'intervalle $[0; \sqrt{e} [$ ;
2. décroissante sur l'intervalle $[\sqrt{e}; + \infty [$ ;
3. croissante sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
4. croissante sur l'intervalle $[e; + \infty [$ ;
On admet que la fonction F définie par $F (x) = \frac{{(\ln x)}^{2} + \ln x}{2}$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
1. Sur l'intervalle $[e^{- 1}; e]$ , f est une fonction densité de probabilité.
2. Sur l'intervalle $[1; e]$ , f est une fonction densité de probabilité.
3. La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $[e^{- 2}; e^{2}]$ est égale à $\frac{2}{e^{4}}$ .
4. $\int_{e^{- 2}}^{1} f (x) d x = 1$ .

exercice 2 : commun à tous les élèves

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, arrondis à 0,001 près.

partie a

D'après une étude sur l'emploi, en France on a pu établir que :

48,1 % des personnes qui occupent un emploi sont des femmes ;
8,6 % des femmes en emploi ne sont pas salariées ;
14,5 % des hommes en emploi ne sont pas salariés.

On interroge au hasard une personne en emploi et on considère les évènements suivants :

F : « la personne est une femme » ;
H : « la personne est un homme » ;
S : « la personne occupe un emploi salarié » ;

Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
1. Calculer la probabilité que cette personne soit une femme et qu'elle occupe un emploi non salarié.
2. Montrer que la probabilité arrondie au millième près de l'évènement : « la personne occupe un emploi non salarié » est égale à 0,117.
La personne interrogée occupe un emploi non salarié. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

partie b

Selon la même étude, en France, 21,3 % des femmes actives de 15 à 24 ans sont au chômage.

À l'occasion de son TPE, un lycéen a interrogé 100 femmes actives de 15 à 24 ans de sa commune. Il a constaté que parmi les femmes interrogées 18 sont au chômage.
Ce lycéen peut-il considérer que dans sa commune le taux de chômage des femmes actives de 15 à 24 ans est inférieur à 21,3 % ?

partie c

Pour certaines missions à caractère temporaire, une grosse entreprise emploie des salariés intérimaires.
Soit X la variable aléatoire associée au nombre de salariés intérimaires employés par l'entreprise un mois donné.
On admet que X peut être modélisé par la loi normale d'espérance $μ = 26$ et d'écart-type $σ = 5$ .

Calculer la probabilité $P (18 ⩽ X ⩽ 22)$ .
Calculer la probabilité que sur un mois, le nombre d'employés intérimaires soit inférieur ou égal à 20.

exercice 3 : ES obligatoire et L spécialité

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 50$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,84 u_{n} + 24$ .

Calculer $u_{2}$ .
Pour tout entier naturel n, on pose : $v_{n} = u_{n} - 150$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison 0,84. On précisera la valeur de $v_{0}$ .
2. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 150 - 100 \times {0,84}^{n}$ .
Étudier le sens de variation de la suite $(u_{n})$ .
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .
1. Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il détermine le plus petit entier naturel n tel que $u_{n} ⩾ 145$ .
  $U \leftarrow 50$
  $N \leftarrow 0$
  Tant que …
  $U \leftarrow \dots$
  $N \leftarrow N + 1$
  Fin Tant que
2. Calculer la valeur de la variable N obtenue à la fin de l'exécution de l'algorithme en résolvant l'inéquation $u_{n} ⩾ 145$ .

exercice 3 : ES spécialité

partie a

Le graphe pondéré ci-dessous représente les différents terrains cultivables A, B, C, D, E, F, G et H d'une coopérative agricole céréalière.
Le poids de chaque arête représente la distance, en mètres, entre deux zones cultivables reliées par un chemin.

Est-il possible de trouver un circuit qui passe par chaque chemin une et une seule fois ?
À l'aide d'un algorithme, déterminer le chemin le plus court qui permet de relier la zone A à la zone G. Préciser la distance, en mètres, de ce chemin.

partie b

Afin de permettre la reconstitution de la fertilité du sol, il a été décidé de planter de la moutarde sur une partie des sols ensemencés avec des céréales. Ces terres sont dites de jachère.

D'une année sur l'autre :

6 % des champs qui ont été ensemencés avec des céréales sont laissés en jachère ;
24 % des champs laissés en jachère sont ensemencés avec des céréales.

Pour tout entier naturel n, on note :

$c_{n}$ la probabilité qu'un champ soit ensemencé avec des céréales la n-ième année après la décision de laisser en jachère une partie des sols ;
$j_{n}$ la probabilité qu'un champ soit laissé en jachère la n-ième année après la décision de laisser en jachère une partie des sols.

La matrice ligne $P_{n} = (\begin{matrix} c_{n} & j_{n} \end{matrix})$ traduit l'état probabiliste la n-ième année après la décision de laisser en jachère une partie des sols ensemencés avec des céréales.

Au moment de la décision, tous les champs étaient ensemencés avec des céréales. On a donc $P_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ .

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets C et J où le sommet C représente l'état « le champ est ensemencé avec des céréales » et J l'état « champ est laissé en jachère ».
Déterminer la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l'ordre $(C; J)$ des sommets.
Calculer l'état probabiliste $P_{2}$ et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
Soit la matrice ligne $P = (\begin{matrix} x & y \end{matrix})$ associée à l'état stable du graphe probabiliste.
Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
Montrer que pour tout entier naturel n, on a : $c_{n + 1} = 0,7 c_{n} + 0,24$ .
Pour tout entier naturel n, on pose $v_{n} = c_{n} - 0,8$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison 0,7. On précisera la valeur de $v_{0}$ .
2. En déduire que, pour tout entier naturel n, $c_{n} = 0,8 + 0,2 \times {0,7}^{n}$ .
Résoudre l'inéquation $c_{n} ⩽ 0,81$ et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.

exercice 4 : commun à tous les élèves

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par : $f (x) = (4 x + 8) e^{- 0,2 x} - 7$ On note $𝒞_{f}$ la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle $[0; 10]$ .

On admet que la courbe $𝒞_{f}$ admet le point B d'abscisse 8 comme seul point d'inflexion. À l'aide du graphique :
1. déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est concave ;
2. donner le tableau des variations de la dérivée $f'$ de la fonction f.
Justifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle $[0; 10]$ on a $f' (x) = (- 0,8 x + 2,4) e^{- 0,2 x}$ .
1. Étudier le signe de $f' (x)$ sur l'intervalle $[0; 10]$ .
2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet intervalle.
  On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée à 0,001 près.
Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution α. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 0,001 près de α.
Donner une équation de la tangente T à la courbe $𝒞_{f}$ au point A d'abscisse 0.
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu l'expression d'une primitive G de la fonction g :
1 $g (x) : = (a * x + b) * \exp (- 0,2 * x)$
$\to g (x) = (a x + b) e^{- 0,2 x}$
2 $G (x) : =$ Primitive $[g (x), x]$
$\to G (x) = (- 5 a x - 25 a - 5 b) e^{- 0,2 x}$
Justifier que la fonction F définie par $F (x) = (- 20 x - 140) e^{- 0,2 x} - 7 x$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $[0; 10]$ .
Calculer la valeur exacte de l'aire 𝒜, en unité d'aire, du domaine hachuré délimité par la courbe $𝒞_{f}$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 5$ .

Télécharger le sujet :

LaTeX | Pdf

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.

1	$g (x) : = (a * x + b) * \exp (- 0,2 * x)$
	$\to g (x) = (a x + b) e^{- 0,2 x}$
2	$G (x) : =$ Primitive $[g (x), x]$
	$\to G (x) = (- 5 a x - 25 a - 5 b) e^{- 0,2 x}$