Soit f une fonction deux fois dérivable sur sur . On note sa dérivée et sa dérivée seconde.
La courbe représentative de la fonction dérivée notée est donnée ci dessous.
La droite T est tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
Par lecture graphique :
Résoudre .
La courbe coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse . Donc l'équation admet une seule solution .
Résoudre .
La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse . Donc l'équation admet une seule solution .
Déterminer .
La tangente T à la courbe au point de coordonnées passe par le point de coordonnées . D'où :
Une des quatre courbes , , et ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde .
Déterminer la courbe qui représente f et celle qui représente la dérivée seconde
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée
x | − 2 | ||||
− | + | ||||
Variations de f |
La courbe est la seule courbe susceptible de représenter la fonction f.
Les variations de la fonction se déduisent du signe de sa dérivée .
x | − 1 | ||||
Signe de | + | − | |||
La courbe est la seule courbe susceptible de représenter la dérivée seconde .
Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave.
Sur l'intervalle , la dérivée est croissante donc f est convexe sur cet intervalle.
Sur l'intervalle , la dérivée est décroissante donc f est concave sur cet intervalle.
La fonction f est convexe sur l'intervalle et concave sur l'intervalle .
La courbe représentative de la fonction f admet-elle un point d'inflexion ?
La dérivée seconde s'annule en en changeant de signe donc
La courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion en .
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