Soit f la fonction définie pour tout réel x par .
On note la dérivée de la fonction f et la dérivée seconde.
Déterminer .
est la fonction définie sur ℝ par .
Étudier les variations de la fonction f.
Les variations de f se déduisant du signe de sa dérivée, étudions le signe de .
Le discriminant du polynôme du second degré est :
donc le polynôme a deux racines :
Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de suivant les valeurs du réel x ainsi que le tableau de variation de la fonction f :
x | 1 | 10 | |||||
− | + | − | |||||
Déterminer .
est la fonction définie sur ℝ par .
Étudier la convexité de la fonction f.
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde :
x | 5,5 | ||||
+ | − |
Sur , la dérivée seconde est positive, donc la fonction f est convexe.
Sur , la dérivée seconde est négative, donc la fonction f est concave.
La fonction f, définie dans la partie A, modélise sur l'intervalle , le cours d'une action sur une année.
x est le temps écoulé exprimé en mois et est le cours de l'action en euros.
Sur un an, quel a été le cours le plus bas de cette action ? le cours le plus haut ?
D'après le tableau des variations de la fonction f :
Le minimum de la fonction est atteint pour et
Le maximum de la fonction est atteint pour et
Le cours le plus bas de cette action a été de 95,5 euros, son cours le plus haut a été de 460 euros.
À quel moment la croissance du cours de cette action s'est-elle ralentie ?
Sur l'intervalle , la fonction f est croissante, convexe sur et concave sur donc :
la croissance du cours de l'action s'est ralentie au bout de cinq mois et demi.
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