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%

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$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

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\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête

\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\08 janvier 2018}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{fonction logarithme}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES-L}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
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%%%% debut macro %%%%
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%%%% fin macro %%%%

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  \refstepcounter{nexo} 
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%%%% fin macro %%%%

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#1\end{minipage}}}
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\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={fonction logarithme.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Fonction logarithme néperien.}, 
pdfkeywords={fonction ln,propriétés, dérivée, variation,  cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/terminale_cours/index_terminale_cours.php}
}

\begin{document}


\section{fonction logarithme népérien}



La fonction exponentielle est continue, strictement croissante et pour tout réel $x$, $\e^x \in \left] 0; +\infty \right[$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel $a > 0$, l'équation $\e^x = a$ admet une unique solution, c'est à dire que :

\begin{center}
pour tout réel $a$ strictement positif, il existe un unique réel $\alpha$ tel que $\e^{\alpha} =a$
\end{center}


On définit une nouvelle fonction appelée logarithme népérien qui à tout réel strictement positif, associe son unique antécédent par la fonction exponentielle.

On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.5)(6,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.28 .28 .56}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(x)}
\def\g{ln(x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-2.5)(6,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$1$}}
\uput[l](0,1){\footnotesize{$1$}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-3}{1.79176}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=prune]{.08}{6}{\g}
\psline[linewidth=.25pt, linecolor=bleu,linestyle=dashed, arrowscale=2]{->}(0,5)(1.60944,5)(1.60944,0)
\psline[linewidth=.25pt, linecolor=prune,linestyle=dashed, arrowscale=2]{->}(5,0)(5,1.60944)(0,1.60944)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=grisb](-2,-2)(5.5,5.5)
 \uput[l](0,5){\bleu{\footnotesize{$a=\e^{\alpha}$}}}
 \uput[d](1.61,0){\bleu{\footnotesize{$\alpha$}}}
  \uput[d](5,0){\prune{\footnotesize{$a$}}}
  \uput[l](0,1.61){\prune{\footnotesize{$\alpha=\ln a$}}}
    \uput[dr](1.8,6){\bleu{\footnotesize{$y=\e^x$}}}
    \uput[ul](6,1.8){\prune{\footnotesize{$y=\ln x$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

	Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

\subsection{définition}

\cadreR{%

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction définie sur $\left] 0; +\infty \right[$ qui à tout réel $x$ strictement positif, associe le réel $y$ tel que $\e^y =x$.
\[ x>0 \text{ et } y=\ln (x) \:\text{ équivaut à }\: x=\e^y \]
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarques}}}

\begin{itemize}

	\item  On note $\ln x$, au lieu de $\ln(x)$, le logarithme népérien de $x$, lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté.
	\item  $\e^0 = 1$ donc $\ln(1)=0$.
	\item  $\e^1 = \e$ donc $\ln(\e)=1$.
	
\end{itemize}

\subsection{conséquences immédiates}

\cadreR{%
\begin{enumerate}
	\item Pour tout réel $x$ strictement positif, $\e^{\ln x}=x$.
	\item Pour tout réel $x$, $\ln\left( \e^x\right)=x$.
	\item Pour tout réel $a>0$, l'équation $\e^x= a$ a pour unique solution $x=\ln a$.
\end{enumerate}
}

\dem

\begin{enumerate}
	\item Pour tout réel $x > 0$,  $y=\ln x \iff  \e^y = x$. Soit $\e^{\ln x}=x$.
	\item Pour tout réel $x$, $\e^ x=y  \iff x=\ln(y) = \ln\left({\e^ x}\right)$. Soit $\ln\left( \e^x\right)=x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemples}}}

\medskip


$\e^{\ln 5}=5$; \hfill $\e^{-\ln 0,1}=\dfrac{1}{\e^{\ln 0,1}}=\dfrac{1}{0,1}=10$; \hfill $\ln\left(\sqrt{\e}\right)=\ln\left({\e^{0,5}}\right)=0,5$;  \hfill $\ln\left(\dfrac{1}{\e}\right)=\ln\left({\e^{-1}}\right)=-1$.
	
	
\subsection{variation}
\cadreR{%
 La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
} 

\dem

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a <b$.

Par définition de la fonction logarithme népérien  : $a=\e^{\ln a}$ et  $b=\e^{\ln b}$. Ainsi, $\e^{\ln a}<\e^{\ln b}$.

La fonction exponentielle étant strictement croissante, on en déduit que ${\ln a}<{\ln b}$.

\subsubsection{conséquences}
 
\cadreR{%
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs :
\begin{itemize}
	\item[] $\ln a = \ln b$ si, et seulement si, $a=b$
	\item[] $\ln a > \ln b$ si, et seulement si, $a>b$
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^x -2x$.
	
	La fonction $f$ est dérivable et pour tout réel $x$, $f'(x)=\e^x -2$.
	
	On a donc : $f'(x)=0 \iff \e^x -2=0 \iff \e^x =2 \iff x=\ln 2$.
	
	On a également $f'(x)<0 \iff \e^x <2 \iff x<\ln 2$.
	
	Les variations de $f$ se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variations de $f$ :
	\begin{center}
	\psset{xunit=1cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(9.5,4)
\psframe(9.5,4) \psline(0,3)(9.5,3) \psline(0,2)(9.5,2)\psline(1.5,0)(1.5,4) 
\rput(0.75,3.5){$x$} \rput(2,3.5){$-\infty$} \rput(5.5,3.5){$\ln 2$} \rput(9,3.5){$+\infty$}
\rput (0.75,2.5){$f'(x)$} \rput(3.75,2.5){$-$} \rput(5.5,2.5){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(7.25,2.5){$+$}
\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(2,1.7){\rnode{A}{}}\rput(5.5,.3){\Rnode[vref=-1ex]{B}{$2-2\ln 2$}}\rput(9,1.7){\rnode{C}{}}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt} \ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
	\end{center}

\section{propriétés algébriques}

\subsection{propriété fondamentale} 

\cadreR{%
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs : \[ \ln(a \times b)=\ln(a) + \ln (b) \]
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{démonstration}}}

\medskip 

 Soient $a>0$ et $b>0$ deux réels strictement positifs, 
 
 Par définition de la fonction logarithme népérien  : $a=\e^{\ln a}$ ,  $b=\e^{\ln b}$  et  $a\times b=\e^{\ln \left(a\times b\right)}$
 
 D'autre part, \[a \times b = \e^{\ln a}\times\e^{\ln b} = \e^{\ln a + \ln b}\] 
 D'où \[\e^{\ln \left(a\times b\right)}=\e^{\ln a + \ln b}\]  Donc $\ln \left(a\times b\right)=\ln a + \ln b$.
  
\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

 \medskip 
 
John Napier publia en 1614 une méthode de calcul transformant les multiplications en additions : les logarithmes, du grec \emph{logos} (rapport, raison) et \emph{arithmos} (nombre).
	
 
\subsection{autres règles de calcul}

\medskip 

\cadreR{%
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs et $n$ entier relatif :
\begin{enumerate}
	\item $\ln\left( \dfrac{1}{a} \right) = - \ln a$
	\item $\ln\left( \dfrac{a}{b} \right) =  \ln a- \ln b$
	\item $\ln\left( a^n \right) = n \ln a$
	\item $\ln\left( \sqrt{a} \right) = \dfrac{1}{2} \ln a$
\end{enumerate}
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{démonstrations}}}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
	\item Soit $a>0$ alors $\dfrac{1}{a} > 0$. Or $a \times \dfrac{1}{a} = 1$ donc \[\ln \left( a \times \dfrac{1}{a} \right) = \ln 1 \iff \ln a + \ln \dfrac{1}{a} = 0 \iff  \ln \dfrac{1}{a} =-\ln a \]
	\item Soient $a>0$ et $b > 0$ 
	\[\ln \left( \dfrac{a}{b} \right) = \ln \left( a \times \dfrac{1}{b} \right) =  \ln a + \ln \dfrac{1}{b} = \ln a-\ln b \]
	
	\item Soient $a>0$ un réel strictement positif et $n$ un entier relatif, \[\e^{\ln\left( a^n \right)}=a^n \text{ et } \e^{n \ln a}=\left( \e^{\ln a}\right)^n=a^n\]
	
	Donc  $\e^{\ln\left( a^n \right)}= \e^{n \ln a}$ et par conséquent, $\ln\left( a^n \right) = n \ln a$.
 \item Soit $a>0$ alors $\left( \sqrt{a} \right) ^2 =a$ donc \[\ln a = \ln  \left( \sqrt{a} \right) ^2  =  2 \ln  \sqrt {a}  \]
	
	\end{enumerate}

\section{étude de la fonction logarithme népérien}

\subsection{dérivée}

\cadreR{%
La fonction logarithme népérien est dérivable  sur $]0; +\infty[$ et pour tout réel $x>0$, $\ln ' (x) =\dfrac{1}{x}$.
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{démonstration}}}

\medskip 
\begin{itemize}
\item \textbf{On admet } que la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0; +\infty[$. 
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)=\e^{\ln x}$. 

$f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et pour tout réel $x>0$, $f'(x)= \ln ' (x) \times \e^{\ln x}= \ln ' (x) \times x$.

Or pour tout réel $x>0$, $f(x)=x$ d'où $f'(x)=1$

Ainsi pour tout réel $x>0$,  $\ln ' (x) \times x=1$  donc $\ln ' (x) =\dfrac{1}{x}$.
\end{itemize}




\subsection{variation}

La fonction $\ln$ est dérivable donc continue sur $]0; +\infty[$.

\medskip

\cadreR{%
La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$ .
}

\medskip

 
Comme  $\ln 1 = 0$,  on en déduit les propriétés suivantes :

 \medskip 

\cadreR{%
Pour tout réel $x$ strictement positif :
\begin{itemize}
	\item[] $\ln x = 0$ si, et seulement si, $x=1$
	\item[] $\ln x > 0$ si, et seulement si, $x>1$
		\item[] $\ln x < 0$ si, et seulement si, $0<x<1$
\end{itemize}
}

 \medskip 

D'où le tableau de variation de la fonction $\ln$ :
\begin{center}
\psset{unit=.8cm} 
\begin{pspicture}(10.5,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10.5,3)\psline(0,2.2)(10.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3) \psline(1.9,0)(1.9,2.2)\psline(2.1,0)(2.1,2.2)
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(2,2.6){$0$} \rput(6,2.6){$1$} \rput(10,2.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.1){$\ln(x)$} \rput(2.2,.4){\rnode{A}{}}  \rput(9.8,1.8){\rnode{B}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncput*{0} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\subsubsection{conséquence}

\medskip 

Comme la fonction logarithme népérien est continue, strictement croissante et que pour tout réel $x>0$, $\ln x \in \R$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire : 

\medskip

\cadreR{%
Pour tout réel $k$, l'équation $\ln x = k$ admet dans l'intervalle $]0;+\infty[$ une unique solution $x=\e^k$.
}


\subsection{courbe représentative}


Notons $\mathcal{C}_{\ln}$ la courbe représentative de de la fonction logarithme népérien.

\begin{itemize}
	\item $\ln (1) =0$ et $\ln (\e) =1$ donc les points $A(1;0)$ et $B(\e;1)$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_{\ln}$.
	\item Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{\ln}$ au point $A(1;0)$ est $\ln ' (1)= 1$. 
	
	Donc la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{\ln}$ au point $A(1;0)$ a pour équation : $ y= x-1$.
	
		\item Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{\ln}$ au point $B(\e;1)$ est $\ln ' (\e)= \dfrac{1}{\e}$. 
	
	Donc la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{\ln}$ au point $B(\e;1)$ a pour équation : \[ y= \dfrac {1}{\e} (x-\e) +1 \iff y= \dfrac {1}{\e} x\]
	La tangente à la courbe $\mathcal{C}_{\ln}$ au point d'abscisse $\e$ passe par l'origine du repère.
	
	\item Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle $]0;+\infty[$, la dérivée de la fonction $\ln$ est strictement décroissante. 
	
	Par conséquent, la fonction $\ln$ est concave sur $]0;+\infty[$.
\end{itemize}
  
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.25,-2.5)(8,2.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{ln(x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.25,-2.5)(8,2.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.08}{8}{\f}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](-.2, -1.2)(2.5,1.5)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](0, 0)(4.5,1.65546)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](0,1)(2.71828,1)(2.71828,0)
\uput[d](2.71828,0){\prune{$\e$}}
\uput[ul](7.5,2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_{\ln}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

%\section{complément : fonctions exponentielles de base $q>0$}
%
%Soit $q$ un réel strictement positif on a $\e^{\ln q} =q$ et, pour tout réel $x$ :\[q^x =\left(\e^{\ln q}\right)^x= \e^{x\ln q}\]
%
%Par conséquent, si $k$ est un réel strictement positif,  l'équation \[q^x=k \iff \e^{x\ln q} = k \iff x\times \ln q = \ln k \iff x =\dfrac{\ln k}{\ln q}\]
%
%\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
%
%\medskip 
%
%Une entreprise a chargé un centre d'appel de démarcher des clients potentiels. On a constaté qu'une personne contactée sur cinq accepte un rendez-vous avec un commercial. Ce centre d'appel contacte $n$ personnes successivement et de manière indépendante. 
%
%Quel est le nombre minimal de personnes qu'il faudrait démarcher pour que la probabilité qu'au moins une des personnes contactées accepte un rendez-vous avec un commercial soit supérieure à 0,99 ?
%
%\medskip
%
% Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes contactées qui acceptent un rendez-vous avec un commercial. La loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n$ et 0,2.\[p\left( X \geqslant 1\right)=1 - p\left( X =0\right)=1-0,8^n\]
% 
% $n$ est le plus petit entier tel que \[ \begin{split} 1-0,8^n \geqslant0,99  &\iff -0,8^n \geqslant -0,01\\
% &\iff 0,8^n \leqslant 0,01\\
% &\iff \ln \left( 0,8^n\right) \leqslant \ln 0,01 \qquad \red{\text{La fonction } \ln  \text{ est strictement croissante}}\\
%&\iff n \times \ln 0,8 \leqslant \ln 0,01\\
%&\iff n \geqslant \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,8} \approx 20,6 \qquad \red{\text{Attention } \ln 0,8 < 0 \text{ !}} \\
%\end{split}
% 	\]
% Il faut démarcher au moins 21 personnes pour que la probabilité qu'au moins une des personnes contactées accepte un rendez-vous avec un commercial soit supérieure à 0,99.
 
\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}

\exo

\medskip

Simplifier l'écriture des nombres suivants :

		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}} 
		$A=\ln \np{10000}-\ln 0,1 + \ln 0,01$ ; & $B=\ln(32)-7\ln(2)-4\ln\left(\dfrac{1}{8}\right)$ ; & $ C = 8\ln(\sqrt{3})+5\ln(9)-\ln \left( 9 \sqrt {3} \right)$ ; \\
$D=\ln\left( \sqrt{3} +\sqrt{2}\right)+\ln\left( \sqrt{3} -\sqrt{2}\right)$ ; & $E=2\ln \sqrt{8}-3\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)$ ; & $F =\dfrac{\ln \left( \sqrt {3} -1 \right) + \ln \left( \sqrt {3} +1 \right)}{2}$ ;	\\  
		$G= \dfrac{\ln 5-\ln 10}{2\ln \left(\sqrt{2}\right)}$ ; & $H = \dfrac{\ln 100-2\ln 2}{\ln 5}$ ; & $I = \dfrac{\dfrac{1}{3}\ln 9-4\ln \sqrt{3}-\ln \dfrac{1}{3}}{\ln 3}$.\\
		
\end{tabularx}

 \bigskip 
		
 \exo

\medskip

Simplifier l'écriture des nombres suivants :

$A=\ln \left( \e^{-3} \right) +  \e^{-\ln 2}$ ; \hfill 	$B=\dfrac{\ln\e}{\ln\left(\e^2\right)}-\ln\left(\dfrac{1}{\e}\right)$ ; \hfill $C = \ln \left(4 \e^2 \right) + \ln\left( \dfrac{2}{ \sqrt {\e}} \right)$ ; \hfill  $D =\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{\e^3}\right)}{\ln 3}\times \dfrac{\ln 9}{\e^2}$

\bigskip

\exo

\medskip

Résoudre dans $\R$ chaque équation, puis donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ près des solutions :

\begin{enumerate}
	\item a)\:$\e^x=5$ ; \hfill b)\:$2\e^x=0,2$ ; \hfill c)\:$\e^{2x-1}-3=0$ ; \hfill d)\:$\left(\e^{x}\right)^2=0,25$ ; \hfill e)\:$2\e^{x^2}-4=0$.
		\item a)\:$\e^{1-2x}=3\e^x$ ; \hfill b)\:$3\e^{-2x}=2\e^{2+3x}$ ; \hfill c)\:$\dfrac{5\e^{3x+1}}{\e^{2x}}=4$ ; \hfill d)\:$\left(\e^{-x}+1\right)\left(\e^{2+3x}-2\right)=0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :

a)\:$4\e^{2x+1}\leqslant 3$ ; \hfill b)\:$3\e^{-2x}>1$ ; \hfill c)\:$\left(\e^{2x}\right)^3-\dfrac{2}{\e^x}\leqslant 0$ ; \hfill d)\:$\dfrac{5\e^{2-3x}}{\e^{2x-1}}>2$ ; \hfill e)\:$3\e^{2x}-7\e^x+2\leqslant0$.
	
	\bigskip

\exo

\medskip

Démontrer les propriétés suivantes : 

\begin{enumerate}
	\item Pour tout réel $x > 1$, $\ln \left(x^2 +x -2 \right) = \ln \left(x+2 \right)+\ln \left(x-1\right)$
	\item Pour tout réel $x$ strictement positif, $\ln \left(x+1 \right) = \ln x +\ln \left(1+ \dfrac{1}{x}\right)$
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $]0; +\infty[$ chaque équation, puis donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ près des solutions :

a)\:$\ln x=-1$ ; \hfill b)\:$2\ln x +0,01=0$ ; \hfill c)\:$3\ln x=\e^3$ ; \hfill d)\:$2\left(\ln x\right)^2=1$ ; \hfill e)\:$\left(\e^{2x}-2\right)\left(\ln\left(2x\right)-2\right)=0$.
		\item Résoudre dans $]0; +\infty[$  les inéquations suivantes :

a)\:$2\ln x \leqslant -2$ ; \hfill b)\:$\ln 2x \leqslant -2$ ; \hfill c)\:$\ln \dfrac{1}{x} -\ln x \geqslant 0$ ; \hfill d)\:$\ln (3x) -2\ln x <  5 $ ; \hfill e)\:$\left(\ln x \right)^2+ \dfrac{3 \ln x}{2}-1  \geqslant 0$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\exo

 \medskip 

Résoudre les équations suivantes :

a) \: $15^x = 1000$ ; \hfill b) \: $x^{15} = 1000$ ; \hfill c) \: $0,8 ^x =16$ ; \hfill d) \: $x^{0,8} =16$.

\bigskip
 
\exo

 \medskip 

Dans chacun des cas suivants, déterminer le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation :

a) \: $1,05^n \geqslant 1,5$ ; \hfill b) \: $0,92^n \leqslant 0,75$ ; \hfill c) \: $\left( 1+ \dfrac{3}{100}\right) ^n \geqslant 2$ ; \hfill d) \: $0,2 \geqslant \left( 1- \dfrac{9}{100}\right) ^n $.

\bigskip 

\exo

\medskip

Un groupe industriel s'engage à réduire ses émissions de polluants de 4\% par an.

En 2015, la masse de polluants émise dans l'atmosphère était de \np{50000} tonnes.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse, exprimée en tonnes, de polluants émise dans l'atmosphère pour l'année $(2015+n)$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item À partir de quelle année, la masse de polluants émise dans l'atmosphère par ce groupe industriel aura diminué d'au moins 40~\% ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

En 2014, le parc informatique d'une entreprise était de 200 ordinateurs. 

Pour renouveler ce parc et tenir compte des besoins de l'entreprise, chaque année le gestionnaire supprime 10\,\% des ordinateurs les plus anciens et achète  30 ordinateurs neufs. 
 
Le nombre d'ordinateurs du parc informatique de cette entreprise est modélisé par la suite $\left(u_{n}\right)$ où où le terme $u_n$ désigne le nombre d'ordinateurs disponibles au cours de l'année $(2014 + n)$.

Ainsi, la suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par $u_0=\np{200}$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,9u_n+30$.

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'ordinateurs en 2015 et en 2016.
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 300$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = 300 - 100 \times  0,9^n$.		
	\end{enumerate} 
\item En quelle année, le nombre d'ordinateurs disponibles dans cette entreprise sera-t-il supérieur à 250 ?
 	\end{enumerate}
 	
\bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Centres Étrangers 2017})

 \medskip 

La renouée du Japon est une plante à croissance très rapide et très invasive. 

Un jardinier souhaite faire disparaître de son terrain cette espèce qui occupe une superficie de $120\;\mathrm{m}^2$ au 1\up{er} janvier 2017. Pour cela, chaque année au printemps, il procède à un arrachage qui permet de réduire de 10\,\% la superficie de terrain envahi l'année précédente. Cependant, cette espèce de plante ayant une puissance de dissémination très importante, de nouvelles pousses apparaissent chaque été et envahissent une nouvelle parcelle de terrain d'une superficie de $4\;\mathrm{m}^2$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la superficie de terrain envahi par cette plante au 1\up{er} janvier 2018. 

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente la superficie de terrain en $\mathrm{m}^2$ envahi par la Renouée du Japon au 1\up{er} janvier de l'année $2017 + n$. 

La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par $u_0 = 120$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n + 1} = 0,9u_n + 4$. 
\item  Le jardinier souhaite connaître l'année à partir de laquelle il aura réduit au moins de moitié la superficie de terrain envahi par rapport au 1\up{er} janvier de l'année 2017. 

Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il détermine l'année souhaitée. 

\emph{On ne demande pas de faire fonctionner l' algorithme.}

\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$U\leftarrow \ldots$

$N\leftarrow 0$

Tant que \dotfill
\begin{itemize}
\item[] $U\leftarrow \ldots$ 
\item[] $N\leftarrow N+1$
\end{itemize}
Fin tant que	

\end{minipage}
}
\end{center}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 40$. 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,9$ et préciser le premier terme. 
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. 
		\item Justifier que $u_n = 80 \times  0,9^n + 40$ pour tout entier naturel $n$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $80 \times  0,9^n + 40 \leqslant  60$. 
		\item En déduire l'année à partir de laquelle la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1\up{er} janvier de l'année 2017. 
	\end{enumerate}
\item Le jardinier arrivera-t-il à faire disparaître complètement la plante de son terrain ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane septembre 2017})

 \medskip 

Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos.  La municipalité souhaite être informée sur le nombre de vélos en circulation et le coût engendré.
 
Le responsable du service de location de vélos constate que, chaque année, 20\,\% des vélos sont devenus inutilisables car perdus, volés ou détériorés. Le budget alloué au service lui permet de racheter 30 vélos par an.
 
Le 1\up{er} janvier 2017, le parc contient 200 vélos utilisables.
 
On modélise l'évolution du nombre de vélos utilisables par une suite $\left(u_n\right)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le nombre de vélos le 1\up{er} janvier de l'année $2017 + n$.
 
Ainsi $u_0 = 200$ et, pour tout entier naturel $n$,  $u_{n+ 1} = 0,8 \times  u_n + 30$.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le coefficient $0,8$ dans l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		\item Combien y aura-t-il de vélos dans ce parc au 1\up{er} janvier 2018 ?
	\end{enumerate}
\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - 150$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 50 \times 0,8^n + 150$.
		\item La municipalité a décidé de maintenir ce service de location tant que le nombre de vélos reste supérieur à 160.
		
En quelle année le service de location s'arrêtera-t-il ?
	\end{enumerate}
\item  Pour l'aider à maintenir le service de location, la municipalité a obtenu une subvention de la région qui sera versée de 2017 inclus à 2025 inclus. Par commodité, on suppose qu'elle est versée pour chaque année le 1\up{er} janvier, de 2017 inclus à 2025 inclus.
	
Cette subvention s'élève à 20 euros par vélo disponible à la location.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la somme des subventions reçues pour les deux premières années s'élève à \np{7800} euros.
		\item Déterminer la somme totale perçue grâce à cette subvention du 1\up{er} janvier 2017 au 1\up{er} janvier 2025.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Nouvelle Calédonie 2017})

 \medskip 

Début 2013, la superficie totale des forêts sur la terre représente un peu plus de 4 milliards d'hectares.

Au cours de l'année 2013, on estime qu'environ 15 millions d'hectares ont été détruits.

Des plantations d'arbres et une expansion naturelle des forêts ont ajouté 10,2 millions d'hectares de nouvelles forêts en 2013.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la superficie totale des forêts détruites au cours de l'année 2013 représente $0,375$\,\% de la superficie totale des forêts mesurée au début de l'année.
\end{enumerate}

On admet dans la suite que chaque année, la proportion des surfaces détruites de forêts et la superficie de nouvelles forêts restent constantes.

On note $u_n$ la superficie (en millions d'hectares) occupée par les forêts sur la Terre au début de l'année $(2013+n)$ avec $u_0 = \np{4000}$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \np{0,99625}u_n + 10,2$.
		\item Montrer que la superficie totale des forêts sur la Terre, au début de l'année 2014, en millions d'hectares, est $u_1 = \np{3995,2}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(d_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $d_n = u_n - \np{2720}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $d_{n+1} = \np{0,99625} \times d_n$.
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ? Calculer $d_0$.
		\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $d_n$, en fonction de $n$ ; en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Proposer un algorithme affichant la superficie (en millions d'hectares) occupée par les forêts sur la Terre, pour chaque année de 2013 à 2029.
		\item À partir de quelle année la superficie des forêts présentes sur la Terre sera inférieure à 3,9 milliards d'hectares ? Préciser la démarche utilisée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

Une entreprise produit des articles, dont certains sont défectueux à cause de deux défauts possibles, un  défaut d'assemblage ou un défaut de finition, à l'exclusion de tout autre défaut. 

Une étude statistique a permis de constater que sur l'ensemble de la production :

\begin{itemize}
	\item 9 \% des articles  présentent les deux défauts.
	\item 15 \% des articles présentent un défaut d'assemblage.
	\item 4 \% des articles n'ayant pas un défaut d'assemblage ont un défaut de finition.
 \end{itemize}

On choisit un article au hasard et on note :

\begin{itemize}
	\item $A$ l'évènement : \og l'article a un défaut d'assemblage \fg{} ;
	\item $F$ l'évènement : \og l'article a un défaut de finition \fg{}.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item 
	
\begin{enumerate}
	\item Calculer $p\left(F\right)$.
	\item Calculer la probabilité de l'évènement $A \cup F$ : {\og l'article est de fabrication défectueuse \fg}.
\end{enumerate}
\item On prélève au hasard $n$ articles. On suppose que le nombre d'articles est suffisamment grand pour assimiler ce prélèvement à des tirages successifs indépendants avec remise.
 
\begin{enumerate}
	\item On note $p_n$ la probabilité que l'un au moins de ces $n$ articles soit défectueux. 
	
	Justifier que $p_n= 1- 0,816^n$.
	\item Quel est le nombre minimal d'articles qu'il faut prélever pour que la probabilité que l'un au moins de ces articles soit défectueux soit supérieure à 0,98 ?
\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Asie 2017 modifié})

 \medskip 

Pour l'année scolaire, un professeur de mathématiques propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d'accompagnement : \og Approfondissement\fg{} ou \og Ouverture culturelle \fg .

Chaque semaine, un élève doit s'inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.

La première semaine, 20\,\% des élèves de la classe ont choisi \og Approfondissement\fg{} et tous les autres ont choisi \og Ouverture culturelle \fg{}, On admet que


\begin{itemize}
\item 20\,\% des élèves ayant choisi \og Ouverture culturelle\fg{} une certaine semaine s'inscrivent en \og Approfondissement\fg{} la semaine suivante ;
\item 30\,\% des élèves ayant choisi \og Approfondissement\fg{} une certaine semaine s'inscrivent en \og Ouverture culturelle\fg{} la semaine suivante.
\end{itemize}

On s'intéresse à l'évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d'accompagnement au fil des semaines. Chaque semaine, on interroge au hasard un élève de la classe.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $A_n$ l'évènement \og l'élève a choisi \og Approfondissement\fg{} la \mbox{$n$-ième} semaine \fg{} et $p_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$. On a alors $p_1 = 0,2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$A_n$}~}\naput{\bleu $p_n$}}
		{
\TR{~\bleu{$A_{n+1}$}}\naput{\prune \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{A_{n+1}}$}}\nbput{\prune \ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{A_n}$}~}\nbput{\bleu $1-p_n$}}
		{
\TR{~\bleu{$A_{n+1}$}}\naput{\prune \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{A_{n+1}}$}}\nbput{\prune \ldots}
 		}
}
\end{center}


\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,2$.
\item  On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n = p_n - 0,4$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de son premier terme $u_1$.
		\item En déduire pour tout entier naturel $n$ l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis l'expression de $p_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
 	\end{enumerate}
\item  On considère l'algorithme suivant où $N$ est un entier :
	
\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$P\leftarrow 0,2$


Pour $I$ allant de 2 à $N$

\hspace{2em} $P\leftarrow 0,5P + 0,2$

Fin Pour	

\end{minipage}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de la variable $P$ à la fin de l'exécution de cet algorithme lorsque $N = 5$.
		\item Modifier l'algorithme afin qu'il calcule le numéro de la première semaine pour laquelle le pourcentage des élèves de la classe ayant choisi \og Approfondissement \fg{} dépasse 39,9.
		\item En résolvant une inéquation, déterminer à partir de combien de semaines, le pourcentage des élèves de la classe ayant choisi \og Approfondissement \fg{} dépasse 39,9 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 
  
  Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ définie sur $]0 ; + \infty[$  :
	
	a) \: $f(x) = x \ln x - x$ ; \hfill b) \: $f(x) =\dfrac{1}{x}+\ln x$ ; \hfill c) \: $f(x) = \dfrac{\ln x}{\e^x}$ ; \hfill d) \:  $f(x)= \left(\ln x \right) ^2  + 2\ln (x)$ 

 \bigskip
 
 \exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ;  +\infty[$ par $f(x) = 5x - 2x\ln (x)$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé et $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $\e$.

Quelle est la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ ?

 \bigskip 
  
  \exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ;  +\infty[$ par  $f(x) = x^2\ln (x)$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
\item Soit $a$ un réel strictement positif.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $a$ a pour équation \[y = (2a\ln (a) + a)x - a^2(\ln (a) + 1)\]
\item Déterminer $a$ pour que la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ passe par l'origine du repère.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
  
 \exo

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $I = ]0 ; + \infty[$ par $f(x)=1+\dfrac{\ln x}{x}$. 

\begin{enumerate}
\item 	Résoudre sur l'intervalle $I$, l'inéquation $f(x) \geqslant 1$. 
\item 	On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$.
\item Étudier  les variations de la fonction $f$ sur $I$.
\end{enumerate}
 \item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$. Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$. 
\end{enumerate}

  \bigskip

 \exo

 \medskip 

\textsf {\textbf{\textsc{partie a : }}  Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 7,5]$ par $f(x) = - x^2 +11x-9 \ln (x)-10$.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-2,-4)(18,13)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{-x^2+11*x-10-9*ln(x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-4)(18,13)
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-2)(9,6.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{7.5}{\f}
\uput[ur](7.5,-2){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 7,5]$, on a  $f'(x) = \dfrac{-2x^2+11x-9}{x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[1 ; 7,5]$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.
	\end{enumerate}

\item Montrer que  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }} Application à l'économie}

\medskip

Une entreprise fabrique des pièces. Sa production quotidienne varie entre 100 pièces et  750 pièces.

Le bénéfice de l'entreprise en milliers d'euro, pour $x$ centaines de pièces fabriquées et vendues ($1 \leqslant  x \leqslant 7,5$), est modélisé par $f(x)$, où $f$ est la fonction définie dans la partie \textbf{A}.

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de pièces que doit fabriquer l'entreprise afin d'obtenir le bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice maximal, arrondi à la centaine d'euro.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution dans l'intervalle $[7 ; 7,5]$.
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer un intervalle d'amplitude $10^{-2}$ de la solution de l'équation $f(x) = 0$.
		
\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$a\leftarrow 7$

$b\leftarrow 7,5$

Tant que $b - a > 0,01$
\begin{itemize}
\item[] $m\leftarrow \dfrac{a + b}{2}$ 
\item[] Si $f(m) < 0$

\hspace{1em} \dotfill

Sinon 

\hspace{1em} \dotfill

Fin Si
\end{itemize}
Fin Tant que	

\end{minipage}
}
\end{center}

\item Exécuter l'algorithme précédent en complétant le tableau ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\rule[-2ex]{0pt}{6ex}$m=\dfrac{a + b}{2}$& $f(m)$ à $10^{-3}$ près&$a$& $b$& $b-a$\\ \hline
\textsf{Initialisation}&&& 7& 7,5& 0,5 \\ \hline
1\up{re} boucle \og  Tant que \fg & 7,25 & & & & \\ \hline
2\up{e} boucle \og  Tant que \fg & & & & & \\ \hline
$\vdots$ \rule[-2ex]{0pt}{6ex} &  & &  &  &   \\ 
\end{tabularx}

\medskip

\item En déduire jusqu'à quel nombre de pièces fabriquées l'entreprise réalise un bénéfice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 
 	
\exo

 \medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x) = 2x -x\ln(x)+1$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé. 

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(18,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{2*x-x*ln(x)+1}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-2)(18,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.99,-.99)(9,5)
\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{9}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-.5}{2.5}{x+2}
\uput[ur](7,1.4){\bleu{\footnotesize $\mathcal{C}_f$}}
\psdot[linecolor=prune](1,3)
\uput[u](1,3){\bleu{\footnotesize $A$}}
\uput[ul](0,2){\prune{\footnotesize $B$}}
\uput[ur](2.5,4.5){\prune{\footnotesize $T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La tangente $T$ à la  courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A\left( 1 ; 3 \right) $  coupe l'axe des ordonnées au point $B\left( 0 ;2 \right)$. Déterminer $f'(1)$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)=1-\ln(x)$.
\item Résoudre dans l'intervalle $]0 ; + \infty[$, l'inéquation $1-\ln(x) \leqslant 0$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
\end{enumerate}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$.
\end{enumerate}

 \bigskip

\exo

 \medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x)=x \left(x-2\ln x +1\right)+3$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ est la dérivée de la fonction $f$.
	\item \'Etudier les variations de la fonction $f'$. 	
	\item En déduire que la fonction $f$ est monotone.
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip

 On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(22,18)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^2-2*x*ln(x)+x+3}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-1)(22,18)
\psset{xunit=2cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-.25,-1)(5.5,18)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](5.5,0){$x$} \uput[dl](0,18){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=800,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{5.18455}{\f}
\uput[dr](5.2,18){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
%\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](0,0)(5,14.0139)
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,4)(4,8)
\end{pspicture}
\end{center}
 
 \begin{enumerate}
	\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet sur $]0 ; + \infty[$ une seule tangente passant par l'origine du repère.
	
	Tracer cette tangente dans le repère précédent.
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse 1.
	\item \'Etudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite $T$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie c}}}}

\medskip

Sur l'intervalle $]0~;~5]$, le coût de production, en milliers d'euro, pour $x$ milliers d'articles fabriqués chaque jour par une usine, est modélisé par $f(x)$.

On note $C_{M}(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ le coût moyen de production  avec $x \in ]0~;~5]$.

\medskip

Quel doit être le prix de vente minimal d'un article pour assurer la rentabilité de cette production ?

 \bigskip 
   
 \exo

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x)=8\ln(x)+\dfrac{16}{x}-16\ln(2)$. 

Sa courbe représentative, notée $\mathcal{C}_f$, est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$. 
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La droite d'équation $y=x$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ en un point $A$ d'abscisse $a$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $a$ est solution de l'équation $\dfrac{8\left(a-2\right)}{a^2}=1$.
\item Déterminer la valeur de $a$. 
\end{enumerate}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$.
\item Déduire des deux questions précédentes, l'ensemble solution de l'inéquation $f(x) \leqslant x$
\end{enumerate}


	\begin{center}
\psset{unit=.7cm} 
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{8*ln(x/4)+16/x}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-1,-1)(11,9)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(11,9)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](11,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,9){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.695949}{10.1093}{\f}
%\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune](0,0)(9,9)
\uput[dl](11,9){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 
  
\exo

 \medskip 

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ telle que pour tout réel $x$ de cet intervalle $f(x)~=~(1 + \ln x)(2-\ln x)$  
et dont la courbe représentative $C_f$  est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(15,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(1+ln(x))*(2-ln(x))}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](-1,-4)(15,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.99,-4)(15,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](15,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.1353}{15}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$. Les valeurs exactes sont demandées. 
		\item \'Etudier le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln x}{x}$		pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
		\item En déduire les variations de $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de $f$ et la valeur exacte de $x$ pour laquelle il est atteint.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 et la tracer sur le graphique.
\item 
\begin{enumerate}
	\item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 2$.
	\item Résoudre dans $\R$ l'équation $\left(1+X\right)\left(2-X\right)=2$.
	\item En déduire les solutions de l'équation $f(x) = 2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 

 \bigskip 
  
\exo

 \medskip 
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_f$, tracée ci-dessous dans un repère orthogonal est la courbe représentative d'une fonction $f$  définie et dérivable sur l'intervalle  $I = ]0 ; + \infty[$.

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(12,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^2*(1.5-ln(x))}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](-1,-4)(12,5)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=.75cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-4)(6,5)
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{5.197}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-.25}{2.5}{2*x-.5}
\uput[ur](5.25,-4){\bleu{\footnotesize $\mathcal{C}_f$}}
\psdot[linecolor=prune](1,1.5)
\uput[u](1,1.5){\bleu{\footnotesize $A$}}
\uput[dr](0,-.5){\prune{\footnotesize $B$}}
\uput[ur](2,4){\prune{\footnotesize $T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

La tangente $T$ à la  courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A\left( 1 ; \dfrac{3}{2} \right) $  coupe l'axe des ordonnées au point $B\left( 0 ; -\dfrac{1}{2} \right)$.

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$, déterminer  $f'(1)$.
\item Que représente le point $A$ pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
\item Une seule des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée seconde $f''$ : laquelle ?
\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-7)(10,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{-2*ln(x)}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](-1,-7)(10,5)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-3.5)(5,2.5)
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.2865}{5}{\f}
\uput[dr](0.28,2.5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_1$}}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-7)(10,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{2*x*(1-ln(x))}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](-1,-7)(10,5)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-3.5)(5,2.5)
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{4.14}{\f}
\uput[ur](4.1,-3.5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_2$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(10,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{2*ln(x)}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](-1,-5)(10,7)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-2.5)(5,3.5)
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.2865}{5}{\f}
\uput[dl](4.5,3.5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_3$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ de la partie A est définie sur $I = ]0 ; + \infty[$ par $f(x)=x^2 \times \left( \dfrac{3}{2} - \ln(x) \right)$. 

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x)=0$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)=2x \times \left(1-\ln(x)\right)$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
\end{enumerate}

\item On note $f''$ la dérivée seconde de $f$ sur $]0 ; + \infty[$. Calculer $f''(x)$ puis, étudier la convexité de la fonction $f$.
\end{enumerate}
		 
\end{document}