Convexité, point d'inflexion

contrôle 2 (2012-2013)

Correction de l'exercice

Soit f une fonction deux fois dérivable sur sur . On note f sa dérivée et f sa dérivée seconde.
La courbe représentative de la fonction dérivée notée Cf est donnée ci dessous.
La droite T est tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 0.

Courbe représentative de la fonction f' : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Par lecture graphique :

    1. Résoudre f(x)=0.

      La courbe Cf coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse -2. Donc l'équation f(x)=0 admet une seule solution x=-2.


    2. Résoudre f(x)=0.

      La courbe Cf admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse -1. Donc l'équation f(x)=0 admet une seule solution x=-1.


    3. Déterminer f(0).

      La tangente T à la courbe Cf au point de coordonnées (0;1) passe par le point de coordonnées (2;0). D'où :f(0)=1-00-2=-12

      f(0)=-12


  2. Une des quatre courbes C1, C2, C3 et C4 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde f.

    Courbe représentative de la fonction f1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe représentative de la fonction f2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe représentative de la fonction f3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe représentative de la fonction f4 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Déterminer la courbe qui représente f et celle qui représente la dérivée seconde f

      • Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée

        x- − 2 +
        f(x) 0||+ 
        Variations de f  fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

        La courbe C1 est la seule courbe susceptible de représenter la fonction f.


      • Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée f.

        x- − 1 +
        Signe de f(x) +0|| 
        f(x) fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

        La courbe C3 est la seule courbe susceptible de représenter la dérivée seconde f.


    2. Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave.

      • Sur l'intervalle ]-;-1], la dérivée f est croissante donc f est convexe sur cet intervalle.

      • Sur l'intervalle [-1;+[, la dérivée f est décroissante donc f est concave sur cet intervalle.

      La fonction f est convexe sur l'intervalle ]-;-1] et concave sur l'intervalle [-1;+[.


    3. La courbe représentative de la fonction f admet-elle un point d'inflexion ?

      La dérivée seconde s'annule en (-1) en changeant de signe donc

      La courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion en (-1).


      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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