Convexité, point d'inflexion

contrôle 1 (2014-2015)

Correction de l'exercice

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=-x3+16,5x2-30x+110.
On note f la dérivée de la fonction f et f la dérivée seconde.

    1. Déterminer f(x).

      f est la fonction définie sur par f(x)=-3x2+33x-30.


    2. Étudier les variations de la fonction f.

      Les variations de f se déduisant du signe de sa dérivée, étudions le signe de f(x)=-3x2+33x-30.

      Le discriminant du polynôme du second degré -3x2+33x-30 est : Δ=332-4×(-3)×(-30)=729=272

      Δ>0 donc le polynôme a deux racines : x 1 = -b-Δ 2a Soit x 1 = -33-27-6 =10 et x 2 = -b+Δ 2a Soit x 2 =- 33+27 -6 =1

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de f(x) suivant les valeurs du réel x ainsi que le tableau de variation de la fonction f :

      x -   1   10   +
      f(x)   0|| + 0||  
      f(x)   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.  

    1. Déterminer f(x).

      f est la fonction définie sur par f(x)=-6x+33.


    2. Étudier la convexité de la fonction f.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde :

      x -   5,5   +
      f(x)   + 0||  

      Sur ]-;112], la dérivée seconde est positive, donc la fonction f est convexe.
      Sur [112;+[, la dérivée seconde est négative, donc la fonction f est concave.


partie b

La fonction f, définie dans la partie A, modélise sur l'intervalle [0;12], le cours d'une action sur une année.
x est le temps écoulé exprimé en mois et f(x) est le cours de l'action en euros.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Sur un an, quel a été le cours le plus bas de cette action ? le cours le plus haut ?

    D'après le tableau des variations de la fonction f :

    • Le minimum de la fonction est atteint pour x=1 et f(1)=-1+16,5-30+110=95,5

    • Le maximum de la fonction est atteint pour x=10 et f(10)=-1000+1650-300+110=460

    Le cours le plus bas de cette action a été de 95,5 euros, son cours le plus haut a été de 460 euros.


  2. À quel moment la croissance du cours de cette action s'est-elle ralentie ?

    Sur l'intervalle [1;10], la fonction f est croissante, convexe sur [1;112] et concave sur [112;10] donc :

    la croissance du cours de l'action s'est ralentie au bout de cinq mois et demi.




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