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\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 24 mai 2018}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle commun \no 9}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES et L spécialité\\Durée 3 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte.}

\emph{Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2\ln x+1}{2x}$.

Sa représentation graphique est la courbe $\mathcal{C}_f$ donnée ci-dessous dans un repère d'origine O. 

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(12,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(ln(x)+.5)/x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(12,5)
\psset{xunit=1.6cm, yunit=3.2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.75)(6,1.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](6,0){$x$}\uput[dl](0,7){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.437}{6}{\f}
\psdots[linecolor=bleu, dotscale=.8](1,.5)(2.718,3.67879)
\uput[ul](1,.5){\bleu $A$} \uput[l](6,.5){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La dérivée $f'$ de la fonction $f$ est :
	\begin{enumerate}
		\item positive ou nulle sur l'intervalle $\left[ 1 ; +\infty\right[$
		\item négative ou nulle sur l'intervalle $\left] 0 ;\dfrac{1}{2}\right]$
		\item change de signe sur l'intervalle $\left[ \dfrac{1}{2} ; 1\right]$
		\item négative ou nulle sur l'intervalle $\left[ \sqrt{\e} ; +\infty\right[$
	\end{enumerate}
			
\medskip

\item  La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse 1 a pour équation :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $y=\dfrac{x}{2}$ & \item $y=x$ & \item $y=x+\dfrac{1}{2}$ & \item $y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item  La dérivée seconde de la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f''(x) = \dfrac{2\ln x - 2}{x^3}$.

La fonction dérivée  $f'$ est :

	\begin{enumerate}
		\item croissante sur l'intervalle $\left] 0 ; \sqrt{\e}\right]$
		\item décroissante sur l'intervalle $\left[ \sqrt{\e} ; +\infty\right[$
		\item décroissante sur l'intervalle $\left] 0 ; +\infty\right[$
		\item croissante sur l'intervalle $\left[ \e ; +\infty\right[$
	\end{enumerate}

\medskip

\item  On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = \dfrac{(\ln x)^2+\ln x}{2}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

\begin{enumerate}
		\item sur l'intervalle $\left[ \e^{-1} ; \e\right]$,  $f$ est une fonction densité de probabilité. 
		\item sur l'intervalle $\left[ 1 ; \e\right]$,  $f$ est une fonction densité de probabilité. 
		\item la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ \e^{-2} ; \e^{2}\right]$ est égale à $\dfrac{2}{\e^{4}}$
		\item $\displaystyle\int_{\e^{-2}}^1  f(x) \dd x =1$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak


 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}


\begin{center}
\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\emph{Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, arrondis au millième près.}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

D'après une étude sur l'emploi, en France on a pu établir que :

\begin{itemize}
\item 48,1\,\% des personnes qui occupent un emploi sont des femmes ;
\item 8,6\,\% des femmes en emploi ne sont pas salariées ;
\item 14,5\,\% des hommes en emploi ne sont pas salariés.
\end{itemize}



On interroge au hasard une personne en emploi et on considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $F$ : \og la personne est une femme \fg ;
\item $H$ : \og la personne est un homme \fg ;
\item $S$ : \og la personne  occupe un emploi salarié \fg ;
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que cette personne soit une femme et qu'elle occupe un emploi non salarié.
		\item Calculer la probabilité que cette personne occupe un emploi non salarié.
	\end{enumerate}
\item La personne interrogée occupe un emploi non salarié. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Selon la même étude, en France, 21,3\,\% des femmes actives de 15 à 24 ans sont au chômage.

À l'occasion de son TPE, un lycéen a interrogé 100 femmes actives de 15 à 24 ans de sa commune. Il a constaté que parmi les femmes interrogées 18 sont au chômage.  

Ce lycéen peut-il considérer que dans sa commune le taux de chômage des femmes actives de 15 à 24 ans est inférieur à 21,3\,\% ?

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Pour certaines missions à caractère temporaire, une grande entreprise emploie des salariés intérimaires.

Soit $X$ la variable aléatoire associée au nombre de salariés intérimaires employés par l'entreprise un mois donné.

On admet que $X$ peut être modélisé par la loi normale de moyenne $\mu=26$ et d'écart-type $\sigma=5$.


\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P\left( 18 \leqslant X \leqslant 22\right)$.
\item Calculer la probabilité que sur un mois, le nombre d'employés intérimaires soit inférieur ou égal à 20.
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves ES (obligatoire) et L (spécialité)}
 
\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 50$ et pour tout entier naturel $n$ :\[u_{n+1} = 0,84u_n + 24.\]


\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n = u_n - 150$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,84$.
		
On précisera la valeur de $v_0$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 150 - 100 \times  0,84^n$.
	\end{enumerate}
	\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\item Déterminer la limite de la suite  $\left(u_n\right)$.
\item  \begin{enumerate}
\item Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que \mbox{$u_n \geqslant 145$}.
 
\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$U \leftarrow \np{50}$

$N \leftarrow 0$


Tant que \dotfill

\hspace{1em} $U \leftarrow\ldots $

\hspace{1em} $N \leftarrow N+1$

Fin Tant que

\end{minipage}
}
\end{center}

\medskip

\item Calculer la valeur de la variable $N$ obtenue à la fin de l'exécution de l'algorithme en résolvant l'inéquation $u_n \geqslant 145$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
  
\pagebreak


\setcounter{nexo}{2}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill  \emph{Élèves ES (spécialité)}

\begin{center}
\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}


 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le graphe pondéré ci-dessous représente les différents terrains cultivables A, B, C, D, E, F, G et H d'une coopérative agricole céréalière.

Le poids de chaque arête représente la distance, en mètres, entre deux zones cultivables reliées par un chemin.

\begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=.6cm}
\begin{pspicture}(12,8)
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\sf{\bleu{\footnotesize{
\cnodeput(1,0){A}{\bleu{A}}
\cnodeput(4,5){B}{\bleu{B}}
\cnodeput(0,7){C}{\bleu{C}}
\cnodeput(7,8){D}{\bleu{D}}
\cnodeput(7,0){E}{\bleu{E}}
\cnodeput(4,2){F}{\bleu{F}}
\cnodeput(11,0){G}{\bleu{G}}
\cnodeput(12,7){H}{\bleu{H}}
}}}
\sf{\prune{\footnotesize{
\ncline{D}{C}\ncput*{\textsf{\prune 140}} \ncline{C}{A}\ncput*{\textsf{\prune 380}}\ncline{A}{E}\ncput*{\textsf{\prune 390}} \ncline{E}{F}\ncput*{\textsf{\prune 120}}\ncline{F}{A}\ncput*{\textsf{\prune 100}} \ncline{A}{B}\ncput*{\textsf{\prune 310}}\ncline{B}{E}\ncput*{\textsf{\prune 85}} \ncline{E}{G}\ncput*{\textsf{\prune 520}} \ncline{G}{H}\ncput*{\textsf{\prune 90}} \ncline{H}{D}\ncput*{\textsf{\prune 130}} \ncline{D}{E}\ncput*{\textsf{\prune 420}} \ncline{E}{H}\ncput*{\textsf{\prune 450}} \ncline{B}{C}\ncput*{\textsf{\prune 65}}    
}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Est-il possible de trouver un circuit qui passe par chaque chemin une et une seule fois ?
\item À l'aide d'un algorithme, déterminer le chemin le plus court qui permet de relier la zone A à la zone G. Préciser la distance, en mètres, de ce chemin.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip


Afin de permettre la reconstitution de la fertilité du sol, il a été décidé de planter de la moutarde sur une partie des sols ensemencés avec des céréales.  Ces terres sont dites de jachère.

D'une année sur l'autre : 
\begin{itemize}
\item 6\,\% des champs qui ont été ensemencés avec des céréales sont laissés en jachère ;
\item 24\,\% des champs laissés en jachère sont ensemencés avec des céréales.
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{itemize} 
\item  $c_n$ la probabilité qu'un champ soit ensemencé avec des céréales la $n$-ième année après la décision de laisser en jachère une partie des sols ;
\item  $j_n$ la probabilité qu'un champ soit laissé en jachère la $n$-ième année après la décision de laisser en jachère une partie des sols.
\end{itemize}
La matrice ligne $P_n = \begin{pmatrix} c_n & j_n \end{pmatrix}$ traduit l'état probabiliste la $n$-ième année après la décision de laisser en jachère une partie des sols ensemencés avec des céréales. 

Au moment de la décision, tous les champs étaient ensemencés avec des céréales. On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}1& 0\end{pmatrix}$.


\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $C$ et $J$ où le sommet $C$ représente l'état \og le champ est ensemencé avec des céréales  \fg{} et $J$ l'état  \og champ est laissé en jachère \fg{}.
\item Déterminer la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en respectant l'ordre $\left(C , J\right)$ des sommets.
\item  Calculer l'état probabiliste $P_2$ et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
\item  Soit la matrice ligne $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ associée à l'état stable du graphe probabiliste. 

Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $c_{n+1}=0,7 c_n+0,24$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = c_n - 0,8$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,7$.
		
On précisera la valeur de $v_0$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $c_n = 0,8 +0,2 \times  0,7^n$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $c_n \leqslant 0,81$ et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
\end{enumerate}

\pagebreak



 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par :\[f(x) = (4x + 8)\e^{-0,2x}- 7.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(4*x+8)*EXP(-.2*x)-7}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{0}{5}{\f} \gsave
\psline(5,0)(0,0)
\fill[fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(11,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(11,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\psline[linecolor=prune,linewidth=0.5pt](5,0)(5,3.3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\psdots[dotscale=.8,linecolor=bleu](0,1)(8,1.07586)
\uput[ul](0,1){\bleu $A$} \uput[u](8,1.1){\bleu $B$}\uput[dr](10,-.5){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On admet que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet le point $B$ d'abscisse 8 comme seul point d'inflexion.

À l'aide du graphique :
\begin{enumerate}
 \item déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est concave ;
 \item donner le tableau des variations de la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
 \end{enumerate} 
\item Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 10]$ on a $f'(x) = (-0,8x+2,4)\e^{-0,2x}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.
		
On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée à $0,001$ près.
 	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à $0,001$ près de $\alpha$. 	
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse 0.
\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu l'expression d'une primitive $G$ de la fonction $g$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline
\multirow{2}*{1} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} $g(x) := \left( a*x + b\right)*\mathrm{exp}(-0,2*x)$\\
	& \multicolumn{1}{r@{\hspace{2em}}|}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex}$\to g(x) := (ax+b)\e^{-0,2x}$}\\ \hline
\multirow{2}*{2} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} $G(x) :=\:$ Primitive $\left[g(x) , x\right]$\\
	&\multicolumn{1}{r@{\hspace{2em}}|}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex}$\to G(x) := (-5ax-25a-5b)\e^{-0,2x}$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}	

Justifier que la fonction $F$ définie par $F(x) = (- 20x - 140)\e^{-0,2x} - 7x$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.
\item Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, en unité d'aire, du domaine hachuré délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=5$. 
\end{enumerate}

\end{document}