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\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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% Mise en forme des algorithmes
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%

\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio


\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 6 novembre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{fonction exponentielle}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
\setcounter{secnumdepth}{3}
\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
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\makeatother
\setcounter{secnumdepth}{2}

\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \refstepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
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\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}
   
\hypersetup{
pdftitle={fonction exponentielle.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Fonction exponentielle de base $q$, fonction exponentielle.}, 
pdfkeywords={fonction exponentielle,propriétés, dérivée, variation,  cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/terminale_cours/index_terminale_cours.php}
}
\begin{document}
\addcontentsline{toc}{section}{Activités : Introduction}


\textbf{\textsf {\textsc{\small{construction expérimentale de la fonction $f : x \longmapsto q^x$ , avec $q>0$}}}}

\medskip

Soit $q>0$ un réel strictement positif. $\left( u_n \right)$ est la suite géométrique définie pour tout entier $n$ par $u_n=q^n$.


$\left( u_n \right)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme 1. Pour tous entiers naturels $m$ et $p$, on a : \[u_m \times u_p = q^m \times q^p = q^{m+p} = u_{m+p} \]
 
On considère le nuage de points $M_i$ représentatif de la suite $q^n$.
  
  \textsf {\textsc{\small{étape 1 :}} prolongement sur les négatifs.}
  
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{5.5cm}>{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
  Sachant que pour tout réel $q>0$ et pour tout entier $n$, $q^{-n} = \left(\dfrac{1}{q}\right)^n$, on complète  le graphique à l'aide de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\dfrac{1}{q}$.

On définit ainsi, une fonction $f$ telle que pour tout entier relatif $n$, \mbox{$f(n) = q^n$}.

Pour tous entiers relatifs $m$ et $p$,  \[f(m) \times f(p) = q^m \times q^p = q^{m+p} = f(m+p) \]
&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.25,-.2)(6.75,7.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vert}{0.08 .22 0.1}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1.36  x exp}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,ticks=x, labels=x]{->}(0,0)(-4.25,0)(6.75,7.25)
\uput[dl](6.75,0){$x$} \uput[dl](0,7.25){$y$}
\psset{dotstyle=Bo,dotscale=2,linewidth=0.25pt, linecolor=prune}
\multido{\n=1+1}{3}{%
\pstVerb{/xUn \n\space def}%
\psline[linestyle=dashed](!0 /x \n\space def \f)(! xUn /x \n\space def \f)(! xUn 0)
\uput[l](!0 /x \n\space def \f){\prune{\footnotesize{$q^{\n}$}}}
}
\multido{\n=4+2}{2}{%
\pstVerb{/xUn \n\space def}%
\psline[linestyle=dashed](!0 /x \n\space def \f)(! xUn /x \n\space def \f)(! xUn 0)
\uput[l](!0 /x \n\space def \f){\prune{\footnotesize{$q^{\n}$}}}
}
\psline[linestyle=dashed](!0 1.36 5 exp)(!5 1.36 5 exp)(!5 0)
\uput[l](!0 1.36 5 exp){\prune{\footnotesize{$q^{5}=\sqrt{q^4 \times q^6}$}}}
\uput[l](0,1){\prune{\footnotesize{$q^{0}=1$}}}
\multido{\n=0+1}{7}{%
\pstVerb{/xUn \n\space def}%
\psdot(! xUn /x \n\space def \f)\uput[r](! xUn /x \n\space def \f){\prune{\tiny{$M_{\n}$}}}
}
\psset{dotstyle=Bo,dotscale=1.5,linewidth=0.25pt, linecolor=vert}
\uput[r](!0 1.36 2 neg exp){\vert{\footnotesize{$q^{-2}=\dfrac{1}{q^{2}}$}}}
\multido{\r=-4+1}{4}{%
\pstVerb{/xUr \r\space def}%
\psline[linestyle=dashed](!0 /x \r\space def \f)(! xUr /x \r\space def \f)(! xUr 0)
\psdot(! xUr /x \r\space def \f)
}
\end{pspicture}
  \end{tabularx}

 \medskip
 
\textsf {\textsc{\small{étape 2 :}} prolongement par dichotomie.}

  \medskip
 
 \textsf {\textsc{\small{rappel}}}
 
 \medskip

\cadreB{
Trois réels $a$, $b$ et $c$ sont, dans cet ordre  trois termes consécutifs d'une suite géométrique si, et seulement si, $b$ est la moyenne géométrique de $a$ et $c$ (c'est à dire : $b=\sqrt{ac}$)
}

\begin{itemize}
	\item Points d'abscisses $n+0,5$ avec $n \in \Z$
	
	Au point d'abscisse $n+0,5= \dfrac{n+(n+1)}{2}$ on associe la moyenne géométrique des deux termes consécutifs  : 
	\[f\left(n+0,5\right)=\sqrt{f(n) \times f(n+1)} =\sqrt{q^n \times q^{n+1}}\]		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.25,-.2)(6.75,7.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vert}{0.08 .22 0.1}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1.36  x exp}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,ticks=x, labels=x]{->}(0,0)(-4.25,0)(6.75,7.25)
\uput[dl](6.75,0){$x$} \uput[dl](0,7.25){$y$}
\psset{dotstyle=Bo,dotscale=2,linewidth=0.25pt, linecolor=prune}
\multido{\n=1+1}{3}{%
\pstVerb{/xUn \n\space def}%
}
\multido{\n=4+2}{2}{%
\pstVerb{/xUn \n\space def}%
\psline[linestyle=dashed](!0 /x \n\space def \f)(! xUn /x \n\space def \f)(! xUn 0)
\uput[l](!0 /x \n\space def \f){\prune{\footnotesize{$q^{\n}$}}}
}
\psline[linestyle=dashed](!0 1.36 5 exp)(!5 1.36 5 exp)(!5 0)
\uput[l](!0 1.36 5 exp){\prune{\footnotesize{$q^{5}=\sqrt{q^4 \times q^6}$}}}
\uput[l](0,1){\prune{\footnotesize{$q^{0}=1$}}}
\multido{\n=0+1}{7}{%
\pstVerb{/xUn \n\space def}%
\psdot(! xUn /x \n\space def \f)
}
\psset{dotstyle=Bo,dotscale=1.5,linewidth=0.25pt, linecolor=vert}
\multido{\r=-4+1}{4}{%
\pstVerb{/xUr \r\space def}%
\psdot(! xUr /x \r\space def \f)
}

\psset{dotstyle=*,dotscale=1,linewidth=0.25pt, linecolor=bleu,dash=3pt  2pt}
\psline[linestyle=dashed](!0 1.36 5.5 exp)(!5.5 1.36 5.5 exp)(!5.5 0)
\uput[l](!0 1.36 5.5 exp){\bleu{\footnotesize{$q^{5,5}=\sqrt{q^5 \times q^6}$}}}
\psline[linestyle=dashed](!0 1.36 -2.5 exp)(!-2.5 1.36 -2.5 exp)(!-2.5 0)
\uput[r](!0 1.36 -2.5 exp){\bleu{\footnotesize{$q^{-2,5}=\sqrt{q^{-3} \times q^{-2}}$}}}
\multido{\r=-3.5+1}{10}{%
\pstVerb{/xUr \r\space def}%
\psdot(! xUr /x \r\space def \f)
}
\end{pspicture}
\end{center}

Pour tout entier relatif $n$ :  
\[f\left(n+0,5\right)=\sqrt{q^n \times q^{n+1}} = q^{\frac{2n+1}{2}}= q^n \times q^{0,5} = f(n) \times f(0,5)\]		
 
	\item On obtient de nouveaux points en réitérant ce processus :	

	Au point d'abscisse $n+0,25= \dfrac{n+(n+0,5)}{2}=\dfrac{2n+0,5}{2}$, on associe on associe le réel : 
	\[f\left(n+0,25\right) =\sqrt{q^n \times q^{n+0,5}}= q^{\frac{2n+0,5}{2}}= q^n \times q^{0,25} = f(n) \times f(0,25)\]
	Au point d'abscisse $n+0,75= \dfrac{(n+0,5)+(n+1)}{2}=\dfrac{2n+1,5}{2}$ on associe on associe le réel : 
	\[f\left(n+0,75\right) =\sqrt{q^{n+0,5} \times q^{n+1}}= q^{\frac{2n+1,5}{2}}= q^n \times q^{0,75} = f(n) \times f(0,75)\]		
	
	Plus généralement soient $A\left( a; q^a\right)$ et $B \left( b; q^b\right)$ deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$, ce processus permet d'obtenir le point $M \left( \dfrac{a+b}{2}; \sqrt{q^a \times q^b}\right)$ appartenant à la courbe $\mathcal{C}_f$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-.2)(6.75,7.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vert}{0.08 .22 0.1}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1.36  x exp}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,ticks=x, labels=x]{->}(0,0)(-4.5,0)(6.75,7.5)
\uput[dl](6.75,0){$x$} \uput[dl](0,7.5){$y$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=.75pt,linecolor=bleu]{-4.5}{6.5}{\f}
\uput[dr](6.5,7.5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\psset{dotstyle=*,dotscale=1,linewidth=0.25pt, linecolor=bleu}
\multido{\r=-4.375+.125}{87}{%
\pstVerb{/xUr \r\space def}%
\psdot(! xUr /x \r\space def \f)
}
\psset{dotstyle=Bo,dotscale=2,linewidth=0.25pt, linecolor=prune}
\multido{\n=1+1}{3}{%
\pstVerb{/xUn \n\space def}%
}
\multido{\n=4+2}{2}{%
\pstVerb{/xUn \n\space def}%
\psline[linestyle=dashed](!0 /x \n\space def \f)(! xUn /x \n\space def \f)(! xUn 0)
\uput[l](!0 /x \n\space def \f){\prune{\footnotesize{$q^{\n}$}}}
}
\psline[linestyle=dashed](!0 1.36 5 exp)(!5 1.36 5 exp)(!5 0)
\uput[l](!0 1.36 5 exp){\prune{\footnotesize{$q^{5}=\sqrt{q^4 \times q^6}$}}}
\uput[l](0,1){\prune{\footnotesize{$q^{0}=1$}}}
\multido{\n=0+1}{7}{%
\pstVerb{/xUn \n\space def}%
\psdot(! xUn /x \n\space def \f)
}
\psset{dotstyle=Bo,dotscale=1.5,linewidth=0.25pt, linecolor=vert}
\multido{\r=-4+1}{4}{%
\pstVerb{/xUr \r\space def}%
\psdot(! xUr /x \r\space def \f)
}
\psset{linewidth=0.25pt, linecolor=bleu,dash=3pt  2pt}
\psline[linestyle=dashed](!0 1.36 5.75 exp)(!5.75 1.36 5.75 exp)(!5.75 0)
\uput[l](!0 1.36 5.75 exp){\bleu{\footnotesize{$q^{5,75}=\sqrt{q^{5,5} \times q^{6}}$}}}
\psline[linestyle=dashed](!0 1.36 4.5 exp)(!4.5 1.36 4.5 exp)(!4.5 0)
\uput[l](!0 1.36 4.5 exp){\bleu{\footnotesize{$q^{4,5}=\sqrt{q^4 \times q^5}$}}}
\psline[linestyle=dashed](!0 1.36 -3.25 exp)(!-3.25 1.36 -3.25 exp)(!-3.25 0)
\uput[r](!0 1.36 -3.25 exp){\bleu{\footnotesize{$q^{-3,25}=\sqrt{q^{-3,5} \times q^{-3}}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \[ f \left( \dfrac{a+b}{2}\right) =  \sqrt{q^a \times q^b} = q^{\frac{a+b}{2}}= q^{\frac{a}{2}} \times q^{\frac{b}{2}} = f\left(\dfrac{a}{2}\right) \times f\left(\dfrac{b}{2}\right)\]

La fonction $f$ vérifie la relation $f(x+y) = f(x) \times f(y)$.
\end{itemize}

\medskip
	
\textbf{\textsf {\textsc{\small{des fonctions \og transformant les sommes en produits \fg}}}}

 \medskip
 
Soit $f$  une fonction continue vérifiant pour tous réels $x$ et $y$ :\[\left\lbrace
\begin{array}{l} f(x) \ne 0\\
f(x+y) = f(x) \times f(y)
\end{array}
\right. 
\]
\begin{enumerate}
\item En écrivant  que pour tout réel $x$, $f(x) = f\left( \dfrac{x}{2}+ \dfrac{x}{2}\right)$, montrer que pour tout réel $x$, $f(x) > 0$.
	\item En remarquant que pour tout réel $x$, $f(x+0)=f(x)$, en déduire la valeur de $f(0)$.
	\item Démontrer que pour tout réel $x$, $f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}$		
	\item On pose $f(1) = q$.	
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f(2)$ $f(3)$ et $f(0,5)$.
	\item Calculer $f(-1)$ et $f(-2)$.
\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left( u_n \right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par  $u_n=f(n)$ est une suite géométrique.
%\item Soit $n \ne 0$ un entier non nul. Montrer que $f\left(\dfrac{1}{n}\right)$ est la racine $n$-ième de $q$.
%\item Montrer que pour tout rationnel $r= \dfrac{m}{n}$ avec $m$ entier relatif et $n$ entier non nul,  $f\left(\dfrac{m}{n}\right)=q^{\frac{m}{n}}$.
\end{enumerate}
 
 
 
\section{fonctions exponentielles de base $q$}

\subsection {fonctions exponentielles $x \longmapsto q^x$ , avec $q>0$}

Soit $q$ un nombre strictement positif. La suite $\left( u_n \right)$ définie pour tout entier $n$ par $u_n=q^n$ est une suite géométrique de raison $q$.

La fonction exponentielle de base $q$ est le prolongement de cette suite géométrique.

\subsubsection{définition}

\cadreR{%
Soit $q$ un réel strictement positif

La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)= q^x$ s'appelle la fonction exponentielle de base $q$.

On admet que cette fonction  est dérivable sur $\R$.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)= 0,8^x$ est la fonction exponentielle de base $0,8$.

Une valeur approchée de l'image de $-5,3$ est obtenue à la calculatrice en tapant la séquence : {\textsf {0.8 $\wedge$ ( - 5.3 )}}.

\subsubsection{relation fonctionnelle}

\cadreR{%
La fonction exponentielle $f$ de base $q>0$ transforme les sommes en produits. Pour tous réels $x$ et $y$ :\[f(x+y) = f(x) \times f(y)\]

Autrement dit, pour tous réels $x$ et $y$ : $q^{x+y} = q^x \times q^y$.
}

\subsubsection{conséquences}

\begin{itemize}
	\item \fbox{Pour tous réels $x$ et $y$, $q^{-x}= \dfrac{1}{q^x}$ et $q^{x-y}= \dfrac{q^x}{q^y}$.}
	
	En effet, $q^{x-x}= q^x \times q^{-x}$ soit $1= q^x \times q^{-x}$ donc $q^x \ne 0$ et $q^{-x}=\dfrac{1}{q^x}$.
	
	De plus, $q^{x-y}=q^{x+(-y)}=q^x \times q^{-y}= \dfrac{q^x}{q^y}$
			
		\medskip
		
	\item \fbox{Pour tout réel $x$, $q^{x}>0$.}
	
		\medskip
		
		En effet, $q^{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}= q^{\frac{x}{2}} \times q^{\frac{x}{2}}$ soit $q^x = \left( q^{\frac{x}{2}}\right)^2 $ avec $q^x \ne 0$.
		
		\bigskip
		
\item \fbox{Pour tout réel $x$, $q^{\frac{x}{2}}=\sqrt{q^x}$, et en particulier $q^{0,5}=\sqrt{q}$}
	
		\medskip
		
		En effet, $q^x = \left( q^{\frac{x}{2}}\right)^2 $ et $q^x > 0$.
			
		\bigskip
		
		\item \fbox{Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $m$, $\left({q^x}\right)^m=q^{mx}$}
		
		\medskip
		
		Propriété usuelle des exposants entiers relatifs.
		
		\bigskip
		
		\item \fbox{Pour tout entier naturel $n>0$, $q^{\frac{1}{n}}$ est \og la racine $n$-ième \fg{} de $q$}
		
		\medskip
		
		Pour tout entier naturel $n>0$, comme $\dfrac{1}{n} \times n =1$, alors $q^{\frac{1}{n}}$ est le nombre tel que $\left(q^{\frac{1}{n}}\right)^n = q$
\end{itemize}

\medskip
 
 \textsf {\textsc{\small{exemple}}}
 
 	 \medskip
Une entreprise s'est fixé comme objectif de réduire de 30 \%  ses émissions de gaz à effet de serre d'ici quinze ans.

Soit $t\:\%$ le pourcentage d'évolution annuel moyen des émissions de gaz à effet de serre. On a : \[ \begin{array}{lcl} 
\left( 1 + \dfrac{t}{100}\right)^{15} = 0,7 & \iff & 1 + \dfrac{t}{100}= 0,7^{\frac{1}{15}}\\[3mm]
& \iff & \dfrac{t}{100}= 0,7^{\frac{1}{15}}-1\\[3mm]
& \text{Soit} & \dfrac{t}{100}\approx -0,0235
\end{array}\]

Pour atteindre son objectif, cette entreprise doit réduire chaque année, ses émissions de gaz à effet de serre d'environ 2,35 \% .
 
\subsection{sens de variation}

En continuité avec les suites numériques, on admet que le sens de variation de la fonction exponentielle de base $q$ avec $q>0$ est le même que celui de la suite géométrique associée :

\medskip

\cadreR{%
\begin{itemize}
	\item Si $0<q<1$, la fonction $x\longmapsto q^x$ est strictement décroissante sur $\R$.
	\item Si $q=1$, la fonction $x\longmapsto q^x$ est constante sur $\R$.
	\item Si $q>1$, la fonction $x\longmapsto q^x$ est strictement croissante sur $\R$.
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{conséquence}}}

\medskip

\cadreB{
\begin{center}
Si $q>0$ et  $q \ne 1$, alors pour tous nombres réels $a$ et $b$ : $q^a =q^b$ si, et seulement si, $a=b$.
\end{center}
}

\subsection{propriétés}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline

$0<q<1$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $q>1$ \\\hline
La fonction exponentielle de base $q$ est strictement décroissante sur $\R$. & La fonction exponentielle de base $q$ est strictement croissante sur $\R$.\\\hline
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} q^x = + \infty$  et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} q^x = 0$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm}
 &  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} q^x = 0$  et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} q^x = + \infty$
\\ \hline
\psset{unit=.8cm} 
\begin{pspicture}(-4,-.5)(4,6.25)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{.64^x}
\psaxes[labels=none, ticks=none,linewidth=0.75pt]{->}(0,0)(-4,-.5)(4,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-.1,-.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{4}{\f}
\psset{linewidth=.25pt,linestyle=dashed, linecolor=prune} 
\psline(1,0)(1,.64)(0,.64)
\uput[l](0,.64){\footnotesize{\prune{$q$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.8cm} 
\begin{pspicture}(-4,-.5)(4,6.25)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{1.55^x}
\psaxes[labels=none, ticks=none,linewidth=0.75pt]{->}(0,0)(-4,-.5)(4,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-.1,-.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{4}{\f}
\psset{linewidth=.25pt,linestyle=dashed, linecolor=prune} 
\psline(1,0)(1,1.55)(0,1.55)
\uput[l](0,1.55){\footnotesize{\prune{$q$}}}
\end{pspicture}\\ \hline

\multicolumn{2}{|c|}{La fonction fonction exponentielle de base $q$ est convexe sur $\R$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm}} \\ \hline
\end{tabularx} 

\section{la fonction exponentielle}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{9cm}>{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}

On admet que parmi toutes les fonctions exponentielles de base $q$ il existe une seule fonction dont le nombre dérivé en 0 soit égal à 1. 


Autrement dit, il existe une seule valeur du réel $q$ telle que la tangente au point $A(0;1)$ de la courbe représentative de la fonction $x \longmapsto q^x$ a pour coefficient directeur 1.
 

Cette valeur particulière du réel $q$ est notée $\e$.

Le nombre $\e$ est un irrationnel une valeur approchée est : $\e \approx 2,71828$.
&
\begin{pspicture}(-3.5,-1)(4,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{EXP(x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-1)(4,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.5}{1.6}{\f}
\uput[dr](1.7,5){\footnotesize{\bleu{$y=\e^x$}}}
\psset{linecolor=prune} 
\psline[linewidth=.5pt]{<->}(-2,-1)(2,3)
\uput[dr](2,3){\footnotesize{\prune{$y=x+1$}}}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed](1,0)(1,2.71828)(0,2.71828)
\uput[l](0,2.71828){\footnotesize{\prune{$\e$}}}
\psdot[dotstyle=*,dotscale=.8, linecolor=bleu](0,1)
\uput[dr](0,1){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

\subsection{définition}

\cadreR{%
La fonction $x \longmapsto \e^x$ s'appelle la fonction exponentielle de base $\e$ ou plus simplement exponentielle. 

On la note exp \[\mathrm{exp} \colon x \longmapsto \e^x\]
}

\subsubsection{conséquences}

\begin{itemize}
	\item La fonction exponentielle est définie pour tout réel $x$ par $\mathrm{exp}(x)=\e^x$
	\item $\mathrm{exp}(0)=\e^0 =1$,\hfill $\mathrm{exp}(1)=\e^1 = \e$,\hfill $\mathrm{exp}(-1)=\e^{-1} =\dfrac{1}{\e}$ ,\hfill $\mathrm{exp}(0,5)=\e^{0,5} = \sqrt{\e}$
	\item La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ : pour tout nombre réel $x$, $\e^x >0$
	\item La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et son nombre dérivé en 0 est 1 :  $\mathrm{exp}'(0)=1$
	\item Pour tous réels $x$ et $y$, et pour tout entier relatif $m$
	
	$\e^{x+y} = \e^x \times \e^y$,\hfill  $\e^{-x}= \dfrac{1}{\e^x}$,\hfill $\e^{x-y}= \dfrac{\e^x}{\e^y}$,\hfill $\left({\e^x}\right)^m=\e^{mx}$
\end{itemize}

\subsection{dérivée de la fonction exponentielle}

\cadreR{%
La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle. Pour tout nombre réel $x$, \[\mathrm{exp}'(x)=\e^x\]
}
 
 \dem
 	
	Pour tout réel $x$ et pour tout réel $h \ne 0$,  \[\frac{\mathrm{exp}(x+h)-\mathrm{exp}(x)}{h}=\frac{\e^{x+h}-\e^x}{h}=\frac{\e^x\times\e^h-\e^x}{h}=\e^x\times\frac{\e^h-1}{h}\]
	Or $\mathrm{exp}'(0)=1$ signifie que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\e^{0+h}-\e^{0}}{h} = 1$ soit $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\e^h-1}{h} = 1$. 	
	
	
	Donc pour tout réel $x$, $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{exp}(x+h)-\mathrm{exp}(x)}{h} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \e^x\times\frac{\e^h-1}{h} = \e^x$
	
	
	\subsection{variation}
		
	\cadreR{%		
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$
	}	
 
\dem
	 	
La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et est égale à sa dérivée.

Or pour tout réel $x$, 	$\e^x>0$. On en déduit que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
	
 	
		\subsubsection{conséquences}
		
		 \cadreB{		 
\begin{itemize}
\item Pour tout réel $x \leqslant 0$, $0 < \e^{x}\leqslant 1$
\item Pour tout réel $x \geqslant 0$, $\e^{x}\geqslant 1$
	\item 	Pour tous réels $x$ et $y$, $\e^{x} = \e^{y} \iff x = y $ et $\e^{x} < \e^{y} \iff x < y$	
\end{itemize}
}
		
\medskip
 
 \textsf {\textsc{\small{exemples}}}
 
 	 \medskip	
 	 
\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $\e^{1-3x} < \e^{2x-3}$ \[\e^{1-3x} < \e^{2x+3}\iff 1-3x < 2x+3 \iff -5x < 2 \iff x > -\frac{2}{5}\]
	D'où l'ensemble solution $S= \left] -\dfrac{2}{5}; +\infty\right[$
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $\e^{x^2-1} \geqslant 1$ \[\e^{x^2-1} \geqslant 1 \iff \e^{x^2-1} \geqslant \e^0  \iff x^2-1 \geqslant 0\]
	D'où l'ensemble solution $S= \left] -\infty ; -1\right] \cup \left[ 1 ; +\infty \right[$
\end{enumerate}

\subsection{courbe représentative}

\subsubsection{convexité}

\cadreR{%		
La fonction exponentielle est convexe sur $\R$
	}	

\dem
	 	
La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et est égale à sa dérivée. 

Par conséquent, la dérivée seconde est $\mathrm{exp}''(x)=\e^x$ donc $\mathrm{exp}''(x)>0$.

\subsubsection{limites}

 \cadreR{%		
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^x = + \infty$  
	}
	
	\medskip
	
$\e >1$ alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \e^n = + \infty$. Par prolongement, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^x = + \infty$.
 
 $\e^{-n} =\dfrac{1}{\e^n}= {\left( \dfrac{1}{\e} \right)}^n$ d'où $\displaystyle\lim_{n \to - \infty} \e^n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} {\left( \dfrac{1}{\e} \right)}^n = 0$. Par prolongement, $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x = 0$.
 
\subsubsection{propriétés}

\begin{enumerate}
	\item Équation de la tangente au point d'abscisse 0 : $y= x + 1$
		\item Équation de la tangente au point d'abscisse 1 : $y= \mathrm{exp}'(1)\times (x-1) + \mathrm{exp}(1)$ Soit $y= \e x$
				\item La courbe représentative de la fonction exponentielle est située au dessus de la droite $\mathrm{\Delta}$ d'équation $y=x$.
								
				(\emph{ cf. exercice  \no  \ref{compare-exp-et-x}})					
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-3.5,-1.5)(5,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vert}{0.08 .22 0.1}
\def\f{EXP(x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-1.5)(5,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.5}{2.079}{\f}
\uput[dr](2.2,8){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_{ \mathrm{exp}}$}}}
\psset{linecolor=prune} 
\psline[linewidth=.5pt](-1.5,-.5)(1.5,2.5)
\uput[r](1.5,2.5){\footnotesize{\prune{$y=x+1$}}}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed](1,0)(1,2.71828)(0,2.71828)
\uput[l](0,2.71828){\footnotesize{\prune{$\e$}}}
\psline[linewidth=.5pt](-.25,-.6796)(2.25,6.116)
\uput[r](2.25,6.116){\footnotesize{\prune{$y=\e x$}}}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=vert]{-}(-1.5,-1.5)(4.5,4.5)
\uput[r](4.5,4.5){\footnotesize{\vert{$\mathrm{\Delta}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
																						
\section{exponentielle d'une fonction : $\exp (u)$}

On considère une fonction $u$ définie sur un intervalle $I$. 

La composée de la fonction $u$ suivie de la fonction exponentielle est la fonction $f$ notée  $f=\e^u$.

\medskip
 
 \textsf {\textsc{\small{exemples}}}
 
\medskip

\begin{itemize}
\item La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)= \e^{0,5x-3}$ est la composée de la fonction affine $u$ définie sur $\R$ par $u(x) =0,5x-3$ suivie de la fonction exponentielle, $f=\e^u$.
\item La fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)= 0,5\e^{x}- 3 $ est la composée la fonction exponentielle suivie de la fonction affine $u$ définie sur $\R$ par $u(x) =0,5x-3$ 
\end{itemize}


\subsection{dérivée}


\cadreR{%
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $\e^ u$ est dérivable sur $I$ et \[\left( \e^u \right) ' =\e^u \times u'\]
}

\medskip
 
 \textsf {\textsc{\small{exemples}}}
 
\medskip	
 	 
\begin{enumerate}
	\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)= \e^{-x}$.
	
	Pour tout réel $x$, on pose $u(x)=-x$. $u$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x)=-1$.
	
	Donc $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x) =  -\e^{-x}$.
		\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)= \e^{0,5x^2-2x+1}$.
	
	Pour tout réel $x$, posons $u(x)=0,5x^2-2x+1$. $u$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x)=x-2$.
	
	Donc $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x) =  (x-2) \e^{0,5x^2-2x+1}$.
\end{enumerate}

\subsection{variation}

\cadreR{%
Les fonctions $u$ et $\e^u$ ont les mêmes variations sur tout intervalle $I$ où $u$ est définie.
}

\dem
 
 Soient $a<b$ deux réels de l'intervalle $I$

\begin{itemize}
	\item Si $u$ est décroissante sur $I$ alors $u(b) < u(a)$
	
	Or la fonction exponentielle est strictement croissante donc si  $u(b) < u(a)$ alors $\e^{u(b)} < \e^{u(a)}$
	
	Par conséquent, si $u$ est décroissante sur $I$ alors la fonction $\e^u$ est décroissante sur $I$.
	\item Si $u$ est croissante sur $I$ alors $u(a) < u(b)$
	
	De la stricte croissance de  la fonction exponentielle on en déduit que si  $u(a) < u(b)$ alors $\e^{u(a)} < \e^{u(b)}$
	
	Donc si $u$ est croissante sur $I$ alors la fonction $\e^u$ est croissante sur $I$.
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

Si $u$ est dérivable sur $I$, alors la fonction $f=\e^u$ est dérivable sur $I$ et pour tout réel $x \in I$, $f'(x) =  u'(x) \e^{u(x)}$.

Or pour tout réel $x \in I$, $\e^{u(x)} > 0$ donc $f'(x)$ est du même signe que $u'(x)$.

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}

\exo 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer

$A= 8^{\frac{1}{3}}$ ; \hfill $B= 4 ^{\frac{3}{4}}$ ; \hfill $C= 27^{\frac{4}{3}}$ ; \hfill $D= \dfrac{0,25^{0,7} \times 0,25^{1,2}}{0,25^{1,4}}$ ; \hfill $E= \dfrac{\left( 0,2^{\frac{2}{3}}\right)^6 \times 0,2^{-1,6}}{0,2^{3,4}}$.

\item Simplifier les expressions suivantes :

$F(x)= \left( 1+4^x\right)^2-\left( 1-4^x\right)^2$ ;\hfill $G(x)= \dfrac{2^{2x-3}\times 0,5^{x+2}}{2^{-3x-1}}$  ; \hfill $H(x)= \dfrac{\left(5^{x+1}- 0,2^{-x}\right)^2}{2^{4}}$ ; \hfill $I(x)=\dfrac{4^{x+0,5}+\left(2^x\right)^2}{6^{1-x}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=4^x-0,25^x$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f(-0,5)$, $f(0,5)$, $f(-1)$, $f(1)$, $f(-2)$ et $f(2)$.
	
	Quelle conjecture peut-on faire ?
	\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(-x)= -f(x)$
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

On a tracé ci-dessous, les courbes représentatives de trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(8,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{(5*.4^x+1)/6}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-6,-1)(8,12)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-0.5)(4,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.123}{4}{\f}
\uput[dl](-2.1,6){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-7,-1)(6,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{2^x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-1)(6,12)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-0.5)(3,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.5}{2.585}{\f}
\uput[dr](1.7,6){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-7,-1)(6,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{(9*3^x+5)/16}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-1)(6,12)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-0.5)(3,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.5}{2.105}{\f}
\uput[dl](2.9,6){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_h$}}}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Une seule de ces trois fonctions est une fonction exponentielle de base $q$. Laquelle est-ce ?
	\item Quelle est la valeur du réel $q$ ? 
\end{enumerate}

 \bigskip 
\exo

 \medskip 

 
\begin{enumerate}
\item En raison de l'évaporation, un bassin contenant  $95~\mathrm{m}^3$ d'eau perd chaque semaine 3~\% de son volume d'eau. 

Modéliser l'évolution du volume d'eau contenue dans le bassin à l'aide d'une fonction $f$ de la forme \[f(x)=k\times q^x\]

Préciser les valeurs de $k$ et de $q$, et donner le sens de variation de la fonction $f$. 
\item En trois mois, le cours d'une action a augmenté de 12\%.

Calculer le taux d'évolution mensuel moyen du cours de cette action pendant les trois mois. (Donner le résultat arrondi à 0,01 \% près)
\item Le 4 janvier 2010, le cours du lingotin  d'or de 500 g était de  \np{12400} \euro, contre \np{20150} \euro{}  le 4 août 2016. 

Calculer le pourcentage annuel moyen d'évolution du cours du lingotin d'or entre ces deux dates.

\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 
 
Simplifier les écritures suivantes :

$A={\left( \e^x\right)}^2-\dfrac{1}{\e^{-2x}}$ ; \hfill $B={\left(\e^x+\e^{-x}\right)}^2-{\left(\e^x-\e^{-x}\right)}^2$ ; \hfill $C=\e^{-x}\left(\e^{2x}-\dfrac{1}{\e^x} \right)$ ; \hfill
$D=\dfrac{\e^{2x+1}}{\e^{1-x}}$ ; \hfill $E=\dfrac{{\left(\e^{x+2}\right)}^2}{\e^{2x-1}}$.  

 \bigskip 
 
 \exo

 \medskip 

Résoudre dans $\R$  les équations et inéquations suivantes :

\medskip

		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}
1. \: $\e^{x^2+x-1}=1$ & 2. \: $\dfrac{\e^{3x+5}}{\e^{3-2x}}=\e^{2x^2-1}$  &	3. \: $2\e^{2x}-\e^x-1=0$\\ 
4. \:  $\e^{\frac{1}{x}} \geqslant \e$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 5. \: $\e^{2x} \leqslant \e^x$  &	6. \: $\e^{2x} \e^{x^2} < 1$\\
\end{tabularx}

\bigskip
  
 
  \exo \label{compare-exp-et-x}
 \medskip 

Soit $f$ la fonction  définie sur $\R$  par $f(x)=\e^x-x$.
	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer $f'(x)$.
	\item Étudier les variations de $f$, en déduire que $f$  admet un minimum.
	\item Justifier que pour tout réel $x$ on a : $\e^x>x$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo

 \medskip 

 Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction $f$
 
 \begin{enumerate}
 \item $f$ est définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\e^x+1}{x}$
  \item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=(2x-1)\e^{x}$
 \item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{x}-\dfrac{1}{\e^{x}}$
 \end{enumerate} 	

 \bigskip 
 
  \exo

 \medskip 

  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{4}{1+\e^x}-2$.
  
  On a tracé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ et les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ d'équations respectives $y=-2$ et $y=2$
  
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-11,-5)(12,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{4/(EXP(x)+1)-2}
\def\g{5/(3*x+5)}
\def\h{(x+3)/(3-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-9,-5)(10,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4.5,-2.5)(5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4.5}{5}{\f}
\uput[ul](5,-2){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\psline(-4.5,2)(5,2)
\uput[ul](5,2){\footnotesize{\prune{$\mathcal{D}_2$}}}
\psline(-4.5,-2)(5,-2)
\uput[dr](-4.5,-2){\footnotesize{\prune{$\mathcal{D}_1$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$.
	\item Étudier les variations de la fonction $f$.
	\item Étudier la convexité de la fonction $f$.
	\item La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle un point d'inflexion ?
\end{enumerate}
  
\bigskip

\exo

 \medskip 


On a tracé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

La droite $d$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $\left(-\dfrac{1}{2}\right)$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-18,-8)(10,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(3-2*x)*EXP(x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-18,-8)(10,10)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4.5,-4)(2.5,5)
\uput[dl](2.5,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-4.5}{1.823}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2,.606531)(1,4.24571)
\psdot[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-.5,2.42612)
\uput[ul](-.5,2.5){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\uput[ul](1,4.3){\prune{$d$}}
\uput[ur](-4.5,.2){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Parmi les trois courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la dérivée de la fonction $f$ : laquelle ? Justifier la réponse. 
\begin{center}
\psset{unit=.3cm} 
\begin{pspicture}(-10,-6)(4,4)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(1-x)*EXP(2*x/3)}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-6)(4,4)
\psset{unit=.6cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-3)(2,2)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](2,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,2){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-5}{1.86517}{\f}
\uput[ur](-5,.25){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_1$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.3cm} 
\begin{pspicture}(-10,-6)(4,4)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(1-2*x)*EXP(x)}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-6)(4,4)
\psset{unit=.6cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-3)(2,2)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](2,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,2){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-5}{1.03359}{\f}
\uput[ur](-5,.2){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_2$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.3cm} 
\begin{pspicture}(-10,-6)(4,4)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(1-2*x)*EXP(2*x/3)}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-6)(4,4)
\psset{unit=.6cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-3)(2,2)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](2,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,2){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-5}{1.182}{\f}
\uput[ur](-5,.4){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_3$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\item La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$, par $f(x) =(3-2x)\e^{x}$.

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(x)$.
	\item Étudier les variations de la fonction $f$.	
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}
 

 \bigskip 
 
 \exo

 \medskip 

 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f (x) = \left(x^2-\dfrac{5}{2}x+1\right) \e^x$.  
 Sa courbe représentative notée $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.
 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-13,-5)(8,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x^2-2.5*x+1)*EXP(x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-13,-5)(8,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6.5,-2.5)(4,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.5}{2.243}{\f}
%\psline(-1,2.5)(1,-.5)
\uput[dr](2.4,4){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
	\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$.
	\item Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
	\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
 \item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
 
 Tracer la droite $T$ sur le graphique précédent.
	\item Montrer que l'équation $f(x)=40$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[2;3]$.
	
	À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

 \medskip 


 Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^x+\dfrac{1}{\e^{x}}$.
 
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
	
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$.
	\item Donner le tableau de variations de $f$.
\item En déduire que pour tout réel $x$, $\e^x+\e^{-x}\geqslant 2$.
\end{enumerate}
	\item On note $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$.
	
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$, $f''(x)=f(x)$.
	\item Étudier la convexité de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
  
   \exo
   
  \medskip 
  
  Calculer les dérivées des fonctions suivantes :  
\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)= \e^{x^2} -\left( \e^x\right)^2$
	\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)= \dfrac{\e^{x^2}}{\e^{1-x}}$
	\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{-x^2}\times \e^{x^2-2x+1}$
	\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\left( \dfrac{x}{2}-1\right)\e^{-0,5x}$
\end{enumerate}

 \bigskip
 
 \exo

 \medskip 


Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$  par $f(x) =\dfrac{3-2x}{\e^{x}}$. 

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$. 

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre réel $x$,  on a : $f'(x) = (2x-5)\times\e^{-x}$.
	\item Étudier les variations de la fonction $f$.	
\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=5$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[-1; 0]$. 

Donner la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse 0.
\item \begin{enumerate}
 \item Étudier la convexité de la fonction $f$.
 \item La courbe représentative de la fonction $f$  a-t-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


 \bigskip 
 
\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Nouvelle Calédonie 2010})

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Dans cette question aucune justification n'est demandée, tous les tracés demandés seront effectués sur le repère orthonormal fourni en annexe qui sera rendu avec la copie.
 
On souhaite tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ satisfaisant les conditions suivantes :

\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~6]$. 
\item Le maximum de la fonction $f$ est 5, il est atteint pour $x = 0$.
\item Le minimum de la fonction $f$ est 1. 
\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~6]$. 

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et on sait que $f'(0) = - 3$, $f(6) = 3$ et $f'(6) = 2$. 
\item  Le signe de la fonction dérivée $f'$ de $f$ est donné par le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(12,1.8) 
\psframe(12,1.8) \psline(0,1)(12,1)\psline(3,0)(3,1.8)
\rput(1.5,1.4){$x$} \rput(3.5,1.4){$0$} \rput(7.5,1.4){$4$} \rput(11.5,1.4){$6$} 
\rput(1.5,0.5){signe de $f'(x)$}	
\rput(5.5,0.5){$-$}  \pnode(7.5,0){m1}\pnode(7.5,1){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0} \rput(9.5,0.5){$+$} 	
\end{pspicture}
\end{center}
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$. On fera figurer dans le tableau les images par $f$ de 0, de 4 et de 6. 
		\item Donner l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 6. 
		\item Tracer dans le repère fourni en annexe la courbe représentative d'une fonction satisfaisant toutes les conditions ci-dessus.
		 
On placera les points d'abscisses 0, 4, 6 et on tracera les tangentes à la courbe en ces points.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}	
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(8,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(8,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.8,0){$x$} \uput[l](0,6.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
 
\item Dans cette question toute réponse doit être justifiée.
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~6]$ par $g(x) = \e^{f(x)}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~6]$.
		 
Donner le tableau de variation de la fonction $g$. On précisera les valeurs de $g(0)$, $g(4)$ et $g(6)$. 
		\item Déterminer $g'(0)$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

   \bigskip 
 
\exo

 \medskip 


 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip
 
Une entreprise fabrique un nouvel article. Le coût moyen de fabrication de chaque article est de 15 euros. L'entreprise envisage de vendre chaque article entre 20 euros et 45 euros.
 
Avant la commercialisation l'entreprise effectue une étude de marché afin de déterminer la quantité demandée en fonction du prix de vente. 

L'étude a permis d'établir que, si chaque article est vendu au prix de $x$  euros, la quantité d'articles demandés $f(x)$, en milliers d'unités, s'exprime par : \[f(x)=(20x-200)\e^{-0,1x}.\]
 
La fonction de demande $f$ est définie sur l'intervalle $[20 ;45]$. La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.
\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-1,-1)(28,30)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(20*x+200)*EXP(-2-x/10)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(28,30)
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=5,Dy=2,Ox=20]{->}(0,0)(28,30)
\uput[dl](28,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,30){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{25}{\f}
\uput[r](25,8){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Si l'entreprise propose un prix de vente de 40 euros : 
\begin{enumerate}
\item calculer le nombre d'articles demandés arrondi à la centaine d'articles près.
\item Estimer alors le bénéfice réalisé. %\emph{On rappelle que le coût moyen de fabrication d'un article est de $15$ euros.}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.

Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[20 ;45]$,  $f'(x)=(40-2x)\e^{-0,1x}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[20 ;45]$.
\end{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 11$ possède une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[20 ; 45]$.
		\item En déduire l'intervalle dans lequel doit se situer le prix de vente d'un article pour que la quantité demandée soit supérieure ou égale à \np{11000} unités. 
	\end{enumerate}
	\item Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{.6\linewidth}{|c|X|}\hline
1	&	\emph{\textsf{Dériver}} \: $[(40-2x)\cdot\mathrm{exp}(-0.1x)]$ \\ \hline
	& \multicolumn{1}{r|}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\left(\dfrac{x}{5}-6\right)\cdot\mathrm{exp}(-0.1x)$} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Utiliser ce résultat pour déterminer, en justifiant, l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip
 
On appelle fonction d'offre la fonction $g$, définie sur l'intervalle $[20 ; 45]$, par : $g(x) = x-18$.

Le nombre $g(x)$ est le nombre de milliers d'articles que l'entreprise est prête à produire pour un prix de vente unitaire de $x$ euros.
\begin{enumerate} 
\item  Tracer sur le graphique précédent la représentation graphique de la fonction $g$. 
\item On appelle prix d'équilibre le prix unitaire $x$ d'un article pour lequel l'offre est égale à la demande.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement le prix d'équilibre. 
		\item En déduire une valeur approchée au millier près, du nombre d'articles que l'entreprise peut espérer vendre au prix d'équilibre. 
		\item Estimer alors le bénéfice réalisé.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

 \bigskip
    
   \exo
   
  \medskip 
 
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0;+\infty\right[$ par $f(x) =x-\e^{-0,5x^2}$
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.  Calculer $f'(x)$.	
\item Étudier les variations de la fonction $f$.	
	\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$.
	\item On considère l'algorithme suivant : 
\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt]{
\begin{minipage}{5cm}
$a\leftarrow 0$

$b\leftarrow 1$ 

Tant que $b-a > 10^{-3}$ 
	\begin{itemize}
	\item[]  $m\leftarrow\dfrac{a+b}{2}$
	\item[]Si $f(a)\times f(m)<0$ alors
	 
	 \hspace{1em} $b\leftarrow m$	 
\item []Sinon
	
 \hspace{1em} $a\leftarrow m$
	\item[]Fin si
	\end{itemize}
Fin Tant que	

\end{minipage}
}
\end{center}

À la fin de l'exécution de l'algorithme les valeurs des variables $a$ et $b$ sont $a\approx 0,7529$ et $b\approx 0,7539$. Que signifie ce résultat ?
	\end{enumerate}
	\item Étudier la convexité de la fonction $f$.
	\item Déterminer les coordonnées des points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane septembre 2017})

 \medskip 


\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[1 ; 25]$ par $f(x) = 10 - \dfrac{ \e^{0,2x+1}}{x}$.

Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l'on pourra utiliser :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l >{\raggedleft \arraybackslash}X|}\hline
$f(x) : 10 -  \e~\hat~ (0.2x+1)/x$&\\ \hline
& \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $x \to 10 - \dfrac{\text{exp}(0.2x + 1)}{x}$\\ \hline
factoriser(deriver($f(x)$)&\\ \hline
 &  \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{\text{exp}(0.2x + 1) * (1 - 0.2x)}{x^2}$\\ \hline
factoriser (deriver(deriver($f(x)$)))&\\ \hline
&  \rule[-2ex]{0pt}{6ex}$\dfrac{\text{exp}(0.2x + 1) * (- x^2 + 10x - 50)}{25x^3}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Retrouver par le calcul l'expression factorisée de $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
\item Étudier le signe de $f'$ sur l'intervalle $[1 ; 25]$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[1 ; 25]$. On arrondira les valeurs au millième.
\item  On s'intéresse à l'équation $f(x) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle $[1 ; 5]$.
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[5 ; 25]$.
		\item Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la solution $\alpha$.
\item  En utilisant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, justifier que la fonction $f$ est concave sur l'intervalle $[1 ; 25]$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s'intéresse au bénéfice réalisé, en millier d'euros, correspondant à la production d'une quantité de $x$ dizaines de tonnes d'aliments.
 
On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction $f$ étudiée dans la partie A ci-dessus.
 
La production minimale est de 10 tonnes, ainsi $x \geqslant 1$.
 
\emph{Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ? 

Pour quelle quantité d'aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?
\item Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d'aliments qu'il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice.
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Polynésie 2017})

 \medskip 


Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[ 0 ; 5]$ par $f(x)=(ax-2)\mathrm{e}^{-x}$, où $a$ est un nombre réel.

On admet dans tout l'exercice que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $[ 0 ; 5]$.

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous dans un repère d'origine O. 

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(6,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(8*x-2)*EXP(-x)}
\def\g{10*x-2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(6,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-3)(6,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](6,0){$x$}\uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-.05}{.5}{\g}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f}
\psdot[linecolor=bleu](0,-2)
\uput[ur](0,-2){\bleu{$A$}}
\uput[dr](.5,3){\prune{$\mathcal{D}$}}\uput[u](2.5,1.5){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

Les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ passent toutes les deux par le point $A(0 ; -2)$.

La droite $\mathcal{D}$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$ et admet pour équation $y=10x-2$.

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item Donner, à l'aide des informations ci-dessus et sans justifier les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[ 0 ; 5]$ on a :\[f'(x)=(-ax+a+2)\mathrm{e}^{-x}\]
\item Déduire des questions précédentes que $a=8$.
\item Donner l'expression de $f'(x)$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Préciser le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[ 0 ; 5]$. On pourra faire un tableau.
\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
\item Résoudre sur l'intervalle $[ 0 ; 5]$ l'équation $f(x)=0$.
\end{enumerate}
\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline
\multirow{2}*{1} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} $g(x) := \left(- 8*x + 10\right) * \mathrm{exp} (- x)$\\
	&$\to g(x) := \left(- 8x +10\right)\mathrm{e}^{- x}$\\ \hline
\multirow{2}*{2} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} Dériver $\left[g(x) , x\right]$\\
	&$\to ( 8 * x -18) * \mathrm{exp} (- x)$\\ \hline
\multirow{2}*{3} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} Résoudre $\left[( 8 * x -18) * \mathrm{exp} (- x) >0 , x\right]$\\
	&$\to x > 9/4$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En utilisant ces résultats :

\begin{enumerate}
\item Donner l'expression de $f''$, fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion dont on donnera la valeur exacte de l'abscisse.
\end{enumerate}
\item Une entreprise fabrique des grille-pains. Après avoir fait une étude, son directeur constate que si l'entreprise fabrique chaque jour $x$ milliers de grille-pains (où $x$ est un nombre réel de l'intervalle $[ 0 ; 5]$), alors le bénéfice quotidien est donné, en centaine de milliers d'euros, par la fonction $f$ définie par : \[f(x)=(8x-2)\mathrm{e}^{-x}\]
\begin{enumerate}
\item Quelle quantité de grille-pains l'entreprise doit-elle fabriquer afin de réaliser un bénéfice maximal ?
\item Quel est alors la valeur de ce bénéfice maximal ?

On donnera une valeur approchée du résultat à l'euro près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Pondichéry 2016})

 \medskip 


\begin{center}
\emph{La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.}
\end{center}

\medskip

L'entreprise \emph{BBE (Bio Bois Énergie)} fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.

L'entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.

\begin{itemize}
\item Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[1 ; 15]$ par : \[C(x) = 0,3x^2 - x + \e^{- x + 5}\] où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $C(x)$ le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d'euros.
\item Dans l'entreprise \emph{BBE} le prix de vente d'une tonne de granulés de bois est de 300~euros.

La recette quotidienne de l'entreprise est donc donnée par la fonction $R$ définie sur l'intervalle $[1 ; 15]$ par :\[R(x) = 3x\] où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $R(x)$ la recette quotidienne correspondante en centaines d'euros.
\item On définit par $D(x)$ le résultat net quotidien de l'entreprise en centaines d'euros, c'est-à-dire la différence entre la recette $R(x)$ et le coût $C(x)$, où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes.
\end{itemize}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a :}} Étude graphique}

\medskip

Sur le graphique situé en annexe, on donne $\mathcal{C}$ et $\Delta$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans un repère d'origine O.

\medskip

\textbf{Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l'entreprise est minimal.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs  $C(6)$ et $R(6)$ puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l'entreprise pour 6~tonnes de granulés fabriqués et vendus.
		\item Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l'entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c'est-à-dire un bénéfice.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b :}} Étude d'une fonction}

\medskip


On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[1 ; 15]$ par :\[g(x) = - 0,6x + 4 + \e^{- x + 5}\]
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[1 ; 15]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 15]$.
		\item En déduire que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $[1 ; 15]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[1 ; 15]$, en précisant les valeurs  $g(1)$ et  $g(15)$ arrondies à l'unité.
		\item Le tableau de variation permet d'affirmer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1 ; 15]$.
		
Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,1$ près.
		\item Déduire des questions précédentes le tableau de signe de $g(x)$ sur l'intervalle $[1 ; 15]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c :}} Application économique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 15]$, on a :\[D (x) = - 0,3x^2 + 4x - \e^{- x + 5}\]

\item On admet que la fonction $D$ est dérivable sur l'intervalle $[1 ; 15]$ et on note $D'$ sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 15]$, on a $D'(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie B.
\item En déduire les variations de la fonction $D$ sur l'intervalle $[1 ; 15]$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle quantité de granulés l'entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ?
		
On donnera une valeur approchée du résultat à $0,1$ tonne près.
		\item Calculer alors le bénéfice maximal à l'euro près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.4,-.8)(16,27)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.3*x^2-x+EXP(5-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(16,27)
\psset{xunit=1cm,yunit=.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-.4,-1.6)(16,54)
\uput[dl](16,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,54){\footnotesize{$y$}}\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{1}{15}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](1,3)(15,45)
\uput[ur](1,50){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\uput[dr](1,3){\prune{$\Delta$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \end{document}
