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% Mise en forme des algorithmes
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 \SetKwFor{Tq}{tant\_que~}{~faire~}{fin~tant\_que}
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%
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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 18 septembre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{dérivation, continuité et convexité}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
\setcounter{secnumdepth}{3}
\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
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\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nactivite}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
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\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Continuité et convexité.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Dérivée, continuité, convexité.}, 
pdfkeywords={Dérivée, variation, tangente,Théorème de la valeur intermédiaire, convexité, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/terminale_cours/index_terminale_cours.php}
}
\begin{document}
	
\section{dérivées}

\subsection{Tangente à une courbe} 
 

\begin{tabularx}{\linewidth} {@{}X@{\extracolsep{\fill}}m{6.5cm}@{}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, dérivable en $a$ où $a$ est un réel de $I$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

La droite passant par le point $A\left( a ; f(a) \right)$ de la courbe $C_f$ et de coefficient directeur $f'(a)$ est appelée la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $a$.&
\begin{flushright}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.5*x+1)*Euler^(1-x^2/16)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(8,5)
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(-0.2,-0.35){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.8,0){$x$}
\uput[l](0,4.8){$y$}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}}
\uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.75}{8}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](2,5)(7.5,-.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,3)(4,3)(4,0)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8](4,3)
\uput[d](4,0){\red{$a$}}
\uput[l](0,3){\red{$f(a)$}}
\uput[ur](4,3){\red{$A$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{tabularx}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, dérivable en $a$ où $a$ est un réel de $I$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

L'équation réduite de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $a$ est : 
 \[y=f'(a)\times(x-a)+f(a)\]
}

\subsection{Dérivées des fonctions de référence}

\cadreR{
  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}c}
$f$ définie sur \ldots & $f(x)$ &	$f'(x)$ &	$f$ dérivable sur \ldots \\ \hline
$\R$  & $k$ & 0 &	$\R$ \\ \hline
$\R$  & $ax+b$ & $a$ &	$\R$ \\ \hline
$\R$  \rule[-2mm]{0pt}{6mm} & $x^n$ & $n x^{n-1}$ &	$\R$ pour $n$ entier $n \geqslant 2$  \\ \hline
$\R^*$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\dfrac{1}{x}$ & $-\dfrac{1}{x^2}$ &	$\R^*$ \\ \hline
$\R^*$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\dfrac{1}{x^n}$ & $-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ &	$\R^*$  pour $n$ entier $n \geqslant 1$  \\ \hline
$[0;+\infty[$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ &	$]0;+\infty[$ \\ 
\end{tabularx}

}
\subsection{Dérivées et opérations}

$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ :

\medskip

\cadreR{  
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}}
\rule[-4mm]{0pt}{1cm}  $\left( u +v \right)' = u' + v'$ & $\left( ku \right)' = k \times u' $ & $\left( u v \right)' = u'v + uv'$
\end{tabularx}
}

\medskip

\cadreR{ 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\extracolsep{\fill}}  >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}}
\rule[-4mm]{0pt}{1cm}  $\left( u ^2 \right)' = 2 u u'$ & Si $n$ est un entier non nul,  $\left( u ^n \right)' = n u^{n-1} u'$
\end{tabularx}
}

\medskip

Si la fonction $v$ ne s'annule pas sur l'intervalle $I$ (si $v(x) \ne 0$ sur $I$)

\medskip

\cadreR{ 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\extracolsep{\fill}}  >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}}
\rule[-4mm]{0pt}{1cm}  $\left( \dfrac{1}{v} \right)' =-\dfrac{v'}{v^2}$ & $\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}$
\end{tabularx}
}


\subsection{Dérivée et variations d'une fonction}

\subsubsection{Théorème 1}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable et monotone sur un intervalle $I$ de $\R$.

\begin{itemize}
	\item Si $f$ est constante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)=0$.
	\item Si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)\geqslant 0$.
		\item Si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)\leqslant 0$.
\end{itemize}
}

\medskip

Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d'une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée.

\subsubsection{Théorème 2}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $f'$ la dérivée de $f$ sur $I$.

\begin{itemize}
	\item Si $f'$ est nulle sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
	\item Si $f'$ est strictement positive sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
	\item Si $f'$ est strictement négative sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
\end{itemize}
}

\subsubsection{Théorème 3}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ de $\R$ et $x_0$ un réel appartenant à $I$.

\begin{enumerate}
	\item Si $f$ admet un extremum local en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$.
	\item Si la dérivée $f'$ s'annule en $x_0$ \textbf{en changeant de signe}, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.
\end{enumerate}
}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,1.4)(8,1.4) \psline(0,2.2)(8,2.2)\psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(1.8,2.6){$a$} \rput(4.7,2.6){$x_0$} \rput(7.6,2.6){$b$}
\rput (0.75,1.8){$f'(x)$} \rput(3.25,1.8){$-$} \rput(4.7,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(6.2,1.8){$+$}
\rput(0.75,0.7){$f(x)$} \rput(4.7,0.2){\footnotesize{\emph {minimum}}}
\psline{->}(1.8,1.2)(4,0.2)  \psline{->}(5.4,0.2)(7.6,1.2)
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,1.4)(8,1.4) \psline(0,2.2)(8,2.2)\psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(1.8,2.6){$a$} \rput(4.7,2.6){$x_0$} \rput(7.6,2.6){$b$}
\rput (0.75,1.8){$f'(x)$} \rput(3.25,1.8){$+$} \rput(4.7,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(6.2,1.8){$-$}
\rput(0.75,0.7){$f(x)$} \rput(4.7,1.2){\footnotesize{\emph {maximum}}}
\psline{->}(1.8,0.2)(4,1.2)  \psline{->}(5.4,1.2)(7.6,0.2)
\end{pspicture}

\medskip

\textsf{\textsc{remarques}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Dans la proposition 2. du théorème 3 l'hypothèse \textbf{en changeant de signe} est importante.


\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{13.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Considérons la fonction cube définie sur $\R$ par $f(x) = x^3$ qui a pour dérivée la fonction $f'$ définie sur $\R$ par $f'(x)= 3 x^2$.

$f'(0) =0$ et pour tout réel $x$ non nul, $f'(x)>0$.

La fonction cube est strictement croissante sur $\R$ et n'admet pas d'extremum en 0.
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(1.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1}{1.14}{\f}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

\item  Une fonction peut admettre un extremum local en $x_0$ sans être nécessairement dérivable.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{13.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Considérons la fonction valeur absolue $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = |x|$.

$f$ est définie sur $\R$ par : $f(x) = \left \{
\begin{array}{r l}
   x & \text{ si }  x\geqslant 0  \\
  -x &  \text{ si }  x < 0
\end{array}
\right.$. 

$f$ admet un minimum  $f (0) = 0$  or $f$ n'est pas dérivable en 0.
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-.5)(2.5,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{abs(x)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-2.5,-1)(2.5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](2.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=3,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.5}{2.5}{\f}
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (0,0)
\end{pspicture}
\end{tabularx} 
\end{enumerate}


\addcontentsline{toc}{subsection}{exemple} 

\textsf {\textsc{\small{exemple : étude d'une fonction}}}

Soit $f$ la fonction définie sur  $\R$ par $f(x)=1-\displaystyle\frac{4x-3}{x^2+1}$.

\begin{enumerate}
 \item Calculer $f' (x)$.
	
	Sur $\R$ $f$ est dérivable comme somme et quotient de deux fonctions dérivables. 
	
	$f = 1 - \dfrac{u}{v}$ d'où $f'= -\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. Avec  pour tout réel $x$,  \[ \begin{array}{lcl} 
	u(x) = 4x-3 & \text{ d'où } & u'(x) = 4 \\
	v(x) = x^2+1 & \text{ d'où } & v'(x) = 2x \\
	\end{array}
\]

Soit pour tout réel $x$, 

\[ \begin{split} 
f'(x) &= -\dfrac{4(x^2+1)-2x(4x-3)}{(x^2+1)^2} \\
 &= -\dfrac{4x^2+4-8x^2+6x}{(x^2+1)^2} \\
 &= \dfrac{4x^2-6x-4}{(x^2+1)^2} \\
 	\end{split}
 	\]
 	
 \textcolor{red} {Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur $\R$ par $f'(x)=\dfrac{4x^2-6x-4}{(x^2+1)^2}$} 
 
 \item \'Etudier les variations de la fonction $f$
 
 Les variations de la fonction $f$ se déduisent du signe de sa dérivée.
 
 \'Etudions le signe de $f'(x)=\dfrac{4x^2-6x-4}{(x^2+1)^2}$ :
 
 Pour tout réel $x$, $(x^2+1)^2 >0$. Par conséquent, $f'(x)$ est du même signe que le polynôme du second degré $4x^2-6x-4$ avec $a=4$, $b=-6$ et $c=-4$.
 
 Le discriminant du trinôme est $\Delta= b^2 -4ac$ Soit \[ \Delta = \left( -6 \right)^2 - 4 \times 4 \times \left( -4 \right) = 100 \]
 Comme $\Delta >0$, le trinôme admet deux racines :
 \[ \begin{array}{lcl} 
	\phantom{\text{et }}x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & \text{ Soit } & x_1 = \dfrac{6-10}{8} = -\dfrac{1}{2} \\[3mm]
	\text{et }x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} & \text{ Soit } & x_2 = \dfrac{6+10}{8} = 2 \\
	\end{array}
\]

Un polynôme du second degré est du signe de $a$ sauf  pour les valeurs comprises entre les racines. 

Nous pouvons déduire le tableau du  signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du réel $x$ ainsi que les variations de la fonction $f$ :
		  
		  \begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.5,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.5,4) \psline(2,0)(2,4) \psline(0,3)(16.5,3)\psline(0,2)(16.5,2) 
\rput(1,3.5){$x$}\rput(2.5,3.5){$- \infty$} \rput(7,3.5){$-\dfrac{1}{2}$} \rput(11.5,3.5){$2$}\rput(16,3.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.5){$f'(x)$} \rput(4.75,2.5){$+$} \pnode(7,3){m1}\pnode(7,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.25,2.5){$-$} \pnode(11.5,3){n1}\pnode(11.5,2){n2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{n1}{n2}\ncput*{0}\rput(13.75,2.5){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$} \rput(2.5,.3){\rnode{A}{}} \rput(7,1.7){\rnode{B}{$5$}} \rput(11.5,.3){\rnode{C}{{$0$}}} \rput(16,1.7){\rnode{D}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\section{continuité} 

 \subsection{notion de continuité} 
 
\cadreB{
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.

Intuitivement, dire que $f$ est continue sur $I$ signifie que sa courbe représentative peut être tracée en un seul morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou).
}

\bigskip
 
 \textsf{\small{\textsc{exemple et contre-exemple}}}
 
\medskip
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de  $I$.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $A$ le point de la courbe  $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$.

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, on considère le point $M$ de la courbe  $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $x$

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{5/((x-2)^2+1)-1}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$O$}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4.7){\footnotesize{$y$}}
\psaxes[labels=none,  ticks=none,linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.2)(6,4.7)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{6}{\f}
\uput[l](6,-1){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](3,0)(3,1.5)(0,1.5)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](2.75,0)(2.75,2.2)(0,2.2)
\uput[d](3,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}
\uput[ur](3,1.5){\footnotesize{\prune{$A$}}}
\uput[l](0,1.5){\footnotesize{\prune{$f(a)$}}}
\uput[d](2.75,0){\footnotesize{\bleu{$x$}}}
\uput[ur](2.75,2.2){\footnotesize{\bleu{$M$}}}
\uput[l](0,2.2){\footnotesize{\bleu{$f(x)$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\g{.25*(x-3)^2+.5}
\def\f{5/((x-2)^2+1)-1}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$O$}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4.7){\footnotesize{$y$}}
\psaxes[labels=none,  ticks=none,linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.2)(6,4.7)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{3}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{3}{6}{\g}
\psarc[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](3.1,1.5){.1}{90}{270}
\psdots[linecolor=bleu](3,.5)
\uput[r](-1.5,-1){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](3,0)(3,.5)(0,.5)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](2.75,0)(2.75,2.2)(0,2.2)
\uput[d](3,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}
\uput[ur](3,.5){\footnotesize{\prune{$A$}}}
\uput[l](0,.5){\footnotesize{\prune{$f(a)$}}}
\uput[d](2.75,0){\footnotesize{\bleu{$x$}}}
\uput[ur](2.75,2.2){\footnotesize{\bleu{$M$}}}
\uput[l](0,2.2){\footnotesize{\bleu{$f(x)$}}}
\end{pspicture}\\
La fonction $f$ est  continue.

 {\footnotesize{Pour tout réel $a$ de $I$, on peut rendre $f(x)$ aussi proche que l'on veut de $f(a)$ pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$.}}  
 & 
 La fonction $f$   n'est pas continue en $a$. 
 
 {\footnotesize{La courbe  $\mathcal{C}_f$ présente un saut au point d'abscisse $a$.
 
 Le point  $M$ n'est pas proche du point $A$ quand $x$ est proche de $a$.}} \\
\end{tabularx} 

 \subsection{propriétés} 
 
  \subsubsection{théorème  \hspace{1cm} \normalfont{(\emph{admis})}} 
\cadreR{%
Toute fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur cet intervalle.
}

\medskip

\textsf{\textsc{remarque}}

\medskip

La réciproque du théorème est fausse :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{13.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Une fonction peut être continue en un réel $a$ sans être dérivable en ce réel.

Par exemple la fonction valeur absolue $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = |x|$ est contine en 0 mais n'est pas dérivable en 0.
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-.5)(2.5,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{abs(x)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-2.5,-1)(3,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](2.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,2.8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=3,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.5}{2.5}{\f}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 


\medskip
 
\textsf{\textsc{conséquences}}

\medskip
  
 On admettra les deux propriétés suivantes :
 
\begin{enumerate}
\item Les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.
	\item Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir de fonctions de référence est continue sur tout intervalle où elle est définie.	
\end{enumerate}

\medskip


\section{continuité et équation} 

\subsection{\textsc{théorème des valeurs intermédiaires}}

\subsubsection{\textsc{théorème} \hspace{1cm} \normalfont{(\emph{admis})}} 
 
 \cadreB{
Si $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et continue sur $I$ alors elle vérifie la propriété suivante :

quels que soient les réels $a$ et $b$ de l'intervalle $I$, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution $c$ appartenant à $[a;b]$.
}

\medskip

Ce théorème résulte du fait que l'image d'un intervalle de $\R$ par une fonction continue est un intervalle de $\R$.
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{$f$ est continue sur $I$} & \textbf{ $f$ n'est pas continue sur $I$}\\
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-2.5,-1.2)(3.5,4.8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{.375*x^3-.84375*x^2-1.125*x+3.375}
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}
\uput[d](3.4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,4.4){\footnotesize{$y$}}
\psaxes[labels=none,  ticks=none,linewidth=0.75pt]{->}(0,0)(-2.5,-1)(3.5,4.5)
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](0,-.75)(0,3.67969)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](0,3.68)(-.5,3.68)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.04}{3.39}{\f}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=bleu](.15,-.75)(-2,-.75)(-2,0)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=bleu](-.15,2.53125)(3,2.53125)(3,0)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](-2.5,1.5)(3.5,1.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](-2.5,.75)(3.5,.75)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](-2.5,-.5)(3.5,-.54)
\uput[ul](0,1.5){\prune{\footnotesize{$k$}}}
\uput[u](-2,0){\footnotesize{\bleu{$a$}}}
\uput[r](0,-.75){\footnotesize{\bleu{$f(a)$}}}
\uput[d](3,0){\footnotesize{\bleu{$b$}}}
\uput[l](0,2.53125){\footnotesize{\bleu{$f(b)$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-2.5,-1.2)(3.5,4.8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{.05*x^2-.7*x+2.2}
\def\g{-.75*x^2+2.4*x-1.2}
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}
\uput[d](3.4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,4.4){\footnotesize{$y$}}
\psaxes[labels=none,  ticks=none,linewidth=0.75pt]{->}(0,0)(-2.5,-1)(3.5,4.5)
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](0,1.55)(0,3.6)
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](0,-.75)(0,.72)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=bleu](0,-.75)(3,-.75)(3,0)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=bleu](0,3.6)(-1.77,3.6)(-1.77,0)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](0,1.55)(1,1.55)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](0,.72)(1.6,.72)(1.6,0)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](-2.5,1)(3.5,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.5}{1}{\f}
\psarc[linewidth=1pt, linecolor=bleu](1.08,1.55){0.08}{90}{270}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{3.1}{\g}
\psdots[linecolor=bleu](1,.45)
\uput[ul](0,1){\prune{\footnotesize{$k$}}}
\uput[d](-1.77,0){\footnotesize{\bleu{$a$}}}
\uput[r](0,3.6){\footnotesize{\bleu{$f(a)$}}}
\uput[l](0,1.55){\footnotesize{\bleu{$m'$}}}
\uput[l](0,-.75){\footnotesize{\bleu{$f(b)$}}}
\uput[l](0,.72){\footnotesize{\bleu{$m$}}}
\uput[u](3,0){\footnotesize{\bleu{$b$}}}

\end{pspicture}
\\
L'image de l'intervalle $[a;b]$ est un intervalle.

Tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ est l'image d'au moins un élément de $[a;b]$.
&  
L'image de l'intervalle $[a;b]$ n'est pas un intervalle.

Il existe des réels $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ pour lesquels  l'équation $f(x)=k$ n'a pas de solution. \\
\end{tabularx} 
 
 \subsection{théorème de la valeur intermédiaire}

\subsubsection{corollaire} 
 
\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $a$, $b$ deux réels appartenant à $I$, $a<b$.

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une solution \textbf{unique} $c$ appartenant à $[a;b]$.}

 
\dem%
 
 Soit $k$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$
 
 \begin{enumerate}
	\item Existence
	
	Par hypothèse,  $f$ est continue sur $[a;b]$ alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution $c$ appartenant à $[a;b]$.
	\item Unicité
	
	Supposons que l'équation $f(x)=k$ admette deux solutions distinctes $c_1$ et $c_2$ appartenant à  $[a;b]$
	
	Par hypothèse,  $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$ alors $ c_1 \ne c_2 \Rightarrow f\left(c_1\right) \ne f\left(c_2\right)$
	
	Ce qui aboutit à une contradiction puisque $f\left(c_1\right) = f\left(c_2\right) = k$
	
	Donc $c_1 = c_2$, ce qui prouve que l'équation $f(x)=k$ admet une solution unique dans $[a;b]$
\end{enumerate}


\medskip
 
\textsf{\textsc{remarques}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$ et $f(a) \times f(b) <0$, alors l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans $[a;b]$
	\item Le théorème s'applique aussi lorsque $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle de la forme $[a;b[$, $]a;b]$, $]a;b[$ , $[a; + \infty [ $, $]a;+\infty[$ , $]-\infty;b]$ ou $]-\infty;b[$.	
	\end{enumerate}

\section{convexité} 

\subsection{fonction convexe, fonction concave}

\subsubsection{définitions}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

\begin{itemize}
	\item Dire que la fonction $f$ est convexe sur $I$ signifie que la courbe $\mathcal{C}_f$  est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.
	\item Dire que la fonction $f$ est concave sur $I$ signifie que la courbe $\mathcal{C}_f$  est située entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes.
\end{itemize}
}
\medskip
 
 \textsf {\textsc{exemples}}
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{m{7.5cm}>{\centering \arraybackslash}X}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-3.5,-.5)(3.5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^2}
\def\fp{2*x}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$O$}}
\uput[dl](3.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psset{xunit=1cm, yunit=.5cm} 
\psaxes[labels=none, ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-.5)(3.5,10)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.1}{3.1}{\f}
\uput[dl](-3.25,10){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=prune,arrows=<->, arrowscale=1.2} 
\multido{\n=-2.8+1.4}{5}{\psplotTangent[algebraic, Derive=\fp]{\n}{1}{\f}}
\rput(0,6.3){\red{convexe}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{1/x}
\def\fp{-1/(x^2)}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$O$}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psaxes[labels=none, ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-3.95,-2.5)(4,3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{-.4}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.334}{4}{\f}
\uput[dr](.5,3){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=prune,arrows=<->, arrowscale=1.2} 
\multido{\n=-3+1}{3}{\psplotTangent[algebraic, Derive=\fp]{\n}{1}{\f}}
\multido{\n=-.6+1.1}{2}{\psplotTangent[algebraic, Derive=\fp]{\n}{1}{\f}}
\multido{\n=1+1}{3}{\psplotTangent[algebraic, Derive=\fp]{\n}{1}{\f}}
\rput(-2,-1.5){\red{concave}}
\rput(2,1.5){\red{convexe}}
\end{pspicture}\\
La fonction carré $x \longmapsto x^2$ est  convexe.
 & 
La fonction inverse $x \longmapsto \dfrac{1}{x}$ est concave sur $]-\infty;0[$  et convexe sur $]0;+\infty[$ \\
\end{tabularx} 


\medskip
 
\textsf{\textsc{remarque}}

\medskip

Intuitivement, quels que soient les points $A$ et $B$ de la courbe $\mathcal{C}_f$

\begin{itemize}
	\item Si le segment $[AB]$ est au-dessus de la courbe alors $f$ est convexe.
		\item Si le segment $[AB]$ est au-dessous de la courbe alors $f$ est concave.
\end{itemize}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{xunit=.8cm,yunit=.25cm} 
\begin{pspicture}(-4,-6)(4.5,16)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x^4)/12-x-10/3}
\psaxes[labels=none,  ticks=none,linewidth=0.75pt]{->}(0,0)(-4,-6)(4.5,16)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$O$}}\uput[dl](4.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,16){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2.5,2.421875)(3.8,10.2428)
\psset{linewidth=.25pt,linestyle=dashed, linecolor=prune} 
\psline(-2.5,0)(-2.5,2.421875)(0,2.421875)
\psline(3.8,0)(3.8,10.2428)(0,10.2428)
\uput[d](-2.5,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}
\uput[r](0,2.421875){\footnotesize{\prune{$f(a)$}}}
\uput[d](3.8,0){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\uput[l](0,10.2428){\footnotesize{\prune{$f(b)$}}}
\uput[l](-2.5,2.5){\footnotesize{\prune{$A$}}}
\uput[ur](3.8,10.25){\footnotesize{\prune{$B$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{xunit=.8cm,yunit=.25cm} 
\begin{pspicture}(-4,-6)(4.5,16)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{21*x/8-(x^4)/12+2365/192}
\psaxes[labels=none,  ticks=none,linewidth=0.75pt]{->}(0,0)(-4,-6)(4.5,16)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$O$}}\uput[dl](4.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,16){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.25}{4.2}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2.5,2.5)(3.5,9)
\psset{linewidth=.25pt,linestyle=dashed, linecolor=prune} 
\psline(-2.5,0)(-2.5,2.5)(0,2.5)
\psline(3.5,0)(3.5,9)(0,9)
\uput[d](-2.5,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}
\uput[r](0,2.5){\footnotesize{\prune{$f(a)$}}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\uput[l](0,9){\footnotesize{\prune{$f(b)$}}}
\uput[l](-2.5,2.5){\footnotesize{\prune{$A$}}}
\uput[ur](3.5,9){\footnotesize{\prune{$B$}}}
\end{pspicture}
\\
$f$ est convexe.
 &   $f$ est concave
\\
\end{tabularx} 

\subsubsection{théorème  \hspace{1cm} \normalfont{(\emph{admis})}} 
\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
	\item $f$ est convexe sur $I$ si, et seulement si, sa fonction dérivée $f'$ est croissante sur $I$.
	\item $f$ est concave sur $I$ si, et seulement si, sa fonction dérivée $f'$ est décroissante sur $I$.
\end{itemize}
}
\medskip

\textsf {\textsc{conséquence}}

\medskip
  \cadreB{
 On note $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$, c'est à dire la dérivée de la dérivée $f'$.
\begin{itemize}
\item Si la dérivée seconde est positive alors la fonction $f$ est convexe.
\item Si la dérivée seconde est négative alors la fonction $f$ est concave.	
\end{itemize}
} 
 
\medskip

\textsf{\textsc{exemple}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^5-5x^4$.

Sa dérivée est la fonction $f'$ définie sur $\R$ par $f'(x)=5x^4-20x^3$.

Sa dérivée seconde est la fonction $f''$ définie sur $\R$ par $f''(x)=20x^3-60x^2=20x^2(x-3)$.

Les variations de $f'$ se déduisent du signe de sa dérivée $f''$.

Notons que $20x^2 \geqslant 0$ donc $f''(x)$ est du même signe que $x-3$. D'où le tableau :

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(15,5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(15,5) \psline(3,0)(3,5) \psline(0,4.2)(15,4.2)\psline(0,3.2)(15,3.2) \psline(0,1)(15,1)
\rput(1.5,4.6){$x$}\rput(3.5,4.6){$-\infty$} \rput(9,4.6){$3$} \rput(14.5,4.6){$+ \infty$}
\rput(1.5,3.7){signe de $f''(x)$} \rput(6,3.7){$-$} \pnode(9,4.2){m1}\pnode(9,3.2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(12,3.7){$+$} 
\rput(1.5,2.2){variations de $f'$} \pnode(3.5,3){A}\pnode(9,1.2){B}\pnode(14.5,3){C}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}
\rput(1.5,.5){convexité de $f$}\rput(6,.5){\textsf {\textsc{\textbf{\Rougef{concave}}}}}\rput(12,.5){\textsf {\textsc{\textbf{\Rougef{convexe}}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

 $f$ est concave sur $\left] -\infty ; 3 \right]$ et convexe sur $\left[ 3;+\infty  \right[$.
	
	\subsection{point d'inflexion}
	
	\subsubsection{définition}
	
	\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

S'il existe un point $A$ de la courbe $\mathcal{C}_f$ tel que la courbe traverse sa tangente en ce point, alors on dit que $A$ est un point d'inflexion.
}

\medskip

\textsf{\textsc{exemple}}

\medskip

La courbe représentative de la fonction cube définie sur $\R$ par $f(x) =x^3$ admet comme point d'inflexion l'origine $\mathrm{O}(0;0)$ du repère.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{12cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction cube.

La tangente au point $O$ à la courbe  $\mathcal{C}_f$ est l'axe des abscisses d'équation $y=0$.

\begin{itemize}
	\item Pour $x \leqslant 0$, $f(x) \leqslant 0$ donc la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessous de la tangente en O sur $\left] -\infty ; 0\right]$.
		\item Pour $x \geqslant 0$, $f(x) \geqslant 0$ donc la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la tangente en O sur $\left[0;+\infty \right[$.
\end{itemize}

La courbe $\mathcal{C}_f$ traverse sa tangente en O donc $\mathrm{O}(0;0)$ est un point d'inflexion. 
&
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1.1,1.1)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^3}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(1.1,1.1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](1.1,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.1){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1}{1}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune, arrowscale=1.5]{<->}(-.75,0)(.75,0)
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

\medskip

\textsf {\textsc{conséquences}}

\medskip

    \cadreB{
\begin{itemize}
\item En un point d'inflexion la courbe traverse sa tangente : cela signifie que la fonction change de convexité.
\item Si la dérivée $f'$ change de sens de variation en $a$ alors la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $a$.
\item Si la dérivée seconde $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$ alors la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $a$.		
\end{itemize}
} 
 
\medskip

\textsf{\textsc{exemple}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^5-5x^4-40x+120$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

\medskip

Sa dérivée est la fonction $f'$ définie sur $\R$ par $f'(x)=5x^4-20x^3-40$.

Sa dérivée seconde est la fonction $f''$ définie sur $\R$ par $f''(x)=20x^2(x-3)$.

\medskip

L'équation $f''(x)=0$ admet deux solutions $x_1=0$ et $x_2=3$.

Notons que $20x^2 \geqslant 0$ donc $f''(x)$ est du même signe que $x-3$. 

\medskip

Les variations de $f'$ se déduisent du signe de sa dérivée $f''$. D'où le tableau :

\begin{center}
\psset{unit=.8cm} 
\begin{pspicture}(15.5,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(15.5,4) \psline(3.5,0)(3.5,4) \psline(0,3.2)(15.5,3.2)\psline(0,2.2)(15.5,2.2)
\rput(1.75,3.6){$x$}\rput(4,3.6){$-\infty$} \rput(6.75,3.6){$0$} \rput(9.5,3.6){$3$} \rput(15,3.6){$+ \infty$}
\rput(1.75,2.7){signe de $f''(x)$} \rput(5.375,2.7){$-$}\pnode(6.75,3.2){m1}\pnode(6.75,2.2){m2}  \ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0} \rput(8.125,2.7){$-$} \pnode(9.5,3.2){n1}\pnode(9.5,2.2){n2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{n1}{n2}\ncput*{0}\rput(12.5,2.7){$+$} 
\rput(1.75,1.2){variations de $f'$} \pnode(4,2){A}\rput(9.5,0.3){\rnode{B}{$-175$}}\pnode(15,2){C}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip

En tenant compte des changements de variation de la dérivée $f'$ on en déduit que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un seul point d'inflexion, le point  $A \left( 3 ; f(3) \right)$. 

\medskip

En effet :

\begin{itemize}
	\item $f''(0)=0$ mais, sur l'intervalle $]-\infty ; 3]$ $f''(x) \leqslant 0$ donc le point $B \left( 0 ; 120 \right)$ de la courbe  $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 0,  n'est pas un point d'inflexion. (La fonction $f$ est concave sur $]-\infty ; 3]$).
		\item $f''$ s'annule en 3 en changeant de signe donc le point $A \left( 3 ; -162 \right)$ est un point d'inflexion de la courbe  $\mathcal{C}_f$. (La fonction $f$ est concave sur $]-\infty ; 3]$ et convexe sur $[3 ;+\infty [$).
\end{itemize}
 
 \bigskip
 
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.8,-3.5)(6,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vert}{.06 .37 .22}
\def\f{.01*(x^5-5*x^4-40*x+120)}
\psaxes[linewidth=0.5pt,ticksize=-2pt 2pt,ylabelFactor={00}]{->}(0,0)(-3.8,-3.5)(6,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.93}{5.61}{\f}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune, arrowscale=1.5}
\psline{<->}(-1.5,1.8)(1.5,0.6)
\psline{<->}(2,.13)(4,-3.37)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed, linecolor=prune](3,0)(3,-1.62)(0,-1.62)
\psdots[linecolor=prune](0,1.2)(3,-1.62)
\uput[l](6,4.5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[d](3,-1.62){\footnotesize{\prune{$A$}}}
\uput[ur](0,1.2){\footnotesize{\prune{$B$}}}
\psset{nodesep=3pt,linewidth=.25pt}
\pnode(0,1.2){B}
\rput(-2,3){\rnode{Blegende}{%
\parbox{4.2cm}{\raggedright\footnotesize{\vert{
La courbe ne traverse pas sa tangente en $B$.%

$B$ n'est pas un point d'inflexion.}}}}}
 \ncarc[arcangle=10,linecolor=vert]{->}{Blegende}{B}
 
 \pnode(3,-1.62){A}
\rput(3.5,2){\rnode{Alegende}{%
\parbox{5cm}{\raggedright\footnotesize{\prune{
La courbe traverse sa tangente en $A$.%

$A$ est un point d'inflexion.}}}}}
 \ncarc[arcangle=15,linecolor=prune]{->}{Alegende}{A}
\end{pspicture}
\end{center}

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo

\bigskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. Certaines tangentes à la courbe ont également été représentées.

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-16,-6)(14,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{3*x^3-20*x+16}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-6)(15,12)
\psset{xunit=1.6cm,yunit=.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=8]{->}(0,0)(-4,-24)(3.75,48)
\uput[dl](3.75,0){$x$} \uput[dl](0,48){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.276}{3.167}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-2.5,24)(-1.5,40)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(1,-16)(3,16)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1,36)(1,-4)
\uput[dr](3.25,48){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}
 
 \medskip
 
 On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. À partir du graphique :
 \begin{enumerate}
 \item Déterminer  $f'(-2)$ , $f'(0)$ et $f'(2)$.
 \item Donner une estimation des solutions de l'équation $f'(x)=0$.
 \end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=3x^3-20x+16$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f'(x)$. 
 \item Calculer  $f'(-2)$ , $f'(0)$ et $f'(1,5)$, puis comparer ces résultats avec les valeurs obtenues dans la partie A.
 \item Déterminer les abscisses des points en lesquels la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ est parallèle à l'axe des abscisses.
 \item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
 \end{enumerate} 	

\bigskip

\exo

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur  $\R$ par $f(x)=\displaystyle\frac{15x+60}{x^2+9}$. On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. 

\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$. 
		\item \'Etudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Donner le tableau des variations de $f$. 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-4$. 
\end{enumerate}

 \bigskip
  
\exo

 \medskip 

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.  On sait que  :
\begin{itemize}
	\item La tangente au point $A\left(-1 ; \dfrac{9}{2}\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ est parallèle à l'axe des abscisses.
	\item La tangente au point $B\left( 2;0\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point de coordonnées $(0;2)$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-16,-6)(18,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(18-9*x)/(x^2+5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-6)(18,12)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-3)(9,6)
\uput[dl](9,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[u](-1,4.5){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ur](2,0){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{9}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1.75,4.5)(-.25,4.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-.5,2.5)(3.5,-1.5)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,4.5)(2,0)
\uput[ur](-8,1.4){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

 On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. À partir du graphique et des renseignements fournis :
\begin{enumerate}
\item Déterminer  $f'(-1)$ et $f'\left( 2\right)$.
\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y=-2x+\dfrac{7}{2}$. 

Déterminer $f(1)$ et $f'\left(1\right)$.
\item Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant votre choix.
	\begin{enumerate}
	\item $f'(0) \times f'(3) \leqslant 0$. 
	\item $f'(-3) \times f'(1) \leqslant 0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{18-9x}{x^2+5}$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{9\left(x^2-4x-5\right)}{\left(x^2+5\right)^2}$.
\item \begin{enumerate}
\item \'Etudier le signe de $f'(x)$.
\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $(-2)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

La courbe $C_f$  ci-dessous  représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On sait que : 
\begin{itemize}
	\item la courbe coupe l'axe des abscisses au point $A$ et la tangente à la courbe au point $A$ passe par le point de coordonnées $(0 ; -2)$ ;
	\item la courbe admet au point $B$ d'abscisse 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses ;
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-5)(20,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-2*(x+1)*EXP(-.5*x-.5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-5)(20,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-2.5)(10,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.13429}{10}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2.25,2.5)(0.25,-2.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0.2,-1.47152)(1.8,-1.47152)
\psdots[linecolor=bleu](-1,0)(1,-1.47152)
\uput[ur](-1,0){\bleu{$A$}} \uput[d](1,-1.47152){\bleu{$B$}}
\uput[dl](-2,4){\bleu{$C_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item À partir du graphique et des renseignements fournis, déterminer  $f'(-1)$ et $f'(1)$.

\item  Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminer laquelle.

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{\extracolsep{\fill}} c c c}
\psset{unit=.3cm} 
\begin{pspicture}(-6,-10)(10,2)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{-(x-1)^2*EXP(-.5*x-.5)/2}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.8 0 0}
\newrgbcolor{vert}{.06 .37 .22}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-10)(10,2)
\psset{unit=.6cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(5,1)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](5,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,1){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=vert]{-1.67275}{5}{\f}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.3cm} 
\begin{pspicture}(-6,-10)(10,2)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x-1)*EXP(-.5*x-.5)}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.8 0 0}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-10)(10,2)
\psset{unit=.6cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(5,1)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](5,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,1){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-2.013}{5}{\f}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.3cm} 
\begin{pspicture}(-8,-4)(8,8)
\def\f{(x-1)*2^x}
\newrgbcolor{rouge}{.8 0 0}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(8,8)
\psset{unit=.6cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(4,4)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](4,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,4){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=rouge]{-4}{2}{\f}
\end{pspicture}\\
\footnotesize{courbe $C_1$} & \footnotesize{courbe $C_2$}&\footnotesize{courbe $C_3$} \\
\end{tabular*} 
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-\dfrac{3}{2};+\infty \right[$ par $f(x)= 8x^2-2x -\dfrac{9}{2x+3}$.

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la  dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{8x\left( 8x^2 +23x +15 \right) }{\left(2x+3\right)^2}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=\dfrac{x^2-x+4}{x^2+3}$. On note $C_f$  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $f$.
	\item Étudier les variations de $f$.
	\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point d'abscisse $1$.
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

 \medskip 

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 15 000 articles.

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $C$  définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0;15]$ par $C(x)=\dfrac{16x^2+11x+60}{x+14}$.

La courbe représentative de la fonction $C$, notée $\mathcal{C}_T$, est donnée en annexe  ci-dessous.

\begin{enumerate}
	\item Chaque article est vendu 8\euro{}, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par $R(x)=8x$
\begin{enumerate}
	\item Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe  $\mathcal{D}$ représentative de la fonction $R$.
	\item Par lecture graphique :	
\begin{itemize}
	\item les valeurs approximatives des bornes de l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ;
	\item la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0;15]$ par $B(x)=R(x)-C(x)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend 6000 articles un mois donné.
	\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;15]$ on a $B'(x)=\dfrac{-8x^2-224x+1474}{{\left(x+14\right)}^2}$.
	\item \'Etudier les variations de la fonction $B$.
	\item En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\item Le coût marginal de fabrication pour une production de $x$ milliers d'articles est donné par $C'(x)$ où $C'$ est la dérivée de la fonction $C$.

Vérifier que si le bénéfice est maximal alors le coût marginal est égal au prix de vente d'un article.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1.4,-1)(32,19.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(15.3,18.6){\small{\textbf{\textsc{\textsf{annexe}}}}}
%\rput(15.3,18.7){\small{(\emph{à rendre avec la copie})}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(32,18)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.125}
\def\f{(16*x^2+11*x+60)/(x+14)}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0,Dy=8]{->}(0,0)(16,144)
\uput[dl](16,0){$x$} \uput[dl](0,144){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{15}{\f}
\uput[r](15,132){\bleu{$\mathcal{C}_T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
\exo

 \medskip 


Soit $f$ une fonction dérivable sur chacun des intervalles où elle est définie. Le tableau des variations de la fonction $f$ est donné ci-dessous : 

\begin{center}
	\psset{xunit=1cm,yunit=.8cm} 
\begin{pspicture}(14,3.2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(14,3.2) \psline(0,2.4)(14,2.4) \psline(1.5,0)(1.5,3.2)\psline(1.9,0)(1.9,2.4)\psline(2.1,0)(2.1,2.4)\psline(8.9,0)(8.9,2.4)\psline(9.1,0)(9.1,2.4)
\rput(0.75,2.8){$x$} \rput(2,2.8){$- 3$}\rput(5.5,2.8){$1$} \rput(9,2.8){$5$} \rput(13.5,2.8){$+\infty$}
\rput(0.75,1.2){$f(x)$} \rput(2.5,.4){\rnode{A}{$- \infty$}} \rput(5.5,2){\rnode{B}{$2$}} \rput(8.5,.4){\rnode{C}{$1$}}\rput(9.5,2){\rnode{D}{$+ \infty$}} \rput(13.5,.4){\rnode{E}{$-1$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C} \ncline{D}{E} 
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item La fonction $f$ est-elle continue sur $]-3 ; + \infty[$ ?
	\item Donner deux intervalles où $f$ est continue mais pas monotone.
	\item Donner deux intervalles où $f$ est continue et strictement monotone.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
	\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.
	\item L'équation $f(x)=1$ admet-elle une solution unique ?
\end{enumerate}

\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse.
	\begin{enumerate}
	\item L'équation $f'(x)=0$ n'a pas de solution sur  $]5; +\infty[$
	\item $f'(-2) \times f'(0) \leqslant 0$ 
	\item $f'(-2) \times f'(3) \leqslant 0$ 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo
 
 \medskip
 
 Soit $f$ la fonction définie $\left]-\dfrac{1}{2} ; + \infty\right[$ par $f(x) =\dfrac{2x^3-3x^2-2x-1}{ 2x+1}$. On note $f'$ sa dérivée.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $f'(x)$.
 \item Donner le tableau des variations de la fonction $f$.
 \item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.
 
 \`A l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ près,  des solutions de l'équation $f(x)=0$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\exo

\medskip
 
On considère une fonction $f$ définie sur $R$ et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, dans un repère orthonormé. 

Les points $A(-1;0)$, $B(0;-3)$ et $C(3;0)$ appartiennent à la courbe. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-10)(18,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-10)(18,4)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-5)(9,2)
\uput[dl](9,0){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\uput[u](-1,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[r](0,-3){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[ul](3,0){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.4984}{9}{(x+1)^2*(x-3)*Euler^(-x)}

\end{pspicture}
\end{center}
 
\emph{Dans cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d'arguments graphiques.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des points d'inflexion ? 
\item Sur quels intervalles, la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ? 
\item Parmi les deux courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la fonction $f$ : laquelle ? Justifier la réponse.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(10,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(3.5,11){Courbe 1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-5)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-5)(10,10)
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,10){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.5366}{10}{(x^2+2*x-1)*Euler^(-x)+2*Euler}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(10,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(3.5,11){Courbe 2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-5)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-5)(10,10)
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,10){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.89329}{10}{(x^3+5*x^2+9*x+5)*Euler^(-x)+1}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}


\bigskip

\exo

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-16,-8)(14,14)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x-4)*(3*x+16)*(x^2+4*x+10)/300}
\def\g{-20*x/27-172.61/81}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-8)(14,14)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-4)(7,7)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7.214}{5.1635}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune]{-}(-4.5,-1.143333)(-1.5,-1.143333)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune]{-}(1,-3.226667)(3,-3.226667)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=.75pt, linecolor=prune]{-1.8}{1.8}{\g}
\psdots[dotscale=.8, linecolor=prune](-3,-1.143333)(.333333,-2.3779)(2,-3.226667)
\uput[d](5.5,7){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
 
 \medskip
 
 On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$.
  
 À partir du graphique, déterminer dans chacun des cas, lequel des trois symboles $<$, $=$ ou $>$ est approprié :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\raggedright \arraybackslash}X@{}}}
$f(-6) \cdots 0$ & $f'(-6) \cdots 0$ & $f(-1) \cdots f(3)$ & $f'(-1) \cdots f'(3)$ \\
$f'(-6) \cdots f'(-1)$ & $f'(-3) \cdots 0$ & $f'(2) \cdots 0$ & $f'(-7) \cdots f'(3)$ \\
$f''(-6) \cdots f''(-1)$ & $f''(-3) \cdots 0$ & $f''(2) \cdots 0$ & $f''(-1) \cdots f''(1)$\\ 
\end{tabularx}

\bigskip

\exo

\medskip

Soit $P(t)$ la population  d'une ville où $t$ est en années et $P(t)$ est en milliers d'habitants. 

Que signifient les énoncés suivants en ce qui concerne les signes de la dérivée et de la dérivée seconde ?
\begin{enumerate}
\item \og La population a augmenté de moins en moins vite \fg{}.
\item \og La population est restée stable les trois premières années \fg{}.
\item \og La population diminue plus rapidement  \fg{}.
\item \og La population a augmenté au même taux \fg{}.
\end{enumerate}

\bigskip
 

\exo

\medskip
 
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\R$. On note $f'$ sa dérivée et $f{''}$ sa dérivée seconde.

La  courbe représentative de la fonction dérivée notée $\mathcal{C}_{f'}$ est donnée ci dessous. 

La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f'}$ au point d'abscisse 0.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(8,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\g{.5*(x+2)*EXP(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(8,5)
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(4,2.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](4,0){$x$} \uput[dl](0,2.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.5}{4}{\g}
\uput[l](4,.5){\bleu $\mathcal{C}_{f'}$}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-2,2)(2,0)
\uput[ul](-2,2){\prune{$T$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique :
	
\begin{enumerate}
	\item Résoudre $f'(x)=0$.
	\item Résoudre $f{''}(x)=0$.
	\item Déterminer $f{''}(0)$.
\end{enumerate}
\item Une des quatre courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$ et $\mathcal{C}_4$ ci-dessous est la courbe représentative de la fonction $f$ et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde $f{''}$.

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(8,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{-.5*(x+3)*EXP(-x)+.5*EXP(2)-1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-3)(8,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1.5)(4,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](4,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{4}{\f}
\uput[l](4,3){\bleu{$\mathcal{C}_1$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-8)(8,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{.5*(x+3)*EXP(-x)-.5*EXP(2)+1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-8)(8,3)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-4)(4,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](4,0){$x$} \uput[dl](0,1.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{4}{\f}
\uput[l](4,-3){\bleu{$\mathcal{C}_2$}}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(8,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{-.5*(x+1)*EXP(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-3)(8,6)
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1.5)(4,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](4,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.9}{4}{\f}
\uput[r](-2.5,1.5){\bleu{$\mathcal{C}_3$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(8,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{.5*(x+1)*EXP(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(8,3)
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(4,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](4,0){$x$} \uput[dl](0,1.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.9}{4}{\f}
\uput[r](-2.5,-1.5){\bleu{$\mathcal{C}_4$}}
\end{pspicture}
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la courbe qui représente $f$ et celle qui représente la dérivée seconde $f{''}$.
	\item Déterminer les intervalles sur lesquels $f$ est convexe ou concave.
	\item La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle un point d'inflexion ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\exo

\medskip
 
Le tableau ci-dessous représente l'évolution du taux d'endettement des ménages, en pourcentage du revenu disponible brut, en France de 2001 à 2010.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{10}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline 
Année & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 & 2010\\ \hline 
Rang de l'année  $x_{i}$ &  1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 
Taux d'endettement $y_{i}$ 	& 52,2 &	53,2 &	55,6 &  58,6 &	63,4 &	67,4 &	70,9 &	73,5 &	75,7 &	78,9\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\emph{\footnotesize{Source : INSEE}}}\\ 
\end{tabularx}

\medskip

Une estimation de l'évolution du taux d'endettement des ménages est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;11]$ par : \[f(x) = -0,04x^3+0,68x^2-0,06x+51,4\] où $x$ est le nombre d'années écoulées depuis 2000.

\begin{center}
\psset{xunit=.35cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(46,14)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{-.04*x^3+.68*x^2-.06*x+1.4}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(46,14)
\psset{xunit=1.4cm,yunit=.2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Oy=50,Dy=5]{->}(0,0)(11.5,35)
\uput[dl](11.5,0){$x$} \uput[dl](0,35){$y$}
\savedata{\donnees}[(1,2.2)(2,3.2)(3,5.6)(4,8.6)(5,13.4)(6,17.4)(7,20.9)(8,23.5)(9,25.7)(10,28.9)]
\listplot[linecolor=prune,plotstyle=dots,dotscale=.9]{\donnees}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{11}{\f}
\uput[ur](11,30){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer la valeur estimée du taux d'endettement des ménages en 2009.
		\item Calculer le pourcentage d'erreur par rapport au taux réel d'endettement des ménages en 2009.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$ et $f{''}(x)$.
	\item Déterminer les intervalles sur lesquels $f$ est convexe ou concave.
	\item La courbe $\mathcal{C}_f$ a-t-elle un point d'inflexion ?
\end{enumerate}
\item Le rythme de croissance instantané du taux d'endettement est assimilé à la dérivée de la fonction $f$.

Au cours de  quelle année, le rythme de croissance du taux d'endettement a-t-il commencé à diminuer ?

\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ appartenant à  l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $f(x) =\dfrac{2x^2+x-1}{x^2}$.
 
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
 \begin{enumerate}
 \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection éventuels de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
 \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à  l'intervalle $]0 ; + \infty[$, $f '(x) =\dfrac{2-x}{x^3}$.
\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$.
  \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \'Etudier la convexité de la fonction $f$.
 \item La courbe représentative de la fonction $f$  a-t-elle un point d'inflexion ? 
\end{enumerate} 
\item Montrer que l'équation $f'(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[1;2]$.

 À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à $10^{-2}$ près, de $\alpha$.
 \end{enumerate}
 \bigskip  

\exo

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-x^3+16,5x^2-30x+110$. 

On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$.
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer $f''(x)$.
\item \'Etudier la convexité de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$, définie dans la partie A, modélise sur l'intervalle $[0;12]$, le cours d'une action sur une année. 

$x$ est le temps écoulé exprimé en mois et $f(x)$ est le cours de l'action en euros.

\begin{enumerate}
\item Sur un an, quel a été le cours le plus bas de cette action ? le cours le plus haut ?
\item À quel moment la croissance du cours de cette action s'est-elle ralentie ?
\end{enumerate}


 \bigskip 
\exo

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $ f(x)=x^3-7,5x^2+20x+8$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.

\item 
\begin{enumerate}
	\item \'Etudier  la convexité de la fonction $f$.
	\item La courbe $\mathcal{C}_f$ a-t-elle un point d'inflexion ?  Si oui, déterminer ses coordonnées ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ modélise sur l'intervalle $]0 ; 6,5]$ le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où $x$ désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués par une entreprise.

La courbe représentative de la fonction coût total, sur l'intervalle $]0 ; 6,5]$, est donnée ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(28,20)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{x^3-7.5*x^2+20*x+8}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(28,20)
\psset{xunit=2cm, yunit=0.1cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(7,100)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,100){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{6.5}{\f}
\uput[ur](6.5,92){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

Le prix de vente d'un article est fixé à 13,25 \euro{}.  On suppose que toute la production est vendue.

\begin{enumerate}
	
	\item Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique :	
\begin{enumerate}
	\item l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ;
	\item la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{enumerate}
\item  On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle $]0~; ~6,5]$ par $B(x) = 13,25x - f(x)$.
\begin{enumerate}
		\item \'Etudier les variations de la fonction $B$ sur $]0~; ~6,5]$. 
	\item En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\item Le coût marginal de fabrication pour une production de $x$ milliers d'articles est donné par $f'(x)$ où $f'$ est la dérivée de la fonction $f$.

Vérifier que si le bénéfice est maximal alors le coût marginal est égal au prix de vente d'un article.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie c}}}

\medskip

Le coût moyen de production $C$ mesure le coût en euro par article produit. 

On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle $]0 ; 6,5]$ par $C(x)=\dfrac{ f(x)}{x}$. 
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ le point d'abscisse $a$ de la courbe $\mathcal{C}_f$. 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que le coefficient directeur de la droite $(OA)$ est égal au coût moyen  $C(a)$
	\item Conjecturer graphiquement, les variations de la fonction $C$
\end{enumerate}
 \item On désigne par $C'$ la dérivée de la fonction $C$.
\begin{enumerate}
\item Montrer  $C'(x)=\dfrac{(x-4)(2x^2+0,5x+2)}{x^2}$.
\item \'Etudiez les variations de la fonction $C$.
\item En déduire le prix de vente minimal, arrondi à l'euro près, d'un article pour que l'entreprise ne travaille pas à perte ?
\end{enumerate}
\item Justifier que lorsque le coût moyen est minimal, alors le coût moyen est égal au coût marginal.
\end{enumerate}

\end{document}

