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\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\DecimalMathComma

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% en-tête

\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\12 mars 2018}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{intégration}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES-L}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
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\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
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                                  {\reset@font\bfseries\red\sffamily\scshape}} 
                                 
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\setcounter{secnumdepth}{2}

\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \refstepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
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\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

   
\hypersetup{
pdftitle={calcul intégral.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Intégrale d'une fonction continue.}, 
pdfkeywords={Intégrale d'une fonction continue, primitives, valeur moyenne, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/terminale_cours/index_terminale_cours.php}
}

\begin{document}

\act

\medskip

Dans chacun des cas suivants, calculer l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=4$.

\begin{enumerate}
\item $f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)= \dfrac{5}{2}$.
\item $f$ est la fonction affine  définie pour tout réel $x$ par $f(x)= -0,4x+3,6$.
\end{enumerate}

\bigskip

\act

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{4}{x^2-2x+5}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal

 \medskip 
 
\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

 \medskip 
 
 \begin{enumerate}
 \item \'Etudier le signe de $f(x)$.
 \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
 \item Donner le tableau des variations de la fonction $f$
  \end{enumerate}
  
   \medskip 
 
\textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

 \medskip 
 
 On cherche à déterminer un encadrement de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=3$.
 
 \begin{enumerate}
 \item À l'aide du quadrillage, déterminer un encadrement de l'aire $\mathcal{A}$.
 \begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.25)(4,2.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\newrgbcolor{grisb2}{.48 .215 .54}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\f{4/(x^2-2*x+5)}
%\def\g{8/(x^2-2*x+5)}
%\psStep[algebraic=true,StepType=upper,fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair,linewidth=0.25pt, linecolor=prune](-1,3){16}{\g}
%\psStep[algebraic=true,StepType=lower,fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](-1,3){16}{\g}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,1.25)(-.75,1.25)(-.75,1.5)(-.25,1.5)(-.25,1.75)(0,1.75)(0,2)(2,2)(2,1.75)(2.25,1.75)(2.25,1.5)(2.75,1.5)(2.75,1.25)(3,1.25)(3,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.75pt, linecolor=grisb2](-1,0)(-1,1)(-.5,1)(-.5,1.25)(-.25,1.25)(0,1.25)(0,1.5)(.25,1.5)(.25,1.75)(1.75,1.75)(1.75,1.5)(2,1.5)(2,1.25)(2.5,1.25)(2.5,1)(3,1)(3,0)
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(16,10)
\psset{xunit=2cm,yunit=4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.125)(4,1.25)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.25){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1, 0)(-1,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](3, 0)(3,.5)
 \uput[ul](4,.35){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item À l'aide des deux polygones, déterminer un encadrement de l'aire $\mathcal{A}$.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.1)(4,1.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\newrgbcolor{grisb2}{.48 .215 .54}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\f{4/(x^2-2*x+5)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.5)(.5,1)(1.5,1)(3,.5)(3,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.75pt, linecolor=grisb2](-1,0)(-1,.5)(1,1)(3,.5)(3,0)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,comma=true]{->}(0,0)(-1.5,-.1)(4,1.2)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](-1, 0)(-1,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](3, 0)(3,.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](-1,.5)(3,.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](.5,0)(.5,1)\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](1.5,0)(1.5,1)
 \uput[l](4,.44){\bleu \footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}
\uput[l](0,.5){\scriptsize{$0,5$}} \uput[d](0.5,0){\scriptsize{$0,5$}}\uput[d](1.5,0){\scriptsize{$1,5$}}
\uput[ul](-1,0){\scriptsize{\prune $A$}}
\uput[ur](3,0){\scriptsize{\prune $B$}}
\uput[ur](3,.5){\scriptsize{\prune $L$}}
\uput[u](1,1){\scriptsize{\prune $M$}}
\uput[ul](-1,.5){\scriptsize{\prune $P$}}
\uput[ur](1.5,1){\scriptsize{\prune $R$}}
\uput[ul](.5,1){\scriptsize{\prune $S$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Encadrement par deux familles de rectangles.

On subdivise l'intervalle $[-1 ; 3]$ en 20 intervalles de même amplitude $\Delta x=0,2$.

Sur chacun des intervalles $[ x_k ; x_{k+1} ]$ avec   $0\leqslant k <20$, le rectangle inscrit sous la courbe a pour longueur le minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[ x_k ; x_{k+1} ]$ et le rectangle circonscrit a pour longueur le maximum de la fonction $f$ sur le même intervalle.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.2)(4,1.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\f{4/(x^2-2*x+5)}
\psStep[algebraic=true,StepType=supremum,fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair,linewidth=0.25pt, linecolor=prune](-1,3){20}{\f}
\psStep[algebraic=true,StepType=infimum,fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](-1,3){20}{\f}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.1)(4,1.2)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](-1, 0)(-1,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](3, 0)(3,.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](1.2,0)(1.2,-.16)\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](1.4,0)(1.4,-.16)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune]{<->}(1.2,-.15)(1.4,-.15)
 \uput[l](4,.44){\bleu \footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}
 \uput[d](1.3,-.15){\scriptsize{\prune $\Delta x=\frac{1}{5}$}}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de valeurs suivant : 

{\small{\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}*{11}{|>{\centering \arraybackslash}X}|}\hline
$x_k$ & $-1$ & $-0,8$ & $-0,6$ & $-0,4$ & $-0,2$ & 0 & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1  \\ \hline
$f\left( x_k\right)$ \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{100}{181}$ & $\dfrac{25}{41}$ & $\dfrac{100}{149}$ & $\dfrac{25}{34}$ & $\dfrac{4}{5}$ & $\dfrac{25}{29}$ &  &  &  & 1 \\ \hline \hline
$x_k$ & 1,2 & 1,4 & 1,6 & 1,8 & 2 & 2,2 & 2,4 & 2,6 & 2,8 & 3 & \psCancel{\phantom{3,2}} \\ \hline
$f\left( x_k\right)$ \rule[-2ex]{0pt}{6ex} &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \psCancel{\phantom{3,2}} \\ \hline
\end{tabularx}}}

\item Calculer l'aire  $\mathcal{A}_I$, somme des aires des rectangles inscrits et  l'aire  $\mathcal{A}_E$, somme des aires des rectangles circonscrits.
\item En déduire un encadrement de l'aire  $\mathcal{A}$.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\act

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij d'unité graphique $1\,\mathrm{cm}$, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a <b$.

Dans chaque cas, on considère une fonction $f$ définie et positive sur l'intervalle $[a;b]$.

$\mathcal{C}_f$ désigne la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij et $\mathcal{D}_f$ le domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

\medskip

\textsf {\textsc{\small{fonction constante :}}}

\medskip

\begin{minipage}{11cm}%
Soit $c$ un réel positif. $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=c$.
\begin{enumerate}
	\item Exprimer en fonction de $a$ et de $b$ l'aire en $\text{cm}^2$ du domaine $\mathcal{D}_f$.
	\item On considère la fonction $F$ qui à tout réel $x$ de l'intervalle $[a;b]$, associe l'aire $\mathcal{A}_x$ du domaine  hachuré.
	\begin{enumerate}
	\item Donner une expression de $F$ en fonction de $x$.
	\item Calculer $F'(x)$ où $F'$ est la dérivée de la fonction $F$ sur $[a;b]$
	\item Calculer $F(b) - F(a)$. Que constate-t-on ?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{5.6cm} %
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psframe[linewidth=.25pt,linecolor=grisb,fillstyle=solid,fillcolor=grisb](2.4,0)(8.6,3.6)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(11,5)
\psset{unit=1cm}
\psframe[linewidth=.25pt,linecolor=grisb,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](1.2,0)(2.4,1.8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(5.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(.5,-.25){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1.2,0){\red{\footnotesize{$a$}}} \uput[d](4.3,0){\red{\footnotesize{$b$}}} 
\uput[d](2.4,0){\footnotesize{\prune{$x$}}} 
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.2,0)(1.2,1.8)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](2.4,0)(2.4,1.8)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](4.3,0)(4.3,1.8)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](-.5,1.8)(5.5,1.8)
\uput[u](5,1.8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
  \uput[ul](0,1.8){\bleu{\footnotesize{$c$}}}
    \uput[ur](2.6,.6){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{minipage}
 
\bigskip

\textsf {\textsc{\small{fonction affine :}}}

\medskip

\begin{minipage}{11cm}%
$f$ est une fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)=mx+p$ où $m$ et $p$ sont des réels fixés avec $m$ non nul. $f$ est supposée positive sur $[a;b]$.
\begin{enumerate}
	\item Exprimer en fonction de $a$ et de $b$ l'aire en $\mathrm{cm}^2$ du domaine $\mathcal{D}_f$.
	\item On considère la fonction $F$ qui à tout réel $x$ de l'intervalle $[a;b]$, associe l'aire $\mathcal{A}_x$ du domaine  hachuré.
	\begin{enumerate}
	\item Donner une expression de $F$ en fonction de $x$.
	\item Calculer $F'(x)$ où $F'$ est la dérivée de la fonction $F$ sur $[a;b]$
	\item Calculer $F(b) - F(a)$. Que constate-t-on ?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{5.6cm} %
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\pspolygon[linewidth=.25pt,linecolor=grisb,fillstyle=solid,fillcolor=grisb](2.4,0)(2.4,2.16)(8.6,4.64)(8.6,0)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(11,6)
\psset{unit=1cm}
\pspolygon[linewidth=.25pt,linecolor=grisb,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](1.2,0)(1.2,1.08)(2.4,1.56)(2.4,0)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(5.5,3)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(.5,-.25){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1.2,0){\red{\footnotesize{$a$}}} \uput[d](4.3,0){\red{\footnotesize{$b$}}} 
\uput[d](2.4,0){\footnotesize{\prune{$x$}}}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.2,0)(1.2,1.08)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](2.4,0)(2.4,1.56)(0,1.56)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](4.3,0)(4.3,2.32) 
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](-.5,.4)(5.5,2.8)
\uput[ul](5,2.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[ur](2.6,.6){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{minipage}


\section{intégrale et aire}

\subsection{unité d'aire}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{12cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Soit \Oij un repère orthogonal du plan. 

L'unité d'aire, notée u.a, est l'aire du rectangle unitaire OIJK avec $\mathrm{I}(0;1)$, $\mathrm{J}(0;1)$ et $\mathrm{K}(1;1)$.
&
\psset{xunit=1.5cm,yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(2.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{T2}{.82 .6 .75}
\newpsstyle{TCouleur}{linewidth=.5pt,fillstyle=vlines,hatchcolor=\pslinecolor,  hatchwidth=0.1\pslinewidth, hatchsep=1.5\pslinewidth}
\psframe[linecolor=T2,style=TCouleur](0,0)(1,1)
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(2.5,2.5)
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(-0.2,-0.35){\footnotesize{0}}
\uput[dl](2.5,0){$x$}
\uput[dl](0,2.5){$y$}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}}
\uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[dr](1,0){\footnotesize{I}}
\uput[ul](0,1){\footnotesize{J}}
\uput[ur](1,1){\footnotesize{K}}
\rput(.5,.5){\scriptsize{u.a.}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

\subsection{intégrale d'une fonction continue et positive}

\subsubsection{définition}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie, continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij .

L'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine  $\mathcal{D}_f$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$

Ce nombre est noté :  $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x$
}

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm, yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-1.8)(3.8,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(49-8*x*(x^3-2*x^2-3*x+4))/27}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1.2}{2.4}{\f} \gsave
\psline(2.4,0)(-1.2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=vlines,hatchwidth=.1\pslinewidth, hatchsep=2\pslinewidth,hatchcolor=mauve,fillcolor=grisb,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,0)(1,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-2.4,-1.8)(3.8,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.8,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\rput(.5,-.3){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}  \uput[r](1,1){\footnotesize{$K$}} 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.2,0)(-1.2,2.878)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.4,0)(2.4,2.451)
\uput[d](-1.2,0){\footnotesize{\prune $a$}}
\uput[d](2.4,0){\footnotesize{\prune $b$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{3}{\f}
 \uput[ur](3,-1.8){\bleu $\mathcal{C}_f$}
  \rput(.5,.5){\bleu {1 u.a}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf {\textsc{\small{remarques}}}

 \medskip
\begin{itemize}
 \item $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x$ se lit \og intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)\dd x$ \fg{} ou encore   \og somme de $a$ à $b$ de $f(x)\dd x$ \fg .
 \item Les réels $a$ et $b$ sont appelés les bornes de l'intégrale $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x$.
\item La variable $x$ est dite \og muette \fg{}, elle n'intervient pas dans le résultat. C'est à dire qu'on peut la remplacer par n'importe quelle autre variable distincte des lettres $a$ et $b$ :$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x =\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\dd t =\displaystyle\int_{a}^{b}f(u)\dd u$
\item $\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\dd x = 0$, car le domaine $\mathcal{D}_f$ est alors réduit à un segment.
 \end{itemize} 

\medskip

\small{\textsf {\textsc{exemples}} (\emph{traités en activité})} 


\begin{minipage}{11cm}%
\begin{enumerate}
\item 

Calculons $\displaystyle\int_{-1}^{4} \left(-0,4x+3,6\right)\dd x$.

La fonction affine $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)= -0,4x+3,6$ est continue et positive sur l'intervalle $[-1 ; 4]$

L'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{4} \left(-0,4x+3,6\right)\dd x$ est égale à l'aire du trapèze $ABCD$.
\begin{eqnarray*} \displaystyle\int_{-1}^{4} \left(-0,4x+3,6\right)\dd x  &=& \dfrac{\left( AD + BC\right)\times AB}{2}\\
 &=&\dfrac{\left( 4 + 2\right)\times 5}{2}\\
 &=&15 \\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{5.6cm} %
\begin{flushright}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(5,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\def\f{-2*x/5+18/5}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{4}{\f} \gsave
\psline(4,0)(-1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.99,-.99)(5,5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1, 0)(-1,4)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](4, 0)(4,2)
\uput[ul](-1,0){\footnotesize{\prune $A$}}
\uput[ur](4,0){\footnotesize{\prune $B$}}
\uput[ur](4,2){\footnotesize{\prune $C$}}
\uput[ul](-1,4){\footnotesize{\prune $D$}}
 \uput[u](1.5,3){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{4}{x^2-2x+5}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

$f$ est dérivable donc continue et strictement positive. Par conséquent, $\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}_f$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{\linewidth-6.5cm}% 

\item {\footnotesize{Le domaine $\mathcal{D}_f$ est encadré par des surfaces délimitées par des polygones dont on peut calculer l'aire à l'aide d'un découpage en figures simples du plan : triangle, carré, rectangle trapèze.


Soient $\mathcal{A}_I$ l'aire du polygone inscrit $ABLMP$ et $\mathcal{A}_E$ l'aire du polygone circonscrit $ABLRSP$.}}

\begin{itemize}
\item $\mathcal{A}_I$ est égal à la somme des aires du rectangle $ABLP$ et du triangle $LMP$ d'où $\mathcal{A}_I = 4\times 0,5+ \dfrac{4\times 0,5}{2}=3$
\item $\mathcal{A}_E$ est égal à la somme des aires du rectangle $ABLP$ et du trapèze $LRSP$ d'où $\mathcal{A}_E = 4\times 0,5+ \dfrac{\left(4+1\right)\times 0,5}{2}=3,25$

On en déduit que $3 \leqslant \displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x \leqslant 3,25$.
\end{itemize} 
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{6cm} %
\begin{flushright}
\psset{xunit=1cm,yunit=3.5cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.1)(4,1.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\f{4/(x^2-2*x+5)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.5)(.5,1)(1.5,1)(3,.5)(3,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.5)(1,1)(3,.5)(3,0)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,comma=true]{->}(0,0)(-1.5,-.1)(4,1.2)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](-1, 0)(-1,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](3, 0)(3,.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](-1,.5)(3,.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](.5,0)(.5,1)\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](1.5,0)(1.5,1)
 \uput[l](4,.44){\bleu \footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}
\uput[l](0,.5){\scriptsize{$0,5$}} \uput[d](0.5,0){\scriptsize{$0,5$}}\uput[d](1.5,0){\scriptsize{$1,5$}}
\uput[ul](-1,0){\scriptsize{\prune $A$}}
\uput[ur](3,0){\scriptsize{\prune $B$}}
\uput[ur](3,.5){\scriptsize{\prune $L$}}
\uput[u](1,1){\scriptsize{\prune $M$}}
\uput[ul](-1,.5){\scriptsize{\prune $P$}}
\uput[ur](1.5,1){\scriptsize{\prune $R$}}
\uput[ul](.5,1){\scriptsize{\prune $S$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\item \textsf{Encadrement par deux familles de rectangles}

On subdivise l'intervalle $[-1 ; 3]$ en $n$ intervalles de même amplitude pour obtenir un encadrement de l'intégrale  $\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x$ à partir de l'aire de deux familles de rectangles.

\begin{minipage}{\linewidth-6.5cm}%
Subdivision de l'intervalle $[-1 ; 3]$ avec un pas $\Delta x=\dfrac{1}{2}$.

{\footnotesize{Sur chacun des intervalles $[ x_k ; x_{k+1} ]$ avec   $0\leqslant k <8$, le rectangle inscrit sous la courbe a pour longueur le minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[ x_k ; x_{k+1} ]$ et le rectangle circonscrit a pour longueur le maximum de la fonction $f$ sur le même intervalle.

Compte tenu des variations de la fonction $f$ et des valeurs calculées ci-dessous,

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}*{9}{|>{\centering \arraybackslash}X}|}\hline
$x_k$ \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $-1$ & $-\dfrac{1}{2}$ & $0$ & $\dfrac{1}{2}$ & $1$ & $\dfrac{3}{2}$ & $2$ & $\dfrac{5}{2}$ & $3$ \\ \hline
$f\left( x_k\right)$ \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{16}{25}$ & $\dfrac{4}{5}$ & $\dfrac{16}{17}$ & $1$ & $\dfrac{16}{17}$ & $\dfrac{4}{5}$ & $\dfrac{16}{25}$ & $\dfrac{1}{2}$ \\ \hline
\end{tabularx}}}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{6cm} %
\begin{flushright}
\psset{xunit=1cm,yunit=3.5cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.25)(4,1.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\f{4/(x^2-2*x+5)}
\psStep[algebraic=true,StepType=supremum,fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair,linewidth=0.25pt, linecolor=prune](-1,3){8}{\f}
\psStep[algebraic=true,StepType=infimum,fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](-1,3){8}{\f}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.1)(4,1.2)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](-1, 0)(-1,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](3, 0)(3,.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](1,0)(1,-.17)\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](1.5,0)(1.5,-.17)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune]{<->}(1,-.16)(1.5,-.16)
 \uput[l](4,.44){\bleu \footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}
 \uput[d](1.25,-.15){\scriptsize{\prune $\Delta x=\frac{1}{2}$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

L'aire  $\mathcal{A}_I$, somme des aires des rectangles inscrits est :\[\mathcal{A}_I=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{16}{25}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{16}{17}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{16}{17}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{16}{25}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{2449}{850}\approx 2,88 \]
L'aire  $\mathcal{A}_E$, somme des aires des rectangles circonscrits est :\[\mathcal{A}_E=\dfrac{16}{25}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{16}{17}\times\dfrac{1}{2} +1 \times\dfrac{1}{2} +1 \times\dfrac{1}{2} +\dfrac{16}{17}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{16}{25}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1437}{425}\approx 3,38 \]

On en déduit que $\dfrac{2449}{850} \leqslant \displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x \leqslant \dfrac{1437}{425}$.


En choisissant  une subdivision de l'intervalle $[-1 ; 3]$ plus fine, on augmente la précision de l'encadrement.

Avec un pas $\Delta x=0,1$ on obtient $3,091 \leqslant \displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x \leqslant 3,192$.

Avec un pas $\Delta x=0,01$ on obtient $3,136 \leqslant \displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x \leqslant 3,147$.


\end{enumerate}
Remarque :
\begin{itemize}
\item À l'aide de la calculatrice, on trouve $\displaystyle\int_{-1}^{3} \left(\dfrac{4}{x^2-2x+5}\right) \dd x \approx 3,1415927$.
\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient  $\displaystyle\int_{-1}^{3} \left(\dfrac{4}{x^2-2x+5}\right) \dd x = \pi$.
\end{itemize}
\end{enumerate}




\subsection{intégrale d'une fonction continue et négative}

Si $f$ est une fonction continue et négative sur un intervalle $[a;b]$ alors, la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[a;b]$ par $g=-f$ est une fonction continue et positive sur cet intervalle.

Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, l'aire du domaine $\mathcal{D}_f$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est égale à l'aire du domaine $\mathcal{D}_g$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm, yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1.9,-3.5)(3.5,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(49-8*x*(x^3-2*x^2-3*x+4))/27}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{-1.2}{2.4}{\f} \gsave
\psline(2.4,0)(-1.2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair] \grestore }
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1.2}{2.4}{-\f} \gsave
\psline(2.4,0)(-1.2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=vlines,hatchwidth=.1\pslinewidth, hatchsep=2\pslinewidth,hatchcolor=mauve,fillcolor=grisb,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,0)(1,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.9,-3.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\rput(.5,-.3){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}  \uput[r](1,1){\footnotesize{$K$}} 
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](-1.2,-2.878)(-1.2,2.878)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](2.4,-2.451)(2.4,2.451)
\uput[dl](-1.2,0){\footnotesize{\prune $a$}}
\uput[dr](2.4,0){\footnotesize{\prune $b$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-1.5}{2.7}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{2.7}{-\f}
 \uput[ur](2.7,-1.7){\bleu $\mathcal{C}_f$}
 \uput[dr](2.7,1.7){\prune $\mathcal{C}_g$}
  \rput(.5,.5){\bleu {1 u.a}}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{définition}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie, continue et négative sur un intervalle $[a;b]$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij .

L'intégrale de la fonction $f$ entre $a$ et $b$ est égale à l'opposé de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine  $\mathcal{D}_f$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$:\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x=-\mathcal{A}\]
}

\subsection{lien entre intégrale et dérivée}

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$. On peut définir une nouvelle fonction $F$ qui à tout réel $x$ de l'intervalle $[a;b]$, associe l'intégrale de $f$ entre $a$ et $x$ : $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\dd t$

\subsubsection{théorème  \; \normalfont{(\emph{admis})}} 

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.

La fonction $F$ définie sur $[a;b]$ par $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\dd t$ est dérivable sur $[a;b]$ et a pour dérivée $f$.
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

 \medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{10.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-1 ; 4]$ par $f(x)= -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$. 

Si $x$ est un réel de l'intervalle $[-1 ; 4]$, la fonction $F$ définie par 

$F(x)=\displaystyle\int_{-1}^{x} f(t)\dd t$ est égale à l'aire du trapèze colorié.

On a donc $F(x)= \dfrac{(3+(-0,5x+2,5))\times (x+1)}{2}=-\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{5x}{2}+\dfrac{11}{4}$

La fonction $F$ est dérivable sur $[-1 ; 4]$ et $F'(x)=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{5}{2}=f(x)$.
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.5)(4.5,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\def\f{-.5*x+2.5}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{2.5}{\f} \gsave
\psline(2.5,0)(-1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.5)(4.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}

\uput[d](2.5,0){\prune{$x$}}

\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](-1, 0)(-1,3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](2.5, 0)(2.5,1.25)
 \uput[u](4,.5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

\section{primitives d'une fonction continue}

\subsection{définition}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ et telle que pour tout réel $x$ de $I$, $F'(x)=f(x)$.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)= 5-3x$

Les fonctions $F$ et $G$ définies sur $\R$ par $F(x)= -\dfrac{3}{2}x^2+5x$ et  $G(x)= -\dfrac{3}{2}x^2+5x-\sqrt{2}$ sont des primitives de $f$ sur $\R$.

De façon générale, toute fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x) = -\dfrac{3}{2}x^2+5x +c$ , où $c$ est un réel, est une primitive de $f$ sur $\R$.

\subsection{ensemble des primitives d'une fonction}

\subsubsection{propriété \; \normalfont{(\emph{admise})}} 

\cadreR{%
Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
}

\subsubsection{théorème}

\cadreR{%
Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $G$ définies pour tout réel $x$ de $I$ par $G(x)=F(x)+k$ où $k$ est un réel.
}

\dem
 
 \begin{itemize}
	\item Soient $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $I$ et $k$ est un réel. 
	
	Si  pour tout réel $x$ de $I$, $G$ est la fonction définie  par $G(x)=F(x)+k$, alors $G'(x)=F'(x)+0=f(x)$ donc $G$ est aussi une primitive de $f$ sur $I$.
	
	\item Soient $G$ et $F$ deux primitives de $f$ sur $I$. 
	
	On considère la fonction $H$ définie sur $I$ par $H(x)=G(x) -F(x)$, alors $H$ est dérivable sur $I$ et \[ H'(x) = G'(x) -F'(x)  = f(x) - f(x)  = 0 	\]
	
	La dérivée $H'$ est la fonction nulle sur $I$ ce qui signifie que $H$ est une fonction constante sur $I$.
	
	Ainsi, pour tout réel $x$ de $I$, $H(x)=k$ où $k$ est un réel. Soit $G(x) -F(x)=k$ donc $G(x)=F(x)+k$.
\end{itemize}
 
 \subsubsection{interprétation graphique}
 
\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{10.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Si on connaît la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une primitive de $f$ sur $I$,  alors les courbes des primitives de $f$ sur $I$ se déduisent de $\mathcal{C}$ par une translation de vecteur $k\vec{j}$ où $k$ est un réel.

\medskip

Un point $M(x_0;y_0)$ étant donné, il n'existe qu'une seule courbe $\mathcal{C}_F$ de la famille passant par ce point.
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.5)(11,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{(x^2-4)*Euler^(-.3*x-1.2)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-4.5)(10,5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](10,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.8){\footnotesize{$y$}}
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,labels=none,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](.5,0){\red \scriptsize{$\vec{i}$}}
\uput[l](0,0.5){\red \scriptsize{$\vec{j}$}}
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=bleu}
\multido{\n=-3+1}{7}{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=540]{-3}{10}{\f+ \n}}
\psplot[algebraic=true,linewidth=1.25pt, linecolor=prune, plotpoints=540]{-3}{10}{\f}
\uput[r](9.8,1.4){\prune{\footnotesize{$\mathcal{C}_F$}}}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,1.41)(5,1.41)(5,0)
\uput[d](5,0){\red{\footnotesize{$x_0$}}}
\uput[l](0,1.4){\red{\footnotesize{$y_0$}}}
\uput[u](5,1.4){\red{\footnotesize{$M$}}}
\end{pspicture*} \\
 \end{tabularx} 
 
\subsection{primitive vérifiant une condition}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un intervalle $I$.
Soit $x_0$ un réel de l'intervalle $I$ et $y_0$ un réel quelconque.

Il existe une \emph{unique} primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$.
}

\dem
 
Si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors toute primitive $F$ de $f$ sur $I$ est définie par $F(x) = G(x) + k$ avec $k$ réel.

La condition $F(x_0)=y_0$ s'écrit $G(x_0) + k = y_0$ d'où $k = y_0-G(x_0)$. 

Il existe donc une seule primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$, définie par $F(x) = G(x) + y_0-G(x_0)$.



\section{calcul de primitives}

\subsection{primitives des fonctions usuelles}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\raggedright\arraybackslash}X|}} \hline
\multicolumn{1}{|c|}{$f$ est définie sur $I$ par \ldots} & \multicolumn{1}{|c|}{Une primitive $F$ est donnée par \ldots} &	\multicolumn{1}{|c|}{Validité}\\ \hline
$f(x)=a$ ($a$ est un réel) \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $F(x)=ax$  & sur $\R$ \\ \hline
$f(x)=x$  \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2$  &	sur $\R$ \\ \hline
$f(x)=x^n$ ($n$ est un entier naturel)\rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$  &	sur $\R$ \\ \hline
$f(x)=\dfrac{1}{x}$ \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $F(x)=\ln(x)$  &	sur $]0;+\infty[$ \\ \hline
$f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ ($n$ entier,  $n>1$)\rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $F(x)=-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$  &	sur $]-\infty;0[$ ou sur $]0;+\infty[$ \\ \hline
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $F(x)=2\sqrt{x}$  &	sur $]0;+\infty[$ \\ \hline
$f(x)=\e^{x}$  & $F(x)=\e^{x}$ \rule[-2ex]{0pt}{6ex}  &	sur $\R$ \\ \hline
\end{tabularx}

\subsection{linéarité}

\cadreR{%
\begin{itemize}
	\item Si $F$ et $G$ sont des primitives respectives des fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle $I$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$.
	\item Si $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur un intervalle $I$ et $\alpha$ un réel,  alors $\alpha F$ est une primitive de $\alpha f$ sur $I$.
\end{itemize}
}

\dem

Si $F$ et $G$ sont des primitives respectives des fonctions $f$ et $g$ sur $I$, alors $F+G$ et $\alpha F$ sont dérivables sur $I$.
\begin{itemize}
	\item $\left( F+G\right)' = F' + G' = f+g$ donc $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$.
	\item $(\alpha F)'=\alpha F'=\alpha f$ donc $\alpha F$ est une primitive de $\alpha f$ sur $I$.
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\left] 0 ; +\infty \right[$ par $f(x)=x^2-\dfrac{3}{x}$.

La fonction $u$ définie par $u(x)=x^2$ admet comme primitive la fonction $U$ définie par $U(x)=\dfrac{x^3}{3}$.

Sur l'intervalle $\left] 0 ; +\infty \right[$ la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ admet pour primitive la fonction $x \mapsto \ln x$. Donc sur l'intervalle $\left] 0 ; +\infty \right[$  la fonction $v$ définie par $v(x)=-\dfrac{3}{x}$ admet comme primitive la fonction $V$ définie par $V(x)=-3 \ln x$.

Donc la fonction $f=u+v$  admet comme primitive la fonction $F=U+V$ définie par $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-3 \ln x$.

\subsection{primitives des formes usuelles}

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $u'$ sa dérivée.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\raggedright \arraybackslash}X|}} \hline
\multicolumn{1}{|c|}{Fonction $f$} & \multicolumn{1}{c|}{Une primitive $F$ est donnée par\ldots} \\ \hline
$f =u'u$ \rule[-2ex]{0pt}{6ex}  & $F=\dfrac{1}{2}u^2$  \\ \hline
$f =u'u^n$ \; $n$ entier,  $n>0$  \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $F=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$  \\ \hline
$f=u'\e^{u}$  \rule[-2ex]{0pt}{6ex} &	$F=\e^{u}$ \\ \hline
%$f=\dfrac{u'}{u}$ \;  $u$ est strictement positive sur $I$\rule[-2ex]{0pt}{6ex} &	$F=\ln{u}$ \\ \hline
$f=\dfrac{u'}{u^2}$ \;  $u$ ne s'annule pas sur $I$\rule[-2ex]{0pt}{6ex}  &	$F=-\dfrac{1}{u}$ \\ \hline
$f=\dfrac{u'}{u^n}$  \; ($n$ entier,  $n\geqslant 2$)  $u$ ne s'annule pas sur $I$ \rule[-2ex]{0pt}{6ex}  &	$F=-\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}}$ \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{1-x^2}$ telle que $F(1)=0$.

Soit $u$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $u(x)=1-x^2$ alors $u'(x)=-2x$.

On a :  $f(x)=-\dfrac{1}{2}\times (-2x) \times \e^{1-x^2}$ soit  $f=-\dfrac{1}{2}\times u'\e^{u}$.
 
Une primitive de $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie pour tout réel $x$, par $F(x)=-\dfrac{1}{2}\e^{1-x^2}+c$ où $c$ est un réel à déterminer.

Or $F(1)=0 \iff -\dfrac{1}{2} + c = 0 \iff  c = \dfrac{1}{2}$. 

Ainsi, la primitive de la fonction $f$  est la fonction définie sur $\R$ par : $F(x)=-\dfrac{1}{2}\e^{1-x^2}+\dfrac{1}{2}$.

\section{intégrale d'une fonction continue}

\subsection{définition}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$ et $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $[a;b]$.

L'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est le nombre réel égal à $F(b)-F(a)$ :
\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x = F(b)-F(a)\]
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarques}}}

\medskip

\begin{itemize}
\item La différence  $F(b)-F(a)$ se note $\mathopen{\Bigl[}F(x)\mathclose{\Bigr]}_{a}^{b}$ ; ainsi  $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x = \Bigl[F(x)\Bigr]_{a}^{b}= F(b)-F(a)$.
\item Le choix de la primitive $F$ n'influe pas sur la valeur de l'intégrale. 
	
	En effet, si $G$ est une autre primitive de $f$ sur $I$, il existe un réel $k$ tel que $G(x) = F(x) +k$ d'où 	\[G(b) - G(a) = \left(F(b) +k \right)-\left(F(a)+k \right)=F(b)-F(a)\]		
	\item Si $f$ est une fonction continue et positive sur un intervalle $\left[ a ; b \right]$ alors l'intégrale 	$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x=F(b)-F(a)$ est l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.
\end{itemize}

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
\[\begin{split} 
\displaystyle\int_{1}^{\e} \left(x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{\e}{x^2}\right) \dd x & = \left[\dfrac{x^2}{2}-\ln(x) -\dfrac{\e}{x}\right]_{1}^{\e} \\
&=\left(\dfrac{\e^2}{2}-\ln(\e) -\dfrac{\e}{\e}\right)-\left(\dfrac{1^2}{2}-\ln(1) -\dfrac{\e}{1}\right) \\
&=\dfrac{\e^2}{2}+\e-\dfrac{5}{2} \\
\end{split}
\]

\subsection{premières propriétés}
	
\cadreR{%
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$. Pour tout réel $a$ appartenant à $I$. 
	\[\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\dd x =0\]
	}

\medskip
	
	Preuve :
	
	Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
	\[\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\dd x =F(a)-F(a)=0\]
	
	
		\cadreR{%
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$, $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$. 
	\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x =-\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)\dd x\]
}
	
\medskip
	
		Preuve :
	
	Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
	\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x =F(b)-F(a) \qquad \text{et} \qquad \displaystyle\int_{b}^{a}f(x)\dd x =F(a)-F(b)\]

\section{propriétés de l'intégrale}
		
\subsection{positivité}

\cadreR{%
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$.

 Si $a \leqslant b$ et $f \geqslant 0$ sur l'intervalle $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \geqslant 0$.
	
}
		
\dem
	
	Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $F'(x)=f(x)$.
	
	Or  $f \geqslant 0$ sur l'intervalle $[a;b]$ donc $F$ est croissante sur $[a;b]$. Par conséquent, si $a \leqslant b$, alors  $F(a) \leqslant F(b)$.
	
	On en déduit que $ F(b) -  F(a) \geqslant 0$ et $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \geqslant 0$.
	
	\medskip
	
		\textbf{Attention la réciproque est fausse :}
		
		 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+3x+1$
		 \[\begin{split} 
\displaystyle\int_{-2}^{3} \left( -x^2+3x+1\right) \; \dd x & = \left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3}{2} x^2+x\right]_{-2}^{3} \\
&=\left(-9 +\dfrac{27}{2} +3 \right)-\left(\dfrac{8}{3} +6 -2 \right)=\dfrac{5}{6}\\
\end{split}
\]
Ainsi  $\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x) \dd x \geqslant 0$ mais $f(-1) = -3$.
		 
\medskip		 
	
	On démontre de manière analogue la propriété suivante :
	
\medskip
		 
\cadreB{
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$.
	
	Si $a \leqslant b$ et $f \leqslant 0$ sur l'intervalle $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \leqslant 0$.	
}	

		\subsection{linéarité}
		
			\cadreR{%
	Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\R$. Pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $I$, et pour tout réel $\alpha$ 
	\[\displaystyle\int_{a}^{b}\left({f(x)+g(x)}\right)\dd x = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x + \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\dd x \qquad\text{ et }\qquad \displaystyle\int_{a}^{b} \alpha f(x)\dd x =\alpha \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \]
}

\dem
 
\begin{enumerate}
	\item 	Si $F$ et $G$ sont deux primitives respectives des fonctions $f$ et $g$ sur $I$, alors $F+G$ est une primitive sur $I$ de la fonction $f+g$. \[\begin{split} 
\displaystyle\int_{a}^{b}\left({f(x)+g(x)}\right)\dd x & = \left(F(b)+G(b)\right)  -\left(F(a)+G(a)\right)\\
&=\left(F(b)-F(a)\right)  +\left(G(b)-G(a)\right)\\
&= \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x + \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\dd x\\
\end{split}
\]
\item Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$ et $\alpha$ un réel. \[\begin{split} 
\displaystyle\int_{a}^{b} kf(t)\dd t &=\alpha F(b)-\alpha F(a)\\
&=\alpha \left(F(b)-F(a)\right)\\
&= \alpha \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \\
\end{split}
\]
\end{enumerate}

\subsection{relation de Chasles}
	
\cadreR{%
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$. Pour tous réels $a$, $b$ et $c$ appartenant à $I$ 
	\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x = \displaystyle\int_{a}^{c}f(x)\dd x + \displaystyle\int_{c}^{b}f(x)\dd x\]
}

\dem
 
 Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Pour tous réels $a$, $b$ et $c$ appartenant à $I$ 
	\[\begin{split} 
\displaystyle\int_{a}^{c} f(x)\dd x + \displaystyle\int_{c}^{b} f(x)\dd x&=\left(F(c)-F(a)\right)+\left(F(b)-F(c)\right)\\
&=F(b)-F(a)\\
&= \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \\
\end{split}
\]


\begin{minipage}{10cm}
\textsf {\textsc{\small{interprétation graphique :}}}

\medskip
Dans le cas où $f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$. 

L'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est égale à la somme des aires du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=c$ et du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=c$ et $x=b$.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-10.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-.8)(6.6,3.6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{12/(x^2-4*x+8)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{-2}{3.5}{\f} \gsave
\psline(3.5,0)(-2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair] \grestore }
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{3.5}{5.3}{\f} \gsave
\psline(5.3,0)(3.5,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=vlines,hatchwidth=.1\pslinewidth, hatchsep=2\pslinewidth,hatchcolor=mauve,fillcolor=grisb,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,0)(1,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-2.4,-.8)(6.6,3.6)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6.6,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\rput(.5,-.3){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](-2,0)(-2,.6)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](3.5,0)(3.5,1.92)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](5.3,0)(5.3,.806)
\uput[d](-2,0){\footnotesize{\prune $a$}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{\prune $c$}}
\uput[d](5.3,0){\footnotesize{\prune $b$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.4}{6.6}{\f}
 \uput[ul](7,.45){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
  \rput(.5,.5){\footnotesize{\bleu{1 u.a}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}



\subsection{ordre}
 
\cadreR{%
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$ tels que $a \leqslant b$. 

Si pour tout réel $x$ appartenant à $\left[ a ; b \right]$, $f(x) \leqslant g(x)$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\dd x $	
}

\dem
 
Si pour tout réel $x$ appartenant à $\left[ a ; b \right]$, $f(x) \leqslant g(x)$, alors $f(x) - g(x) \leqslant 0$. Comme $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $\left[ a ; b \right]$, la fonction $f-g$ est continue sur $\left[ a ; b \right]$.

Par conséquent, si  $a \leqslant b$ et $f-g \leqslant 0$ alors 	\[
\displaystyle\int_{a}^{b} (f-g)(x)\dd x \leqslant 0 \iff \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\dd x -  \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\dd x \leqslant 0
\]

\medskip
	
		\textbf{Attention la réciproque est fausse :}
		
		 Considérons les fonctions $f$ et $g$  définies sur $\R$ par $f(x)=4-x^2$ et $g(x)=x^2+x-2$.
		 \[\begin{split} 
\displaystyle\int_{-4}^{3} \left(4-x^2\right) \dd x & = \left[ 4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-4}^{3} \\
&=\left(12-\dfrac{27}{3}\right)-\left(-16+\dfrac{64}{3}\right)  \\
&=-\dfrac{7}{3}\\
&\text{et}\\
\displaystyle\int_{-4}^{3}\left( x^2+x-2\right) \dd x & = \left[ \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{x^2}{2}-2x\right]_{-4}^{3} \\
&=\left(\dfrac{27}{3}+\dfrac{9}{2}-6\right)-\left(-\dfrac{64}{3}+\dfrac{16}{2}+8\right)\\
&=\dfrac{77}{6}
\end{split}
\]
\begin{minipage}{10cm}
Ainsi,  $\displaystyle\int_{-4}^{3} f(x) \dd x \leqslant \displaystyle\int_{-4}^{3} g(x) \dd x$ mais nous ne pouvons pas conclure que sur l'intervalle $[-4;3]$, $f(x) \leqslant g(x)$ comme on peut le constater sur le graphique ci-contre.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-11cm}
\begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.2cm}
\begin{pspicture}(-4.9,-14)(5,14)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{4-x^2}
\def\g{x^2+x-2}
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=red,linestyle=dashed](-4,-12)(-4,10)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=red,linestyle=dashed](3,-5)(3,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=4]{->}(0,0)(-4.9,-14)(5,14)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,14){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4.25}{4.25}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-4.53}{3.53}{\g}
\uput[u](5,-14){\bleu $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dr](3.3,12){\prune $\mathcal{C}_{g}$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

		 
\section{intégrale et moyenne}

\subsection{inégalités de la moyenne}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $\left[ a ; b \right]$ de $\R$ ($a < b$ ). Soit $m$ et $M$ deux réels.

Si pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[ a ; b \right]$, $m \leqslant f(x) \leqslant M$, alors :
\[m \times (b-a) \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \leqslant M \times (b-a)\] 
}

\dem
 
Les fonctions définies sur $\left[ a ; b \right]$ par $x \longmapsto m$ et $x \longmapsto M$ sont constantes donc continues.

Si pour tout réel $x$ appartenant à $\left[ a ; b \right]$ ($a < b$ ), $m \leqslant f(x) \leqslant M$, alors d'après la propriété de l'intégration d'une inégalité :
	\[\begin{split} 
\displaystyle\int_{a}^{b} m \;\dd x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\dd x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^{b} M \;\dd x &\iff m\displaystyle\int_{a}^{b}  \dd x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\dd x \leqslant  M\displaystyle\int_{a}^{b} \dd x\\
&\iff m \times (b-a) \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \leqslant M \times (b-a)
\end{split}
\]

\medskip

\begin{minipage}{10cm}
\textsf {\textsc{\small{interprétation graphique :}}}

\medskip

Dans le cas où $f$ est une  fonction  continue et positive sur $[a;b]$

\medskip

L'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est comprise entre les aires des rectangles $R_1$ et $R_2$ :

$R_1$ de côtés $m$ et $b-a$ ;

$R_2$ de côtés $M$ et $b-a$.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-10.5cm}
\begin{flushright}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.25)(4.5,1.7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(4*x^3-5*x^2-16*x-11)*Euler^(-4-.5*x)+1}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{3.5}{\f} \gsave
\psline(3.5,0)(-1,0)(-1,.879)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.5pt,linecolor=prune,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](-1,0)(3.5,1.138)
\psframe[linewidth=.5pt,linecolor=prune,fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](-1,0)(3.5,.689)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-.25)(4.5,1.7)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(.5,-.25){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](4.3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.6){\footnotesize{$y$}}
\uput[d](-1,0){\red{\footnotesize{$a$}}} \uput[d](3.5,0){\red{\footnotesize{$b$}}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4.5}{\f}
\uput[ul](4.5,1.3){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
 \uput[l](0,.75){\bleu{\scriptsize{\textit{\textbf{m}}}}}
  \uput[l](0,1.25){\bleu{\scriptsize{\textit{\textbf{M}}}}}
    \uput[l](3,.4){\prune{\footnotesize{ $\mathbf{R_1}$}}}
        \uput[l](1.9,.9){\prune{\footnotesize{ $\mathbf{R_2}$}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
 
\subsection{valeur moyenne}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $\left[ a ; b \right]$ de $\R$ ($a < b$ ).

On appelle valeur moyenne de $f$ sur $\left[ a ; b \right]$ le réel $\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x$ 
}

\medskip

\begin{minipage}{10cm}
\textsf {\textsc{\small{interprétation graphique :}}}

\medskip

Dans le cas où $f$ est une  fonction  continue et positive sur $[a;b]$

\medskip

L'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est égale à l'aire du rectangle de côtés $\mu$ et $b-a$.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-10.5cm}
\begin{flushright}
\psset{xunit=.8cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-.5)(5.5,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1.5-(x^3-2*x^2-3*x+10)*Euler^(-2.3-.25*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{4}{\f} \gsave
\psline(4,0)(-1,0)(-1,.879)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.5pt,linecolor=prune,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](-1,0)(4,.833573)
\psdot[linewidth=2pt,linecolor=prune,dotstyle=x](0,.833573)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-2,-.5)(5.5,1.5)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(.5,-.25){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psset{xunit=.8cm,yunit=2cm}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.4){\footnotesize{$y$}}
\uput[d](-1,0){\red{\footnotesize{$a$}}} \uput[d](4,0){\red{\footnotesize{$b$}}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.8}{5}{\f}
\uput[r](4.8,-.4){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
 \uput[l](0,.9){\prune{\footnotesize{$\mu$}}}
\end{pspicture} 
\end{flushright}
\end{minipage}
 
\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}


\exo

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par $f(x) = -x^2 +3x-1$ et $g(x)= -2x+3$.
	
	Vérifier que $g$ est la dérivée de $f$. Trouver d'autres fonctions ayant $g$ pour dérivée.
	\item Dans chacun des cas suivants, trouver une fonction $F$ ayant pour dérivée la fonction $f$ sur l'intervalle $I$.
	
	\medskip
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}
a)\quad $f(x)= 3x-2$  \; $\left( I= \R \right)$ &  b)\quad $f(x)= 2x^2 +x-1$  \; $\left( I= \R \right)$ & c)\quad $f(x)= x^3$ \; $\left( I= \R \right)$\\ 
d)\quad $f(x)= \dfrac{3}{x^2}$ \; $\left( I= ]0 ; +\infty [ \right)$  \rule[-2ex]{0pt}{6ex} &  e)\quad $f(x)= \dfrac{2}{x}$ \; $\left( I= ]0 ; +\infty [ \right)$ & f)\quad $f(x)= \e^{0,5x}$ \; $\left( I= \R \right)$\\ 
 \end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

Soit $F$ et $G$ les fonctions définies sur $]-1;+\infty[$  par : $F(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$ et $G(x)=x-2+\dfrac{1}{x+1}$


Montrer que $F$ et $G$ sont deux primitives sur $]-1;+\infty[$ d'une même fonction $f$ que l'on précisera.

\bigskip
  
\exo

\medskip 

Une primitive sur $\R$ d'une fonction  $f$  est définie par $F(x)=\dfrac{2}{x^2-2x+2}$. On a tracé ci-dessous, la courbe représentative d'une autre primitive $G$ de $f$. 

	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(10,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2/(x^2-2*x+2)-1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-3)(10,4)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=4]{->}(0,0)(-3,-1.5)(5,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{5}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune]{<->}(0.25,1)(1.75,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Donner l'expression de $G(x)$.
	\item Déterminer $f(1)$.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

 \medskip 

Dans chaque cas, trouver une primitive $F$ de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-3x+\dfrac{1}{2}$.
\item $f$ est définie sur $\left]0 ; +\infty\right[$ par $f(x)=2x^3-1-\dfrac{1}{x^2}$.
\item $f$ est définie sur $\left]0 ; +\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{x}{2}- \dfrac{2}{x}$.
\item $f$ est définie sur $\left]0; +\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2}{x^2}- \dfrac{x}{2} +\dfrac{2}{3x}$. 
\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=2\e^{-x}$.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

 \medskip 

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.

	\begin{enumerate}
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=3x^2+2x-1$\:  et\: $F\left(-2\right)=0$.
	\item $f$  est définie sur $]0;+\infty[$   par $f(x)=1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}$\:  et\:  $F(1)=-1$.
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=\left(2x-1\right)^2$\:  et\: $F\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$.	
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=1-\dfrac{\e^{2x}}{2}$\:  et\: $F\left(0\right)=-\dfrac{1}{2}$.	
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^2}$\:  et\:  $F(-1)=\dfrac{1}{4}$.	
	\end{enumerate}

 \bigskip
 
 \exo

 \medskip 

Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes :

\begin{enumerate}
\item $A =\displaystyle \int_{-1}^{2} \left( x^2-3x+1 \right) \:\dd x$
\item $B =\displaystyle \int_{2}^{6} \left( \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{2}{x^2}-1 \right) \:\dd x$
\item $C =\displaystyle\int_{-2}^{1}  2 \e^{2x+1}  \:\dd x$
\item $D =\displaystyle \int_{0}^{\ln 2}  2\e^x \times \left(\e^x+1\right) \:\dd x$
\item $E =\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{2}   \dfrac{\ln x}{x}  \:\dd x$ 
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo

 \medskip 

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. On sait que $f(2)=-4$ et que le signe de la fonction $f$  est donné par le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11.5,2) 
\psframe(11.5,2) \psline(0,1.2)(11.5,1.2)\psline(2.5,0)(2.5,2) \psline[linewidth=.5pt](2.9,0)(2.9,1.2) \psline[linewidth=.5pt](3.1,0)(3.1,1.2)
\rput(1.25,1.6){$x$} \rput(3,1.6){$0$} \rput(7,1.6){$4$}  \rput(11,1.6){$+\infty$}
\rput(1.25,0.6){signe de $f(x)$} \rput(5,0.6){$-$} \pnode(7,1.2){a1}\pnode(7,0){a2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{a1}{a2}\ncput*{0} \rput(9,0.6){$+$} 	
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la primitive de la fonction fonction $f$  sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ telle que $F(4)= \dfrac{1}{2}$. 
		
		On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $F$.

	\begin{enumerate}
			\item Donner le tableau de variations de la fonction $F$. 
	\item On suppose que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A(2;3)$. 
	
	Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$.
\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=1-\dfrac{12}{x^2}-\dfrac{16}{x^3}$
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ telle que $F(4)= \dfrac{1}{2}$.
	\item Vérifier que la tangente à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=-4x+11$.
\end{enumerate}
\item \'Etudier la convexité de la fonction $F$
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{-2}^{2} \e^x - \e^{-x} \:\dd x$. 
\item Peut-on en déduire que la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \e^x - \e^{-x}$ est constante sur l'intervalle $[-2;2]$ ?
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 

La tangente $T$  à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point $A$ passe par le point de coordonnées $(4 ; 3)$.

On note $f'$ la dérivée de la fonction fonction $f$ et $F$ une primitive de la fonction fonction $f$.
	
	\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-3.5)(7,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+1)^2*(5-x)/12}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{5}{\f} \gsave
\psline(4,0)(1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,addfillstyle=vlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-7)(14,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-3.5)(7,4)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.391}{5.885}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(2,2.67)(4,2.67)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(3.7,3.9)(6.1,-3.3)
\uput[ur](5,0){\bleu{$A$}}
\psdot[linecolor=bleu,dotscale=.8](5,0)
\uput[dr](-4,4){\small{\bleu{$C_{f}$}}}
\uput[dr](4,4){\small{\prune{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
	\item  Déterminer $f'(3)$ et $f'(5)$.
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $F$.
		\item Donner un encadrement de l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{5}  f(x)  \:\dd x$.
		\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et une autre celle de la fonction $F$. 
\begin{enumerate}
		\item Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F$. 

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(12,4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(12,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(6,2)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{.25*(3-x)*(x+1)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3}{5}{\g}
\uput[ur](2.5,.5){\small{\prune{$C_1$}}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(12,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(12,6)
\psset{xunit=.8cm,yunit=.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-4)(6,6)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{(x-3)^2*(-1-x)/8}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-2.55}{5.26}{\g}
\uput[ur](5,-3){\small{\prune{$C_2$}}}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-7)(16,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-7)(16,6)
\psset{xunit=.8cm,yunit=.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-7)(8,6)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{(4*x^3+18*x^2+20*x-x^4-233)/48}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3.11}{7.17}{\g}
\uput[ur](7,-5){\small{\prune{$C_3$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\item En déduire la valeur exacte de l'aire du domaine colorié. 
\item La courbe représentative de la fonction $F$ admet-elle des points d'inflexion ?
\end{enumerate}	
\end{enumerate}	
	
 \bigskip 
  
 \exo

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;9]$ par $f(x)= 3x -\dfrac{x^2}{3}$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x*(9-x)/3}
\psset{xunit=1cm, yunit =.5cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{6.75}{\f} \gsave
\psline(6.75,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(20,8)
\psset{xunit=1cm, yunit =.5cm}
\pspolygon[linewidth=.75pt, linecolor=prune,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.25pt,hatchsep=6pt,fillcolor=grisb](0,0)(6.75,5.0625)(6.75,0)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(10,8)
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{9}{\f}
\uput[ur](9,0){\small{\bleu{$C_{f}$}}}
\uput[d](6.75,0){\small{\prune{$a$}}}
\uput[u](6.75,5.1){\small{\bleu{$M$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

L'objet de cet exercice est de déterminer l'abscisse $a$ du point $M$ de la parabole $\mathcal{C}_f$ telle que l'aire du triangle hachuré soit égale à la moitié de l'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$  et  $x = a$.

\begin{enumerate}
	\item Quelle est l'ordonnée du point $M$ de la parabole $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ ? En déduire l'aire $T$ en fonction de $a$ du triangle hachuré.
	\item Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ en fonction de $a$ du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$  et  $x = a$.
	\item Déterminer $a$ pour que $\mathcal{A}=2T$.
\end{enumerate}

 \bigskip 

 \exo

 \medskip 

La courbe $\mathcal{C}_{f}$  tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 0.
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(12,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\f{4*x*EXP(-.4*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f} \gsave
\psline(5,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,addfillstyle=hlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-4)(12,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-4)(12,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](12,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.743}{12}{\f}
\uput[ul](12,0.5){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,-4)(1.25,5)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=bleu](5,0)(5,2.706)
\uput[dr](1.25,5){\prune{$T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}} - Lecture graphique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Par lecture graphique, déterminer $f'(0)$.
\item Soit $F$ une primitive de $f$. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumii}{\textsf {\textsc{proposition \theenumii :}}}
\item Sur l'intervalle $[5 ; + \infty[$, la fonction $F$ est croissante. 
\item $F(-1) \leqslant F(0)$.
\item $12 \leqslant F(5) - F(0) \leqslant 18$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}} - Calcul d'aire}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x) = 4x\e^{-0,4x}$.  

\begin{enumerate}
 \item On cherche une primitive $F$ de la fonction $f$ de la forme $F(x) = (ax+b)\e^{-0,4x}$ avec $a$ et $b$ deux nombres réels.
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système d'équations suivant : $\left\{\begin{array}{r c l}
-0,4 a&=&4\\
a -0,4b&=&0\\
\end{array}\right.$ 	
 \item Calculer $a$ et $b$ et donner l'expression de $F(x)$.
	\end{enumerate}  
\item  On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine colorié sur le graphique.   Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.	 
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2\e^{1-0,5x}+x-2$.

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.( \emph{Unités graphiques} : 2cm sur l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées)

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4.5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{gris}{.85 .85 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.45 .45 .6}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*EXP(1-.5*x)+x-2}
\def\g{3.43656-1.71828*x}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=.5pt, linecolor=bleu]{0}{2}{\f} \gsave
\psline(2,0)(0,3.43656)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(4.5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4.5,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=prune,linewidth=.5pt](2,0)(2,2)
\psplot[algebraic=true,linecolor=bleu,linewidth=1.25pt,plotpoints=500]{-.69}{4.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,linecolor=prune,linewidth=1pt,plotpoints=2]{-.8}{2.5}{\g}
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.75](0,3.43656)
\uput[ul](4.5,3){\bleu $\mathcal{C}_{f}$} \uput[ur](2.5,-1){\prune $T$}
\uput[ur](0,3.43656){\bleu $A$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$, puis étudier son signe.
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 0.
\item  \begin{enumerate}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$.
\item En déduire la position relative de la tangente $T$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par $\mathcal{C}_{f}$, $T$ l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$.

 Donner une valeur approchée arrondie au centième près de cette aire en $\mathrm{cm}^2$.
\end{enumerate}

 \bigskip
 
 \exo

 \medskip 

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip
 
Soit $f$ une fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 1]$ par $f(x)=x\e^{x-1}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x\in[0;1]$, $f(x)\leqslant x$.
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante. 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0,5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$.
\item Vérifier que la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;1]$ par $F(x)=\left(x-1\right) \e^{x-1}$ est une primitive de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}_f$, représentative de la fonction $f$, est la courbe de Lorenz qui modélise la répartition des salaires d'une entreprise.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm} 
\begin{pspicture}(1,-.5)(11,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{b2}{.43 0 .88}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{x*EXP(x-1)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,11)
\psset{unit=8cm} 
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=b2]{0}{1}{\f} \gsave
\psline(0,0)
\fill[fillstyle=vlines,hatchcolor=b2,hatchwidth=.25pt,hatchsep=6pt] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.1,Dy=.1,comma=true]{->}(0,0)(-.05,-.05)(1.1,1.1)
\uput[dl](1.1,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,1.1){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune](0,0)(1,1)
\psline [linewidth=.75pt,linestyle=dashed](.5,0)(.5,.303)(0,.303)\psline [linewidth=.75pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$O$}} \uput[dr](.8,.65){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}\uput[ur](1,1){\footnotesize{$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses, $x$ représente le pourcentage cumulé (sous forme décimale) des employés ayant les salaires les plus faibles par rapport à l'effectif total de l'entreprise ;
\item sur l'axe des ordonnées, $f(x)$ représente le pourcentage (sous forme décimale) de la masse salariale correspondante.
\end{itemize}

Par exemple  $f(0,5)\approx 0,303$ signifie que : \og environ 30,3\% de la masse salariale est détenue par la moitié des employés ayant les salaires les plus faibles\fg{}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la proportion des employés ayant les salaires les plus faibles qui détiennent 50 \% de la masse salariale. (\emph{On donnera le résultat arrondi à $0,1\%$ près.})
\item On mesure l'inégalité de la répartition en comparant l'écart entre la situation d'équité parfaite et la situation réelle. 

On définit alors l'indice de Gini noté $\gamma$ par $\gamma=2\times \mathcal{A}$, où $\mathcal{A}$ est l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré compris entre le segment $[OA]$ et la courbe de Lorenz  $\mathcal{C}_f$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que  $\gamma=1-2\times \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \dd x$.
		\item Calculer $\gamma$. (\emph{On donnera la valeur exacte de $\gamma$ et la valeur arrondie à $10^{-3}$ près.})
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

 \medskip 

\textsf{\textbf{\textsc{partie a :}} Lecture graphique}

\medskip

On donne ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. 

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $-1$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{unit=.5 cm}
\begin{pspicture}(-14,-4)(18,14)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x+6)*EXP(-.2*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-14,-4)(18,14)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-2)(9,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](9,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20,linewidth=.5pt, linecolor=bleu]{3}{5}{\f} \gsave
\psline(5,0)(3,0)
\fill[hatchwidth=0.5pt,hatchcolor=prune,fillstyle=vlines] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=800,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.54}{9}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-2.5,6.1)(0.5,6.1)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](3,0)(3,4.94)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](5,0)(5,4.05)
\uput[ul](9,2.5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\uput[u](-1,6){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée}.
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $f'(-1)$.
\item Déterminer le signe de $f'(4)$.
\item Déterminer une valeur approchée à l'unité près de l'aire du domaine hachuré.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b :}} \'Etude d'une fonction}

\medskip


La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par  $f(x)=(x+6)\e^{-0,2x}$.

On note $f'$  sa fonction dérivée et on admet que pour tout réel $x$, on a  $f'(x)=(-0,2x-0,2)\e^{-0,2x}$.

\begin{enumerate}
	\item \'Etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
	\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que $f''(x)= (0,04x-0,16)\e^{-0,2x}$, pour tout réel $x$.
\item \'Etudier la convexité de la fonction $f$. 
\item Montrer que la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion  et déterminer ses coordonnées.
	\end{enumerate}
	\item\begin{enumerate}
	\item  Démontrer que la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ par $F(x)=(-5x-55)\e^{-0,2x}$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
	\item Calculer l'intégrale $I=\displaystyle\int^{5}_{3} f(x) \dd x$  ; on donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie c :}} Application économique}

\medskip

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle $[1 ; 8]$ par la fonction $f$ étudiée dans la partie B.

Le nombre $f (x)$ représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros.

\begin{enumerate}
	\item Calculer le nombre d'objets demandés, au millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à 4 euros.
	\item En utilisant les résultats de la partie B, déterminer la demande moyenne arrondie au millier d'objets près, lorsque le prix unitaire varie entre 3 et 5 euros.
	\item L'élasticité $E(x)$ de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1 \% du prix. On admet qu'une bonne approximation de $E(x)$ est donnée par : 
	\[E(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\times x \qquad \text{sur } [1 ; 8] \]	
	Calculer $E(4)$. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

 \medskip 

Les fonctions d'offre et de demande d'un produit sont définies sur $[0 ;10]$ par :

\begin{itemize}
	\item fonction d'offre $f(x)=\e^{\frac{x}{4}-\frac{1}{2}}$ ;
	\item fonction demande  $g(x)=\e^{2-\frac{x}{6}}$.
\end{itemize}
Où $x$ est la quantité en milliers d'articles et $f(x)$  et $g(x)$  sont des prix unitaires en euros.
\begin{enumerate}
	\item Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$.
	\item Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont données ci-dessous. Au point $E$ d'équilibre du marché, le prix $p_0$ en euro demandé par les consommateurs est égal au prix d'offre des producteurs et la quantité échangée sur le marché en milliers d'articles est égale à $q_0$. 
	
	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}	
\begin{pspicture}(-1,-1)(22,16)

\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{.1 .4 .2}
\def\f{Euler^(x/4-0.5)}
\def\g{Euler^(2-x/6)}
\newgray{gray}{.6}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-1)(22,16)
\psset{unit=1cm}	
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(11,8)
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f}\gsave
 \psline(6,2.718282)(0,2.718782)  
\fill[hatchwidth=0.5pt,hatchcolor=bleu,fillstyle=vlines] \grestore }
\psline[linecolor=vertf,linewidth=0.75pt,linestyle=dashed](0,2.718282)(6,2.718782)(6,0)  
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{0}{10}{\g}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[u](10,7.5){\textsf {\footnotesize{offre}}}
\uput[dl](11,1.5){\textsf {\footnotesize{demande}}}
\uput[ul](11,0){\textsf {\footnotesize{quantité}}}
\uput[dr](0,8){\textsf {\footnotesize{prix}}}
\rput(-0.2,2.718282){\footnotesize{$\boldmath{p_0}$}}
\rput(6.2,0.2){\footnotesize{$\boldmath{q_0}$}}
\rput(6,3){\footnotesize{$E$}}
\rput(1.75,1.75){\footnotesize{$\boldmath{S_p}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

Calculer la quantité d'équilibre $q_0$ en nombre d'articles et le prix d'équilibre $p_0$ arrondi au centime d'euro près.

\item On considère les nombres $I=\displaystyle\int_0^{q_0}{g(x) \dd x}$  et  $J=p_0 q_0$. Donner une interprétation graphique de $I - J$. 
	\item On admet que la quantité d'équilibre $q_0$ est de 6 milliers d'articles.
	\begin{enumerate}	
	\item Exprimé en milliers d'euros, le surplus des consommateurs, est donné par  $S_d=\displaystyle\int_0^6{g(x) \dd x}-6\e$. Déterminer le surplus des consommateurs arrondi à l'euro près.
\item L'aire $S_p$ du domaine hachuré représente en milliers d'euros, le surplus des producteurs. Déterminer le surplus des producteurs arrondi à l'euro près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo 

 \medskip 

\textsf {\textbf{\textsc{partie a - }} \'Etude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{2\ln (x) + 1}{x}$.
 
 On donne ci-dessous sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthogonal. 
 \begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(20,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-4)(20,7)
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(10,1.75)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,1.75){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.477}{10}{(1+2*ln(x))/x}
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.75](1,1)
\uput[ul](1,1){\bleu $A$}
\uput[ul](10,.56){\bleu $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$. 
	\end{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $A$ d'abscisse 1.
	\item Montrer que, sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 

On pourra remarquer que $f(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln (x) +  \dfrac{1}{x}$. 
		\item Soit  $I= \dfrac{1}{4} \displaystyle\int_{1}^5  f(x)\dd x$. Déterminer la valeur exacte de $I$, puis en donner une valeur approchée  au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b - }} Application économique}

\medskip
 
Dans cette partie, on pourra utiliser certains résultats de la partie B.

\medskip
 
Une entreprise de sous-traitance fabrique des pièces pour l'industrie automobile. Sa production pour ce type de pièces varie entre 1000 et 5000~pièces par semaine, selon la demande.
 
On suppose que toutes les pièces produites sont vendues.
 
Le bénéfice unitaire, en fonction du nombre de pièces produites par semaine, peut être modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie B, avec $x$ exprimé en milliers de pièces et $f(x)$ exprimé en euros.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, au centime près, la valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre 1000 et 5000~pièces. 
\item Pour quelle(s) production(s), arrondie(s) à l'unité près, obtient-on un bénéfice unitaire égal à 1,05~\euro{}? 
\end{enumerate}

\end{document}