Convexité, point d'inflexion

contrôle 1 (2014-2015)

Correction de l'exercice

On considère une fonction f définie sur et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f, dérivée seconde de la fonction f, dans un repère orthonormé.
Les points A(-2;0) et B(3;0) appartiennent à la courbe.

Courbe représentative de la fonction f'' : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La courbe représentative de f admet-elle des points d'inflexion ?

    La courbe représentative de la fonction f nous donne le signe de f(x) :

    x -   3   +
    f(x)   0|| +  

    La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x=3 donc la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse 3.


  2. Sur quels intervalles, la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ?

    La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde :

    Sur ]-;3], la dérivée seconde est négative, donc la fonction est concave.
    Sur [3;+[, la dérivée seconde est positive, donc la fonction est convexe.


  3. On note f la dérivée de la fonction f. Donner le tableau de variation de la fonction f.

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

    x -   3   +
    f(x)   0|| +  
    f(x)   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.  

  4. Une des deux courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f et l'autre celle de f. Déterminer la courbe qui représente la fonction f et celle qui représente la dérivée f.

    • La courbe 1 est la courbe représentative d'une fonction décroissante sur ]-;3] et croissante sur [3;+[. C'est la seule des deux courbes susceptible de représenter la fonction dérivée f.

    • La courbe 2 est la courbe représentative d'une fonction concave sur ]-;3] et convexe sur [3;+[. C'est la seule des deux courbes susceptible de représenter la fonction f.

    Courbe 1 représentative de fCourbe 2 représentative de f
    Courbe représentative de la dérivée f' : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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