\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{graphicx} % inclure le fichier graphique de pondichery 2010
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{hhline}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{xcolor,colortbl}
\usepackage{pstricks,pst-all,pst-plot,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot,pst-func}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{pifont}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty=10000 
\tolerance=2000
\emergencystretch=1em
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
%\newcommand{\C}{\mathds {C}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma
\DeclareMathOperator{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio
% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\{30 avril 2018}}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{lois de probabilité à densité}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES- L}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
\setcounter{secnumdepth}{3}
\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                  {\reset@font\bfseries\red\sffamily\scshape}} 
                                 
\renewcommand\subsection{\@startsection {subsection}{2}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                   {\reset@font\bfseries\sffamily\scshape\blue}}                                   
\renewcommand\subsubsection{\@startsection {subsubsection}{3}{\z@}%
	{-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
	{2.3ex \@plus .2ex}%
	{\reset@font\bfseries\sffamily\scshape\small}}
\makeatother
\setcounter{secnumdepth}{2}

\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \refstepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nactivite}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Variables aléatoires continues}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={lois de probabilité à densité}, 
pdfkeywords={Densité de probabilité, loi uniforme, loi normale, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/terminale_cours/index_terminale_cours.php}
}

\begin{document}

\section{introduction}

Dans différents domaines on est amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre théoriquement toute valeur réelle d'un intervalle $I$ de $\R$. Ces variables aléatoires sont dites continues.

C'est le cas, par exemple, de la durée du temps d'attente aux consultations d'un hôpital fictif.

\begin{center}
{\footnotesize{\begin{tabularx}{.9\linewidth}{|m{2.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Temps d'attente 

(en minutes) & $[0;10[$ & $[10;20[$ & $[20;30[$ & $[30;40[$ & $[40;50[$ & $[50;60[$ & $[60;70[$ & $[70;80[$ & $[80;90]$\\ \hline
Fréquences  &  0,064 & 0,152 & 0,192 & 0,192 & 0,166 & 0,123 & 0,074 & 0,032 & 0,005\\ \hline
\end{tabularx}}}
\end{center}

La série statistique à caractère quantitatif continu est représentée par un histogramme constitué d'une juxtaposition de rectangles dont les aires sont proportionnelles aux fréquences.  

\begin{center}
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(20,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\rput(9,-2){\footnotesize{Histogramme}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,9)
\psframe[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair](17,6)(19,8)
\rput(18,7){\footnotesize{\bleu{$0,05$}}}
\psset{xunit=4.2cm,yunit=14cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.05,comma]{->}(0,0)(1.6667,.225)
\psset{xunit=1.4cm,yunit=14cm}
\savedata{\donnees}[{{.25,.064},{.75,.152},{1.25,.192},{1.75,.192},{2.25,.166},{2.75,.123},{3.25,.074},{3.75,.032},{4.25,.005}}]
\listplot[plotstyle=bar,barwidth=2,linewidth=.5pt, linecolor=bleu,fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair]{\donnees}

\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(20,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\rput(9,-2){\footnotesize{Polygone des fréquences cumulées}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,9)
\psset{xunit=4.2cm,yunit=2.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.25,comma]{->}(0,0)(1.6667,1.125)
\savedata{\donnees}[{{0,0},{.1667,.064},{.3333,.216},{.5,.408},{.6667,.6},{.8333,.766},{1,.889},{1.1667,.963},{1.333,.995},{1.5,1}}]
\listplot[linecolor=prune,linewidth=1pt]{\donnees} 
\listplot[plotstyle=dots,linecolor=bleu,dotscale=.75]{\donnees} 
\end{pspicture}
\end{center}


On modélise la situation à l'aide d'une variable aléatoire $X$ mesurant la durée en heure du temps d'attente aux consultations de cet hôpital avec  $X \in [0 ; 1,5]$.

Pour une telle variable aléatoire, les évènements étudiés sont ceux qui correspondent à des intervalles du type $X \in [0; 0,3]$, $0,5\leqslant X \leqslant 1$ ou $X > 0,5 $.

Le calcul de la probabilité $P\left( X=0,345\right)$  que le temps d'attente soit exactement de 20 minutes et 42 secondes n'a pas de sens.

Dans le cas d'une variable aléatoire continue le polygone des fréquences cumulées croissantes est remplacé par la courbe représentative de la fonction de répartition $F$ permettant de calculer des probabilités.

On suppose que la fonction $F$ est définie sur l'intervalle $[0 ; 1,5]$ par $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\dd t$ où $f$ est la fonction définie sur $[0 ; 1,5]$ par $f(t)=\dfrac{64 t^3}{27}-\dfrac{64 t^2}{9}+\dfrac{16 t}{3}$. On dit que  $f$ est la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.

\begin{center}
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(20,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(64*x^3-192*x^2+144*x)/27}
\rput(9,-2){\footnotesize{Fonction de densité}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,11)
\psset{xunit=4.2cm,yunit=2.8cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{.6}{\f} \gsave
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=prune](.6,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.25,comma]{->}(0,0)(1.6667,1.375)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1.5}{\f}
\uput[dl](1.6667,0){\footnotesize{$t$}}
\psset{linecolor=prune}
\rput(.35,.5){\rnode{A}{\prune{\scriptsize{$F(x)$}}}}
\rput(1.2,1.05){\rnode{B}{\prune{\scriptsize{$P\left( X \leqslant x \right)=F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\dd t$}}}}
\ncline{<-}{A}{B}
\psline[linewidth=0.75pt, linecolor=prune](.6,0)(.6,1.152)
\uput[d](.6,0){\footnotesize{\prune{$x$}}}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(20,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{8*x^2*(2*x^2-8*x+9)/27}
\rput(9,-2){\footnotesize{Fonction de répartition}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,11)
\psset{xunit=4.2cm,yunit=3.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.2,comma]{->}(0,0)(1.6667,1.1)
\uput[dl](1.6667,0){\footnotesize{$t$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{1.5}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](.6,0)(.6,.5248)(0,.5248)
\uput[d](.6,0){\footnotesize{\prune{$x$}}}
\uput[l](0,.5248){\footnotesize{\prune{$F(x)$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Ainsi, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 1,5]$, $F(x)$ est l'aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction de densité $f$, les axes du repère et la droite d'équation $t=x$.

On en déduit que :

\begin{itemize}
\item $P\left( X \leqslant 0,3 \right)= F(0,3)=\displaystyle\int_{0}^{0,3}f(t)\dd t=0,1808$.
\item $P\left( 0,5\leqslant X \leqslant 1 \right)= F(1)-F(0,5)=\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(t)\dd t=\dfrac{13}{27}$.
\item $P\left(  X > 0,5 \right)=1- P\left( X \leqslant 0,5 \right)=1- F(0,5)=1-\displaystyle\int_{0}^{0,5}f(t)\dd t=\dfrac{16}{27}$.
\end{itemize}

\section{densité de probabilité et loi de probabilité}

\subsection{variable aléatoire continue} 

Une variable aléatoire pouvant prendre toute valeur d'un intervalle $I$ de $\R$ est dite continue.

\subsection{fonction de densité} 

\cadreR{%
Soit $I$ un intervalle de $\R$. On appelle fonction de densité de probabilité sur $I$ toute fonction $f$ définie, continue et positive sur $I$ telle que l'intégrale de $f$ sur $I$ soit égale à 1.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip	

Vérifions que la fonction $f$ définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0 ; 1,5]$ par $f(t)=\dfrac{64 t^3}{27}-\dfrac{64 t^2}{9}+\dfrac{16 t}{3}$ est une fonction de densité de probabilité sur $[0 ; 1,5]$.

\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; 1,5]$ donc continue.
\item Pour tout réel $t$, $\dfrac{64 t^3}{27}-\dfrac{64 t^2}{9}+\dfrac{16 t}{3}=\dfrac{16t \left(4 t^2-12 t+9\right)}{27}=\dfrac{16t \left(2 t-3\right)^2}{27}$.

Par conséquent, la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0 ; 1,5]$.
\item Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur sur $[0 ; 1,5]$ par $F(t)=\dfrac{16 t^4}{27}-\dfrac{64 t^3}{27}+\dfrac{8 t^2}{3}$ d'où \[ \displaystyle\int_{0}^{1,5}f(t)\dd t = F(1,5)-F(0)=1\]
\end{itemize}

Ainsi,  $f$ est une fonction de densité de probabilité sur $[0 ; 1,5]$

\subsection{loi de probabilité} 

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction de densité de probabilité sur un intervalle $I$.

On dit que la variable aléatoire $X$ suit la loi de probabilité de densité $f$ sur l'intervalle $I$ lorsque, pour tout intervalle $[a;b]$ inclus dans $I$, la probabilité de l'événement $X \in [a;b]$ est :\[P\left(X \in [a;b]\right)=P\left(a \leqslant X \leqslant b\right)= \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\dd t\]
}	

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

\medskip
$P\left(a \leqslant X \leqslant b\right)$ est la mesure, en unités d'aire, de l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

On a représenté ci-dessous la courbe représentative de la fonction de densité étudiée dans l'exemple précédent.

\begin{center}
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(20,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(64*x^3-192*x^2+144*x)/27}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,11)
\psset{xunit=4.2cm,yunit=2.8cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0.3}{.8}{\f} \gsave
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=prune](.8,0)(0.3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.25,comma]{->}(0,0)(1.6667,1.375)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1.5}{\f}
\psset{linewidth=0.75pt, linecolor=prune}
\psline(.3,0)(.3,1.02)\psline(.8,0)(.8,.929)
\rput(.55,.5){\prune{\scriptsize{$P\left(a \leqslant X \leqslant b\right)$}}}
\uput[d](.3,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[d](.8,0){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
On observe sur cet exemple, que la fonction $f$ prend des valeurs supérieures à 1 sur l'intervalle $[0 ; 1,5]$ : c'est possible car $f(x)$ n'est pas une probabilité, c'est une densité de probabilité.

\subsubsection{propriétés} 

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité $f$ sur un intervalle $I$.

Pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $I$

\begin{enumerate}
\item $P\left( X = a\right)=\displaystyle\int_{a}^{a}f(t)\dd t=0$
\item $P\left(a \leqslant X \leqslant b\right)=P\left(a < X \leqslant b\right)=P\left(a \leqslant X < b\right)=P\left(a < X < b\right)$
\item $P\left( X \geqslant a\right)=P\left( X > a\right)=1-P\left( X \leqslant a\right)$
\end{enumerate}

\subsection{espérance mathématique} 

\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité $f$ sur l'intervalle $[a ; b]$, alors l'espérance mathématique de $X$ est le réel \[E(X)= \displaystyle\int_{a}^{b} t \times f(t)\dd t\]
}	

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip	

Calculons l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ mesurant la durée en heure du temps d'attente aux consultations dont la fonction de densité $f$ est définie sur $[0 ; 1,5]$ par $f(t)=\dfrac{64 t^3}{27}-\dfrac{64 t^2}{9}+\dfrac{16 t}{3}$. \[\begin{split} E(X) &= \displaystyle\int_{0}^{1,5} \dfrac{64 t^4}{27}-\dfrac{64 t^3}{9}+\dfrac{16 t^2}{3} \dd t\\
&= \left[ { \dfrac{64 t^5}{135}-\dfrac{16 t^4}{9}+\dfrac{16 t^3}{9}}\right]_{0}^{1,5}\\
&=3,6-9+6\\
&=0,6\\
\end{split}\] 
Le temps d'attente moyen aux consultations est de 0,6 h soit 36 minutes. 

\subsection{probabilité conditionnelle} 

\cadreR{%
Soient $X$ une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité $f$ sur un intervalle $I$, $J_1$ et $J_2$ deux intervalles de $I$ tel que $P\left( X \in J_1\right) \ne 0$. 

La probabilité conditionnelle de l'évènement $X \in J_2$ sachant que l'évènement $X \in J_1$ est réalisé est :\[P_{X \in J_1}\left( X \in J_2\right)=\dfrac{P\left( X \in J_1 \cap J_2\right)}{P\left( X \in J_1\right)}\]
} 

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip	

Calculons la probabilité que le temps d'attente d'une personne soit inférieur à une heure sachant qu'elle a patienté plus d'une demi-heure. 

Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle $P_{X > 0,5}\left( X < 1\right)$. $J_1=] 0,5 ; 1,5]$, $J_2=[ 0 ; 1[$ et $J_1 \cap J_2=]0,5 ; 1[$  d'où \[P_{X > 0,5}\left( X < 1\right) = \dfrac{P\left( 0,5< X < 1 \right)}{P\left( X > 0,5 \right)}= \dfrac{\dfrac{13}{27}}{\dfrac{16}{27}}=\dfrac{13}{16}=0,8125\] 
Ainsi, la probabilité que le temps d'attente d'une personne qui a patienté plus d'une  demi-heure soit inférieur à une heure est égale à 0,8125.

\section{loi uniforme} 

\subsection{définition}

\cadreR{%
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. 

Dire qu'une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ signifie que sa densité de probabilité est la fonction $f$ définie sur $\left[a;b\right]$ par $f(t)=\dfrac{1}{b-a}$.
} 

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(8,3)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(8,3)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](1.5,2)(6.5,2)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2)(0,2)  
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](6.5,0)(6.5,2) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[d](1.5,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}  \uput[d](6.5,0){\footnotesize{\prune{$b$}}}\uput[l](0,2){\footnotesize{\prune{$\dfrac{1}{b-a}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

La fonction $f$ définie sur $\left[a;b\right]$ par $f(t)=\dfrac{1}{b-a}$ est une densité de probabilité sur $\left[a;b\right]$ :
\begin{itemize}
\item $f$ est continue et positive sur $\left[a;b\right]$.
\item $\displaystyle\int_{a}^{b} \dfrac{1}{b-a} \dd t = \left[ { \dfrac{t}{b-a}}\right]_{a}^{b}=\dfrac{b}{b-a}-\dfrac{a}{b-a}=1$.
\end{itemize}

\subsection{propriété} 

\cadreR{%
$X$ est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle $\left[a;b\right]$.

Pour tout intervalle $\left[c;d\right]$ inclus dans $\left[a;b\right]$, $P\left( c \leqslant X \leqslant d \right)=\dfrac{d-c}{b-a}$.
}

\dem

\[\begin{split} P\left( c \leqslant X \leqslant d \right) &= \displaystyle\int_{c}^{d} \dfrac{1}{b-a} \dd t =  \left[ \dfrac{t}{b-a}\right]_{c}^{d}\\
&=\dfrac{d}{b-a}-\dfrac{c}{b-a}=\dfrac{d-c}{b-a}\\
\end{split}\] 

\subsection{espérance mathématique} 

\cadreR{%
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. 

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire  $X$ suivant une loi uniforme sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ est le réel \[E(X)=\dfrac{a+b}{2}\]
}	

\dem

Par définition : \[\begin{split} E(X) &= \displaystyle\int_{a}^{b} t \times \dfrac{1}{b-a} \dd t =  \left[ \dfrac{t^2}{2\left({b-a}\right)}\right]_{a}^{b}\\
&=\dfrac{b^2-a^2}{2\left({b-a}\right)}=\dfrac{\left({b-a}\right)\left({b+a}\right)}{2\left({b-a}\right)}=\dfrac{a+b}{2}\\
\end{split}\] 

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Le temps d'attente $T$, en minutes, auprès du standard téléphonique du service après vente d'une entreprise suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0,5;9,5\right]$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit inférieur à 2 minutes ?
\item Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit supérieur à 3 minutes ?
\item Quel est le temps d'attente moyen auprès du standard téléphonique ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{Solution}}

\medskip

La variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0,5;9,5\right]$, donc la densité de probabilité est la fonction $f$ définie sur $\left[0,5;9,5\right]$ par $f(t)=\dfrac{1}{9,5-0,5}=\dfrac{1}{9}$.

\medskip

Le temps d'attente $T$, en minutes, auprès du standard téléphonique du service après vente d'une entreprise suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0,5;9,5\right]$.

\begin{enumerate}
\item La probabilité que le temps d'attente soit inférieur à 2 minutes est $P\left( X \leqslant 2 \right)=\dfrac{2-0,5}{9}=\dfrac{1}{6}$.
\item La probabilité que le temps d'attente soit supérieur à 3 minutes est $P\left( X \geqslant 3 \right)=\dfrac{9,5-3}{9}=\dfrac{13}{18}$.
\item L'espérance mathématique de $T$ est $E(T)=\dfrac{0,5+9,5}{2}=5$.

Le temps d'attente moyen auprès du standard téléphonique est de 5 minutes.
\end{enumerate}

   \section{loi normale} 
   
   \subsection{vers une approximation de la loi binomiale}	 
   
    \subsubsection{rappel}
    
\cadreB{Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathcal{B}(n;p)$. 
    
    L'espérance mathématique est $E(X)=np$ ; l'écart-type est $\sigma(X) =\sqrt{np(1-p)}$.} 
    
    \subsubsection{la fonction de Gauss}	
    

 Soit $\left( X_{n}\right)$ une suite de variables aléatoires  suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et de même probabilité $p$. 
  
 On s'intéresse à la loi de probabilité de la variable aléatoire  $Z_{n}=\dfrac{X_{n}-E\left(X_{n}\right)}{\sigma_{n}}=\dfrac{X_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}$. 
 
La variable aléatoire $Z_{n}$ prend les valeurs suivantes :\[z_{k}=\dfrac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}} \quad \text{où } k \text{ est un entier naturel tel que } 0 \leqslant k \leqslant n\]
Pour tout entier naturel $k$ compris entre 0 et $n$ on a :\[P\left( Z_{n}=z_{k}\right)=P\left( \dfrac{X_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}=\dfrac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)=P\left( X_{n}=k\right)=p_{k}\]
Ainsi, quand $X_{n}$ prend la valeur $k$ avec la probabilité $p_{k}$, alors $Z_{n}$ prend la valeur $\dfrac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ avec la même probabilité $p_{k}$.

On a représenté graphiquement ci-dessous, pour  $X_{n} \in \left[ E\left(X_{n}\right)-3\sigma_{n} ; E\left(X_{n}\right)+3\sigma_{n} \right]$, les lois de probabilité de $X_{n}$ et de $Z_{n}$ pour $n=36$ et $n=400$ avec $p=0,2$.


La loi de probabilité de $Z_{n}$ est représentée à l'aide d'un histogramme. 

L'aire de chaque rectangle centré sur la valeur $z_k$ est égale à la probabilité $P\left( Z_{n}=z_{k}\right)=p_{k}$, il s'ensuit que chaque rectangle a pour dimensions  $\sigma_{n}\times P\left( X_{n}=k\right)$ et $\dfrac{1}{\sigma_{n}}$.
\begin{center}
\psset{xunit=3.3mm, yunit=25cm}
\begin{pspicture}(-3,-.06)(20,.18)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(10,-.032){\footnotesize{Loi binomiale de paramètres $n=36$ et $p=0,2$}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=3, Dy=0.02,comma]{->}(0,0)(20,.18)
\psBinomial[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=bleu,barwidth=0.1]{0,15,36}{0.2}% 
\end{pspicture}
\hfill
\psset{xunit=1.2cm, yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-.15)(3.2,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(.1,-.08){\footnotesize{Loi de probabilité de $Z_{36}=\dfrac{X_{36}-7,2}{2,4}$}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,comma]{->}(0,0)(-3,0)(3.2,.45)
\psBinomialN[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,markZeros]{36}{0.2}% 
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-3}{3}
% \psBinomialN[linecolor=prune,linewidth=.75pt,showpoints=false ,plotstyle=curve,dotscale=.75]{36}{0.2}% 
\savedata{\donnees}[{{-3,0.000779},{-2.583,0.00701},{-2.167,0.030667},{-1.75,0.08689},{-1.333,0.17921},{-0.917,0.286736},{-0.5,0.370368},{-0.083,0.396823},{0.333,0.359621},{0.75,0.279705},{1.167,0.188801},{1.583,0.111564},{2,0.058106},{2.417,0.026818},{2.833,0.011015},{3.25,0.004039}}]
\listplot[linewidth=1pt,showpoints=true,linecolor=red,dotscale=.75,plotstyle=LineToXAxis,linestyle=dotted,dotsep=2pt]{\donnees} 
\psbrace[ref=tC,rot=90,braceWidth=.5pt,linecolor=red,braceWidthInner=2.5pt,braceWidthOuter=2.5pt,nodesepB=1pt](-1.54,0)(-1.125,0){\red{\footnotesize{$\frac{1}{2,4}$}}}
\rput[l]{90}(-1.3,.19){\red{\footnotesize{$2,4\times P\left( X_{36}=4\right)$}}}
\end{pspicture*}



\psset{xunit=1.16mm, yunit=85cm}
\begin{pspicture}(42,-.0176)(110,.054)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(80,-.009){\footnotesize{Loi binomiale de paramètres $n=400$ et $p=0,2$}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=50,Dx=5, Dy=0.005,comma]{->}(50,0)(110,.054)
\psBinomial[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=bleu,barwidth=0.2]{56,104,400}{0.2}% 
\end{pspicture}
\hfill
\psset{xunit=1.2cm, yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-.15)(3.2,.459)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(.1,-.08){\footnotesize{Loi de probabilité de $Z_{400}=\dfrac{X_{400}-80}{8}$}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,comma]{->}(0,0)(-3,0)(3.2,.459)
\psBinomialN[linewidth=.25pt,linecolor=bleu,markZeros]{400}{0.2}%
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-3}{3}
\savedata{\donnees}[{{-3,0.00340},{-2.875,0.00514},{-2.75,0.00759},{-2.625,0.01100},{-2.5,0.01563},{-2.375,0.02179},{-2.25,0.02978},{-2.125,0.03994},{-2,0.05258},{-1.875,0.06795},{-1.75,0.08622},{-1.625,0.10746},{-1.5,0.13156},{-1.375,0.15825},{-1.25,0.18708},{-1.125,0.21738},{-1,0.24832},{-0.875,0.27894},{-0.75,0.30815},{-0.625,0.33486},{-0.5,0.35799},{-0.375,0.37659},{-0.25,0.38986},{-0.125,0.39726},{0,0.39851},{0.125,0.39359},{0.25,0.38279},{0.375,0.36665},{0.5,0.34591},{0.625,0.32149},{0.75,0.29439},{0.875,0.26563},{1,0.23620},{1.125,0.20701},{1.25,0.17883},{1.375,0.15230},{1.5,0.12788},{1.625,0.10588},{1.75,0.08645},{1.875,0.06962},{2,0.05529},{2.125,0.04332},{2.25,0.03349},{2.375,0.02554},{2.5,0.01922},{2.625,0.01427},{2.75,0.01046},{2.875,0.00756},{3,0.00540}}]
\listplot[showpoints=true,linecolor=red,dotscale=.5,plotstyle=dots]{\donnees} 
\end{pspicture*}
\end{center}

La \og courbe en cloche \fg{} est la courbe représentative de la fonction de Gauss définie pour tout réel $x$ par \[f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\]	


Quand $n$ est de plus en plus grand, les aires des rectangles deviennent de plus en plus proches des aires correspondantes limitées par la courbe représentant la fonction de Gauss  : \[P\left( a \leqslant Z_{n} \leqslant b \right)\approx\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\dd x\] 

   \subsection{loi normale centrée réduite}
   
   \subsubsection{définition}
   
   \cadreR{%
Dire qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite notée $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ signifie que sa densité de probabilité est la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}$.
} 
\subsubsection{courbe représentative}

\begin{minipage}{.5\linewidth}
Pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$, la courbe représentative de la densité $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=1cm, yunit=8cm}
\begin{pspicture}(-4,-.02)(4,.43)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,comma]{->}(0,0)(-3.99,0)(4,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-3.99}{4}
 \psset{linewidth=.5pt,linecolor=bleu}
 \pnode(0,.4){A}
 \rput(2.5,.45){\ovalnode{B}{\bleu{\scriptsize{$f(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx 0,4$}}}} 
 \ncarc[arcangle=-12]{->}{B}{A}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\subsubsection{espérance et écart-type de la loi normale centrée réduite}

\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ on a : $E(X)=0$ et $\sigma(X)=1$.
} 

\subsubsection{propriété}

\begin{minipage}{.5\linewidth}
La courbe de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc les mesures des aires égales aux probabilités $P\left( X \leqslant 0\right)$ et $P\left( X \geqslant 0\right)$ sont égales, d'où  $P\left( X \leqslant 0\right) = P\left( X \geqslant 0\right)$.

Comme $P\left( X \leqslant 0\right) + P\left( X > 0\right) = 1$, on en déduit que \[P\left( X \leqslant 0\right) = P\left( X \geqslant 0\right)=\dfrac{1}{2}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=1cm, yunit=8cm}
\begin{pspicture}(-4,-.1)(4,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.99}{0} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](0,0)(-3.99,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{0}{4}\gsave
\psline(4,0)(0,0)
\fill[fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,comma]{->}(0,0)(-3.99,0)(4,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.99}{4}
 \pnode(-1,.15){A}\pnode(1,.15){B}
 \rput[tl](-3,.25){\rnode{G}{\bleu{\scriptsize{$P\left( X \leqslant 0\right)$}}}} 
 \rput[tr](3,.25){\rnode{D}{\prune{\scriptsize{$P\left( X \geqslant 0\right)$}}}} 
  \ncline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{->}{G}{A}\ncline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{->}{D}{B}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ on a : \[P\left( X \leqslant 0\right) = P\left( X \geqslant 0\right)=\dfrac{1}{2}\]
}
\subsubsection{intervalle associé à une probabilité donnée}

\begin{minipage}{.7\linewidth}
\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$.

Pour tout réel $\alpha \in ] 0 ; 1 [$ il existe un unique réel positif $u_{\alpha}$ tel que  : $P\left( -u_{\alpha}\leqslant  X \leqslant u_{\alpha} \right)=1-\alpha$.
}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.25\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=.6cm, yunit=4.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-.05)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.3}{1.3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](1.3,0)(-1.3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
 \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{$1-\alpha$}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt,labels=none,Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.02)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.3,0)(-1.3,.171)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.3,0)(1.3,.171)
  \uput[d](-1.3,0){\prune{\scriptsize{$-u_\alpha$}}}\uput[d](1.3,0){\prune{\scriptsize{$u_\alpha$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\medskip

On retient en particulier : 

\medskip

\psframebox[linewidth=0.25pt,framearc=0.1]{
\begin{minipage}{.7\linewidth}
Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ alors :
 \[P\left( -1,96 \leqslant X \leqslant 1,96\right) \approx 0,95\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.3\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=.6cm, yunit=4.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-.05)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.96}{1.96} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](1.96,0)(-1.96,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
   \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\bf{\scriptsize{\phantom{0,95}}}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,labels=x,comma]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.96,0)(-1.96,.058)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.96,0)(1.96,.058)
 \rput(0,.15){\prune{\bf{\scriptsize{0,95}}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
}
\subsubsection{calculs}

Il n'est pas possible de déterminer les primitives de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ à l'aide de fonctions usuelles. 

On peut néanmoins  calculer des valeurs approchées des intégrales $\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\dd x$ par des méthodes numériques, disponibles dans les calculatrices et permettant d'obtenir directement des valeurs approchées de certaines probabilités liées à la loi normale.
 
\medskip

Du fait de la symétrie de la courbe de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$, pour calculer $P\left( X \leqslant a \right)$ ou $P\left( X \geqslant a \right)$, on peut utiliser la méthode suivante :

\medskip

{\footnotesize{\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textsf{\textbf{Probabilité}} &$P\left( X \leqslant a \right)$ avec $a<0$ & $P\left( X \leqslant a \right)$ avec $a>0$ & $P\left( X \geqslant a \right)$ avec $a<0$ & $P\left( X \geqslant a \right)$ avec $a>0$\\ \hline
\textsf{\textbf{Graphique}} &\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.15)(3,.46)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{-1} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](-1,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.05)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1,0)(-1,.24)
  \uput[d](-1,0){\prune{\scriptsize{$a$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
  \rput(0,-.1){\prune{\scriptsize{$a<0$}}}
\end{pspicture}  & \psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.15)(3,.46)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{1} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](1,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
  \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.05)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200,linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1,0)(1,.24)
  \uput[d](1,0){\prune{\scriptsize{$a$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
  \rput(0,-.1){\prune{\scriptsize{$a>0$}}}
\end{pspicture} & 
\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.15)(3,.46)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](3,0)(-1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
  \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.05)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200,linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1,0)(-1,.24)
  \uput[d](-1,0){\prune{\scriptsize{$a$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
  \rput(0,-.1){\prune{\scriptsize{$a<0$}}}
\end{pspicture} &
 \psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.15)(3,.46)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{1}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](3,0)(1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
  \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.05)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200,linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1,0)(1,.24)
  \uput[d](1,0){\prune{\scriptsize{$a$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
  \rput(0,-.1){\prune{\scriptsize{$a>0$}}}
\end{pspicture}\\\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textsf{\textbf{Calcul}} &$0,5-P\left( a< X < 0 \right)$ & $0,5+P\left( 0 <  X \leqslant a \right)$ & $0,5+P\left( a \leqslant  X < 0  \right)$ & $0,5-P\left( 0< X <a \right)$\\ \hline
\end{tabularx}}}

   \subsection{loi normale}
   
   \subsubsection{définition}

\cadreR{%
Soit $\mu$ un réel et $\sigma$ un réel strictement positif. Dire qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance  $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, signifie que la variable aléatoire $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$.

On note : $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma^{2}\right)$.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarques :}}}

\medskip

\begin{itemize}
\item Si $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type  $\sigma$ alors sa variance $V(X)=\sigma^{2}$.
\item La densité associée à une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type  $\sigma$ est la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$.

\begin{minipage}{.55\linewidth}\item L'espérance $\mu$ de la loi normale est un paramètre de position : la courbe représentative de la fonction de densité admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=\mu$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.4\linewidth}
\begin{flushright} 
\psset{xunit=.6cm, yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-5,-.1)(6,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{vert}{0.06 0.43 .08}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-5,-.02)(6,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=-1.58, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=vert]{-5}{2}
  \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
   \psGauss[sigma=1, mue=2.75, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-1}{6}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=vert,linestyle=dashed](-1.58,0)(-1.58,.45)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](2.75,0)(2.75,.45)
\uput[d](-1.58,0){\vert{\scriptsize{$\mu=-1,58$}}}\uput[d](2.75,0){\prune{\scriptsize{$\mu=2,75$}}}\uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\begin{minipage}{.55\linewidth}\item L'écart-type $\sigma >0$ de la loi normale  est un paramètre de dispersion : plus $\sigma$ est élevé, plus les réalisations de $X$ sont dispersées autour de $\mu$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.4\linewidth}
\begin{flushright} 
\psset{xunit=.6cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-.05)(5.5,.6)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{vert}{0.06 0.43 .08}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(-3.5,0)(-5.5,-.02)(5.5,.6)
 \psGauss[sigma=2.5, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=vert]{-5.5}{5.5}
  \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
   \psGauss[sigma=.693, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.6)
\uput[l](5.5,.1){\vert{\scriptsize{$\sigma=2,5$}}}\uput[r](.4,.5){\prune{\scriptsize{$\sigma=0,693$}}}\uput[r](1.2,.2){\bleu{\scriptsize{$\sigma=1$}}}\uput[dl](-3.5,0){\scriptsize{$0$}}\uput[d](0,0){\scriptsize{$\mu$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
\end{itemize}

 \subsubsection{intervalles de fluctuation d'une loi normale}
 
 \psframebox[linewidth=0.25pt,framearc=0.1]{
\begin{minipage}{\linewidth}
Si la  variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type  $\sigma$ alors :

\begin{itemize}
\item $P\left( \mu -\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma\right) \approx 0,683$.
\item $P\left( \mu -2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma\right) \approx 0,954$.
\item $P\left( \mu -3\sigma \leqslant X \leqslant \mu+3\sigma\right) \approx 0,997$.
\end{itemize}

\psset{xunit=.75cm, yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-.2)(3.5,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1}{1} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](1,0)(-1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
   \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{68,3\%}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(-2.5,0)(-3.5,-.05)(3.5,.5)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
 \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1,0)(-1,.241)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1,0)(1,.241)
  \uput[dl](-2.5,0){\scriptsize{$0$}}\uput[d](0,0){\scriptsize{$\mu$}}\uput[d](-1,0){\prune{\tiny{$\mu-\sigma$}}}\uput[d](1,0){\prune{\tiny{$\mu+\sigma$}}}
   \rput(0,-.15){\footnotesize{$X\in \left[ \mu-\sigma ; \mu+\sigma \right]$}}
\end{pspicture}\hfill\psset{xunit=.75cm, yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-.2)(3.5,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-2}{2} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](2,0)(-2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
   \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{95,4\%}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(-2.5,0)(-3.5,-.05)(3.5,.5)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
 \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-2,0)(-2,.0539)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](2,0)(2,.0539)
  \uput[dl](-2.5,0){\scriptsize{$0$}}\uput[d](0,0){\scriptsize{$\mu$}}\uput[d](-2,0){\prune{\tiny{$\mu-2\sigma$}}}\uput[d](2,0){\prune{\tiny{$\mu+2\sigma$}}}
  \rput(0,-.15){\footnotesize{$X\in \left[ \mu-2\sigma ; \mu+2\sigma \right]$}}
\end{pspicture}
\hfill\psset{xunit=.75cm, yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-.2)(3.5,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](3,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
   \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{99,7\%}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(-2.5,0)(-3.5,-.05)(3.5,.5)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
 \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-3,0)(-3,.004)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](3,0)(3,.004)
  \uput[dr](-2.5,0){\scriptsize{$0$}}\uput[d](0,0){\scriptsize{$\mu$}}\uput[d](-3,0){\prune{\tiny{$\mu-3\sigma$}}}\uput[d](3,0){\prune{\tiny{$\mu+3\sigma$}}}
  \rput(0,-.15){\footnotesize{$X\in \left[ \mu-3\sigma ; \mu+3\sigma \right]$}}
\end{pspicture}
\end{minipage}
}

\subsubsection{loi normale et calculatrices}

Soit  $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type  $\sigma$. Les calculatrices disposent de commandes permettant de calculer :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X X}
\item $P\left( a \leqslant X \leqslant b\right)$ & \item Le réel $k$ tel que $P\left(  X \leqslant k\right) = \alpha$ avec $\alpha \in ]0 ;1[$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

Commandes spécifiques des calculatrices :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{2}{>{\sffamily}X|}} \cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{\normalsize{Sur TI}} & \multicolumn{1}{c|}{Sur Casio} \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textsf {Menu} & \footnotesize{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=blue!75]{\white{\scriptsize{2nde}}} puis sur la touche \rnode{A}{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=lightgray!40]{var}} \nput[labelsep=2pt]{90}{A}{\blue\tiny{{distrib}}}} &  \footnotesize{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=gray]{\white{\scriptsize{OPTN}}} puis \psframebox{\tiny{STAT}} \psframebox{\tiny{DIST}} \psframebox{\tiny{NORM}}}\\ \hline
$P\left( a \leqslant X \leqslant b\right)$ &  \footnotesize{\texttt{normalFrep}$(a,b,\mu,\sigma)$  ou \texttt{normalCdf}$(a,b,\mu,\sigma)$\par borninf : $a$ ; bornsup : $b$  puis, renseigner $\mu$ et $\sigma$} & \footnotesize{\psframebox{\tiny{Ncd}} \texttt{normCD($a$,$b$,$\sigma$,$\mu$)} \par Lower : $a$ ; Upper : $b$ puis, renseigner $\sigma$ et $\mu$}\\ \hline 
$P\left(  X \leqslant k\right) = \alpha$ &  \footnotesize{\texttt{FracNormale}$(\alpha,\mu,\sigma)$ ou \texttt{invNorm}$(\alpha,\mu,\sigma)$ \par aire : $\alpha$  puis, renseigner $\mu$ et $\sigma$}&  \footnotesize{\psframebox{\tiny{InvN}} \texttt{InvNormCD}$(\alpha,\sigma,\mu)$ \par Area : $\alpha$  puis, renseigner $\sigma$ et $\mu$}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

{\footnotesize{La variable $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left(125; 20,25 \right)$ d'espérance $\mu=125$ et d'écart-type $\sigma= \sqrt{20,25}=4,5$. 

Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités suivantes :

$P(122 \leqslant X \leqslant 128 )$ ;  \hfill $P(  X \leqslant 120 )$ ;  \hfill $P(  X \leqslant 129,5 )$ ;  \hfill $P(  X \geqslant 130,4 )$ ; \hfill $P(  X \geqslant 118,7 )$.

\item Déterminer le réel $a$ tel que $P\left( X \leqslant a \right) =0,871$. 
\item Déterminer le réel $b$ tel que $P\left(  X \geqslant b \right) =0,02$. 
\item Déterminer un intervalle $I$ de centre 125 tel que $P\left( X\in I\right)= 0,81$.
\end{enumerate}
}}
\begin{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice on trouve $P(122 \leqslant X \leqslant 128 )\approx 0,495$.

\begin{minipage}{.7\linewidth}
\item \[\begin{array}{lcl}
  P(  X \leqslant 120 ) &=& P(  X \leqslant 125 ) - P(120 < X \leqslant 125 )\\
&=&0,5-P(120 < X \leqslant 125 )\\
&\approx & 0,133 \\
\end{array}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.3\linewidth}
 \begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.1)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{-1.11} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](-1.11,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.11,0)(-1.11,.215)
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,.42)(-3,.42)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<->}(0,.107)(-1.11,.107)
  \uput[d](-1.11,0){\prune{\tiny{$120$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}}\uput[u](-1.5,.4){\bleu{\tiny{$0,5$}}}
\end{pspicture}
 \end{flushright}
\end{minipage}

\begin{minipage}{.7\linewidth}
\item \[\begin{array}{lcl}
  P(  X \leqslant 129,5 ) &=& P(  X \leqslant 125 ) + P(125 < X \leqslant 129,5 )\\
&=&0,5+P(125 < X \leqslant 129,5 )\\
&\approx & 0,841 \\
\end{array}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.3\linewidth}
 \begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.1)(3,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{1} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](1,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1,0)(1,.2419)
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,.42)(-3,.42)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<->}(0,.107)(1,.107)
  \uput[d](1,0){\prune{\tiny{$129,5$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}}\uput[u](-1.5,.4){\bleu{\tiny{$0,5$}}}
\end{pspicture}
 \end{flushright}
\end{minipage}

\begin{minipage}{.7\linewidth}
\item \[\begin{array}{lcl}
  P(  X \geqslant 130,4 ) &=& P(  X \geqslant 125 ) - P(125 \leqslant X < 130,4 )\\
&=&0,5-P(125 \leqslant X < 130,4 )\\
&\approx & 0,115 \\
\end{array}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.3\linewidth}
 \begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.1)(3,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{1.2}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](3,0)(1.2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.2,0)(1.2,.194)
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,.42)(3,.42)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<->}(0,.097)(1.2,.097)
  \uput[d](1.2,0){\prune{\tiny{$130,4$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}}\uput[u](1.5,.4){\bleu{\tiny{$0,5$}}}
\end{pspicture}
 \end{flushright}
\end{minipage}

\begin{minipage}{.7\linewidth}
\item \[\begin{array}{lcl}
  P(  X \geqslant 118,7 ) &=& P(118,7 \leqslant X \leqslant 125 )+P(  X > 125 ) \\
&=&0,5+ P(118,7 \leqslant X \leqslant 125 )\\
&\approx & 0,919 \\
\end{array}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.3\linewidth}
 \begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(3,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.4}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](3,0)(-1.4,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.4,0)(-1.4,.149)
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,.42)(3,.42)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<->}(0,.075)(-1.4,.075)
  \uput[d](-1.4,0){\prune{\tiny{$118,7$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}}\uput[u](1.5,.4){\bleu{\tiny{$0,5$}}}
\end{pspicture}
 \end{flushright}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\item Avec la calculatrice, $P\left( X \leqslant a \right) =0,871$ pour $a\approx 130,09$. 
\item La calculatrice permet de résoudre l'équation $P\left(  X \leqslant k\right) = \alpha$ avec $\alpha \in ] 0 ; 1[$. Or \[P\left(  X \geqslant b \right) =0,02 \iff 1-P\left(  X < b \right) =0,02 \iff P\left(  X < b \right) =0,98\]

Soit en utilisant la calculatrice $b\approx 134,242$.
\item Un intervalle $I$ de centre 125 est de la forme $[ 125 - a ; 125 + a ]$ où $a$ est un réel positif.

On cherche donc le réel $a$ tel que $P\left( 125 - a \leqslant X \leqslant 125 + a \right)= 0,81$.

\begin{minipage}{.65\linewidth}
La courbe de la fonction de densité de la loi normale  $\mathcal{N}\left( 125 ; 4,5^2\right)$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=125$.

On en déduit que : \[\begin{split}P\left( 125 - a \leqslant X \leqslant 125 + a \right)= 0,81 &\iff 1-2 \times P\left(  X < 125 - a \right) =0,81\\ &\iff P\left(  X < 125 - a \right) =\dfrac{1-0,81}{2}=0,095\end{split}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.35\linewidth}
 \begin{flushright}
\psset{xunit=.65cm, yunit=6cm}
\begin{pspicture}(-3,-.1)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.31}{1.31} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](1.31,0)(-1.31,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{-1.31}\gsave
\psline(-1.31,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{1.31}{3}\gsave
\psline(3,0)(1.31,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\rput(0,.169){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{81\%}}}}
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.31,0)(-1.31,.169)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.31,0)(1.31,.169)
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{->}(-1.31,.169)(-3,.169) \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{->}(1.31,.169)(3,.169)
  \uput[d](-1.31,0){\prune{\tiny{$125-a$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}} \uput[d](1.31,0){\prune{\tiny{$125+a$}}}
  \uput[u](-2.15,.16){\prune{\tiny{$9,5\%$}}}\uput[u](2.15,.16){\prune{\tiny{$9,5\%$}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}


Soit en utilisant la calculatrice $125-a\approx 119,102$ d'où $a\approx 5,898$ et $125+a\approx 130,898$.

Donc $I=[ 119,102 ; 130,898 ]$ (ou avec les bornes de l'intervalle arrondies à $10^{-1}$ près, $I=[ 119,1 ; 130,9 ]$)
\end{enumerate}


\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

\medskip 

Trouver l'intervalle associé à une probabilité donnée avec la calculatrice \textsf {\textbf{TI-83} Premium CE} (système d'exploitation 5.3)

La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu=125$ et d'écart-type $\sigma=4,5$



\begin{center}
\textsf {Menu \footnotesize{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=blue!75]{\white{\scriptsize{2nde}}} puis sur la touche \; \rnode{A}{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=lightgray!40]{var}} \nput[labelsep=2pt]{90}{A}{\blue\tiny{{distrib}}}} \; option 3 : invNormale ( }
\end{center}


\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
$P\left( X \leqslant a \right) =0,867$ & $P\left( a \leqslant X \leqslant b \right) =0,88$ &	$P\left( X \geqslant a \right) =0,94$ \\
 \psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.1)(3,.6)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{1.112} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](1.112,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.112,0)(1.12,.2149)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](1.112,.2149)(1.112,.5)\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<-}(-3,.47)(1.112,.47)
  \uput[d](1.112,0){\prune{\tiny{$a$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}}\uput[u](-.944,.45){\prune{\tiny{$0,867$}}}
\end{pspicture} & \psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.1)(3,.6)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.5547}{1.5547} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](1.5547,0)(-1.5547,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.5547,0)(1.5547,.119)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.5547,0)(-1.5547,.119)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](-1.5547,.12)(-1.5547,.5)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](1.5547,.12)(1.5547,.5)\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<->}(-1.5547,.47)(1.5547,.47)
  \uput[d](-1.5547,0){\prune{\tiny{$a$}}}\uput[d](1.5547,0){\prune{\tiny{$b$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}}\uput[u](0,.45){\prune{\tiny{$0,88$}}}
\end{pspicture} &  \psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
 \begin{pspicture}(-3,0)(3,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.5547}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](3,0)(-1.5547,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.5547,0)(-1.5547,.119)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](-1.5547,.119)(-1.5547,.5)\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{->}(-1.5547,.47)(3,.47)
  \uput[d](-1.5547,0){\prune{\tiny{$a$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}}\uput[u](.722,.45){\prune{\tiny{$0,94$}}}
\end{pspicture} \\ \hline

\texttt{\psframebox*[fillcolor=darkgray]{\white{\scriptsize{invNormale}}}}
\begin{flushleft}
 \footnotesize{\textsf{aire : 0.867}}
 
\footnotesize{\textsf{$\mu$ : 125}}
 
 \footnotesize{\texttt{$\sigma$ : 4.5}}
 
 \footnotesize{\textsf{Zone : \psframebox*[fillcolor=darkgray]{\white{\scriptsize{GAUCH}}}\hspace{1em}CTR\hspace{1em}DROIT}}
 \end{flushleft}
 & \texttt{\psframebox*[fillcolor=darkgray]{\white{\scriptsize{invNormale}}}}
\begin{flushleft}
 \footnotesize{\textsf{aire : 0.88}}
 
\footnotesize{\textsf{$\mu$ : 125}}
 
 \footnotesize{\texttt{$\sigma$ : 4.5}}
 
 \footnotesize{\textsf{Zone : GAUCH \hspace{1em}\psframebox*[fillcolor=darkgray]{\white{\scriptsize{CTR}}}\hspace{1em}DROIT}}
 \end{flushleft} & \texttt{\psframebox*[fillcolor=darkgray]{\white{\scriptsize{invNormale}}}}
\begin{flushleft}
 \footnotesize{\textsf{aire : 0.94}}
 
\footnotesize{\textsf{$\mu$ : 125}}
 
 \footnotesize{\texttt{$\sigma$ : 4.5}}
 
 \footnotesize{\textsf{Zone : GAUCH \hspace{1em}CTR\hspace{1em}\psframebox*[fillcolor=darkgray]{\white{\scriptsize{DROIT}}}}}
 \end{flushleft}\\\hline
 
 $a\approx 130$ &  $a\approx 118$ et  $b\approx 132$ & $a\approx 118$\\ \hline
\end{tabularx}

 
\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane septembre 2016})

 \medskip 


La fonction $f$ est définie sur $[0 ; 1]$ par $f(x) = 2x$.

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi de probabilité dont la fonction de densité est $f$.

Cette fonction de densité est représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=2.7cm, yunit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(1.5,2.1)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.5pt,linestyle=dashed,linewidth=.75pt,linecolor=prune](0.5,0)(0.5,1)(1,2)(1,0)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.5,2.2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](0,0)(1,2)
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur, en unité d'aire, de la surface hachurée ? Préciser la démarche utilisée.
		\item Interpréter ce résultat en terme de probabilité.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P(0 \leqslant X \leqslant 0,75)$.
\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip
 
 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle  $\left[47;55\right]$ par $f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{4}-\dfrac{47}{4} & \text{si } 47 \leqslant x <48 \\ -\dfrac{x}{28}+\dfrac{55}{28} & \text{si } 48 \leqslant x \leqslant 55\end{cases}$ .
 
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(10,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{x/4}
\def\g{2/7-x/28}
\rput(4,-2){\footnotesize{Courbe représentative de la fonction $f$}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(10,6)
\pspolygon[linewidth=0.75pt, linecolor=prune,fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair](2.4,0)(2.4,3.2)(3.8,2.4)(3.8,0)
\psset{xunit=.5cm,yunit=8cm}
\psaxes[yAxis=false,labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=8,Ox=47]{->}(0,0)(-2,0)(10,.375)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{8}{\g}
\uput[dl](1,.28){\scriptsize{$y=\dfrac{x}{4}-\dfrac{47}{4}$}}
\uput[dr](5,.2){\scriptsize{$y=-\dfrac{x}{28}+\dfrac{55}{28}$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une fonction de densité de probabilité sur l'intervalle  $\left[47;55\right]$.
\item La fonction $f$ est la densité de probabilité de la variable aléatoire $C$ mesurant la capacité en ml du volume d'eau de parfum contenue dans un flacon pris au hasard dans la production d'une entreprise. 

On a $C \in [47 ; 55]$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $C \in [49,4 ; 50,8]$.
\item Quelle est la probabilité que le flacon contienne moins de 50 ml d'eau de parfum ?
\item Calculer l'espérance mathématique de la variable $C$. Interpréter le résultat. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I=\displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{\e^{0,5x}}{2}  \:\dd x$.
\item En déduire que la fonction $f$ définie sur  $[0;2]$ par $f(x) =\dfrac{\e^{0,5x}}{2\e - 2} $ est une fonction de densité  sur $[0;2]$. 
\item Soit $X$ la variable aléatoire de densité de probabilité  $f$. La probabilité $P( X \geqslant 1,2 )$ est-elle supérieure à 0,5 ? 
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

\medskip

On s'intéresse à la fonction $f$  définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par  $f(x) =\ln x$.
  \begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
           \item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $F(x)=x\ln x - x$ est une primitive de la fonction $\ln$.           
           \item Trouver un nombre réel $a>1$ tel que $\displaystyle\int_{1}^{a}\ln x \dd x=1$.
	    \end{enumerate}
          
	  On peut alors considérer la fonction $\ln$ comme une densité de probabilité sur l'intervalle $[1 ; a]$.
   \item $X$ est une variable aléatoire suivant la loi de densité $\ln$ sur l'intervalle $[1 ; a]$.
	\begin{enumerate}
	 \item Calculer $p\left(X\leqslant 2\right)$.
	 \item Sachant que $X$ est supérieur à 2, calculer la probabilité que $X$ soit inférieur à 2,5.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

\medskip 

Dans un supermarché, le  temps d'attente $X$ à la caisse, exprimé en minutes, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[1;11]$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction de densité de probabilité  $f$  de la loi de $X$.
\item Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit compris entre trois  et cinq minutes ?
\item Quelle est la probabilité qu'un client attende plus de huit  minutes à la caisse ? 
\item Préciser le temps d'attente moyen à la caisse. 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo
 
 \medskip
 
 Soit $[AB]$ un segment de longueur 8 cm. On choisit au hasard un point $M$ sur le segment $[AB]$ et on note $D$ la variable aléatoire donnant la distance $AM$ en cm.
 
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $D$ ?
 \item Calculer la probabilité que le point $M$ :
 \begin{enumerate}
 \item soit le milieu $I$ du segment $[AB]$ ;
 \item soit à une distance inférieure à 3 cm du point $A$ ;
 \item soit plus près du point $B$ que du milieu $I$.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

 \bigskip
 
 \exo
 
\medskip
 
  Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère le segment $[AB]$ représentant la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1;5]$ par $f(x)=-0,4x+2,5$. On choisit au hasard un point $M$ sur le segment $[AB]$ et on note $m$ son abscisse.
  
 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{2.5-.4*x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(12,6)
\psset{unit=1cm} 
\pspolygon[linewidth=0.75pt, linecolor=prune,fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair,linestyle=dashed](1,0)(1,2.1)(3.3,1.18)(3.3,0)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(6,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{5}{\f}
\psline[linewidth=0.75pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](5,0)(5,.5)
\uput[ul](1,2.1){\scriptsize{\bleu{$A$}}}\uput[ur](5,.5){\scriptsize{\bleu{$B$}}}
\uput[d](3.3,0){\scriptsize{\prune{$m$}}}\uput[u](3.3,1.18){\scriptsize{\prune{$M$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \begin{enumerate}
\item Soit $E$ l'évènement \og l'aire de la partie du plan comprise entre le segment $[AB]$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=m$ est inférieure à 4\fg{}.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la situation relève d'une loi uniforme sur un intervalle $[a;b]$ que l'on précisera.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $E$.
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $F$ \og l'aire de la partie du plan comprise entre le segment $[AB]$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=m$ est supérieure à 1\fg{}. 
\end{enumerate}

 \bigskip
 
 \exo

 \medskip 


Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 \% des clients ont choisi l'option \og Livraison Express \fg{}. 

On prélève au hasard et de manière indépendante 600 bons de commande. 

On note $X$ la variable aléatoire qui associe le nombre de bons  portant la mention  \og Livraison Express \fg{}. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi probabilité de $X$. Quelle est son espérance mathématique ?
\item On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X-240}{12}$ par la loi normale centrée réduite. On note $Z$ une variable aléatoire suivant  la loi normale centrée réduite.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(225 \leqslant X \leqslant 270 )=P(-1,25 \leqslant Z \leqslant 2,5 )$.

Quelle est la probabilité, arrondie à  $10^{-3}$ près, que le nombre de bons portant la mention  \og Livraison Express \fg{} soit compris entre 225 et 270 ?
\item Déterminer la probabilité qu'au moins 276  bons portent la mention  \og Livraison Express \fg{}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

La variable $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left(180; 10,5^2 \right)$. Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités suivantes :

$P(170 \leqslant X \leqslant 200 )$ ;  \hfill $P(  X \leqslant 150 )$ ;  \hfill $P(  X \geqslant 160 )$ ; \hfill $P(  X \geqslant 190 )$.

\item Déterminer le réel $a$ tel que $P\left( X < a \right) =0,875$. 
\item Déterminer le réel $b$ tel que $P\left(  X \geqslant b \right) =\dfrac{3}{4}$. 
\end{enumerate}


\bigskip
% 
%  \exo  
%
%\medskip
% 
%Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes en aluminium. 
%
%La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit \og conforme pour la longueur \fg{} lorsque celle-ci appartient à l'intervalle $[245~;~255]$. 
% 
%\begin{center} 
%\emph{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à  $10^{- 3}$}
%\end{center}
%
%\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}
%
%\medskip
%
%Dans cette partie, on considère que  5\,\% des tubes ne sont pas conformes pour la longueur. 
%
%On prélève au hasard 50 tubes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50  tubes.
%
%\medskip
% 
%On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50 tubes, associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.
%
%\medskip
% 
%\begin{enumerate}
%\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
%\item Calculer la probabilité $P(X = 3)$. Interpréter le résultat.
%\item Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement deux tubes au moins ne sont pas conformes pour la longueur. 
%\end{enumerate}
%
%\medskip
%
%\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}
%
%\medskip
%
%On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur.
%
%
%On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne 250 et d'écart type 2,5.
%
%\medskip
% 
%\begin{enumerate}
%\item Calculer la probabilité qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit conforme pour la longueur. 
%
%\item Le contrôle de conformité mis en place rejette les tubes dont la longueur est inférieure à 245 millimètres.
%
%Quelle est la probabilité pour qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit rejeté par le contrôle de conformité ?
%\end{enumerate}
%
%\bigskip

\exo

\medskip

L'admission en première année d'un groupe d'écoles a lieu après une épreuve écrite et une épreuve orale selon les modalités suivantes :
\begin{itemize}
\item À l'issue de l'épreuve écrite,  60\% des candidats sont déclarés admissibles à l'oral.
\item $\dfrac{1}{3}$ des candidats admissibles sont  admis à la fin de l'épreuve orale.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un candidat soit admis.
\item On suppose que $n$ candidats se sont inscrits.
\begin{enumerate}
\item Déterminer en fonction de $n$, la probabilité $p_n$ qu'au moins un candidat soit admis.
\item Quel est le plus petit nombre $n$ de candidats inscrits pour que $p_n > 0,999$ ?
\end{enumerate}

\item Les épreuves d'admission ont lieu dans plusieurs centres, chaque centre gérant l'admission d'un groupe de 225 candidats.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à chaque groupe de 225 candidats associe le nombre de candidats admis.

On admet que la loi de probabilité de $X$ peut être approchée par la loi normale d'espérance $\mu =45$ et d'écart-type $\sigma=6$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que le nombre de candidats admis dans un centre soit compris entre 35 et 60.
\item Déterminer la probabilité que le nombre de candidats admis dans un centre soit inférieur à 30.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

 \bigskip

\exo

 \medskip 


\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

Un magasin vend deux sortes d'articles électroménager ou informatique. Pour chaque article une  extension de garantie est proposée lors de l'achat.

Une étude statistique sur les factures des ventes réalisées a permis d'établir que :
\begin{itemize}
\item L'électroménager représente 40 \% des ventes.
\item L'extension de garantie a été souscrite pour 12 \%  des appareils d'électroménager vendus et  pour 24 \%  des appareils du rayon informatique vendus.
\end{itemize}

On prélève au hasard la facture d'un appareil vendu. On note :

\begin{itemize}
\item $E$ l'évènement \og la facture est celle d'un appareil électroménager \fg
\item $G$ l'évènement \og une extension de garantie a été souscrite \fg
\end{itemize}

On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux évènements, la probabilité de l'évènement $A$ est notée $P (A)$ et celle de $A$ sachant $B$ est notée $P_B (A)$. De plus $\overline{A}$ désigne l'évènement contraire de $A$.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous associé à la situation de l'exercice :

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$E$}~}\naput{\bleu{0,4}}}
		{
\TR{\bleu{$G$}}\naput{\bleu \ldots}
\TR{\bleu{$\overline{G}$}}\nbput{\bleu \ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{E}$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$G$}}\naput{\bleu \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{G}$}}\nbput{\bleu{ \ldots}}
 		}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que la facture choisie soit celle d'un appareil électroménager vendu avec une extension de garantie.
\item Montrer que $P \left( G \right) = 0,192$.
\item Calculer $P_{G} (\overline{E})$ et interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\begin{center}
\emph{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à  $10^{-3}$ près.}
\end{center}

À la fin d'un mois, on s'intéresse au montant de l'ensemble des factures éditées pendant ce mois.

On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque facture prélevée au hasard dans l'ensemble des factures, associe son montant en euros. 

On suppose que la variable aléatoire $M$ suit la loi normale de moyenne $\mu=650$ et d'écart-type $\sigma=125$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $P(400 \leqslant M \leqslant  900)$.
\item  Pour les factures dont le montant est supérieur ou égal à $300$ euros le magasin propose le paiement en trois fois sans frais.

Calculer la probabilité qu'une facture prélevée au hasard dans l'ensemble des factures éditées pendant le mois puisse être réglée en trois fois sans frais.
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo

 \medskip 


\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}

 \medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Pour contacter une compagnie d'assurance, deux possibilités sont offertes :

\begin{itemize}
\item se rendre en agence ;
\item à distance par téléphone.
\end{itemize}
 
Le responsable du pôle \og satisfaction client \fg{} décide de réaliser une enquête afin de savoir si les clients qui se rendent à l'agence ou qui contactent la compagnie par téléphone sont satisfaits de l'accueil.
 
À l'issue de l'enquête, réalisée auprès de \np{1000} clients, les résultats sont les suivants :
 
\begin{itemize}
\item 380 se sont rendus en agence ;
\item parmi les clients qui se sont rendus en agence, 95 \% se sont déclarés satisfaits de l'accueil ;
\item parmi les clients qui ont téléphoné, 15 \% ont déclaré qu'ils n'étaient pas satisfaits de l'accueil.
\end{itemize}

On interroge au hasard un client. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $A$ : \og Le client s'est rendu en agence \fg
\item $S$ : \og Le client est satisfait de l'accueil \fg
\end{itemize}

On rappelle que l'évènement contraire de $A$ se note $\overline{A}$ , que la probabilité de l'évènement $A$ se note $P(A)$ et que la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé se note $P_B(A)$.

Dans toute cette partie, les probabilités seront arrondies à $10^{- 3}$, si nécessaire.


\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

\medskip

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$A$}~}\naput{\bleu{\ldots}}}
		{
\TR{\bleu{$S$}}\naput{\bleu 0,95}
\TR{\bleu{$\overline{S}$}}\nbput{\bleu \ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{A}$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$S$}}\naput{\bleu \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{S}$}}\nbput{\bleu{ \ldots}}
 		}
}
\end{center}
\item Calculer la probabilité que le client se soit rendu en agence et qu'il ait été satisfait de l'accueil.
\item Montrer que la probabilité de $S$ est  0,888.
\item Sachant que le client a été satisfait, quelle est la probabilité qu'il se soit rendu en agence ?
\end{enumerate}

 \medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

La compagnie d'assurances s'intéresse aux coûts des sinistres susceptibles de survenir en 2016 sur les véhicules qu'elle assure. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque sinistre associe son coût en euros.

L'étude des années précédentes permet de supposer que $X$ suit la loi normale d'espérance \np{1200} et d'écart type $200$.

\begin{enumerate}
\item La compagnie estime que pour l'année 2016, elle devra faire face à \np{10000} sinistres. À combien peut-elle estimer le coût de l'ensemble de ces sinistres ?
\item Sans utiliser la calculatrice, expliquer pourquoi on peut estimer qu'environ 95 \% des sinistres auront un coût compris entre 800 et \np{1600} euros.
\item Calculer $P(X > \np{1000})$. Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$.
\item À l'aide de la calculatrice, estimer la valeur du nombre réel $a$, arrondi à l'unité, vérifiant $P \left(X \geqslant a\right) = 0,04$.

 Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice.
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Amérique du Nord 2017})

 \medskip 


D'après l'AFDIAG (Association Française Des Intolérants au Gluten), la maladie c\oe liaque, aussi appelée intolérance au gluten, est une des maladies digestives les plus fréquentes. Elle touche environ 1\,\% de la population.

On estime que seulement 20\,\% des personnes intolérantes au gluten passent le test pour être diagnostiquées.

On considère que si une personne n'est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test pour être diagnostiquée.

On choisit au hasard une personne dans la population française qui compte environ $66,6$ millions d'habitants au 1\up{er} janvier 2016.

On considère les évènements :


\begin{itemize}
\item $I$ : \og la personne choisie est intolérante au gluten \fg{} ;
\item $T$ : \og la personne choisie passe le test pour être diagnostiquée \fg.
\end{itemize}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$I$}~}\naput{\ldots}}
		{
\TR{\bleu{$T$}}\naput{\bleu \ldots}
\TR{\bleu{$\overline{T}$}}\nbput{\bleu \ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{I}$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$T$}}\naput{\bleu{0}}
\TR{~\bleu{$\overline{T}$}}\nbput{\bleu{1}}
 		}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée.
\item Montrer que $p(T) = 0,002$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

L'AFDIAG a fait une enquête et a constaté que la maladie cœliaque était diagnostiquée en moyenne 11 ans après les premiers symptômes.

On note $X$ la variable aléatoire représentant le temps en années mis pour diagnostiquer la maladie cœliaque à partir de l'apparition des premiers symptômes.

On admet que la loi de $X$ peut être assimilée à la loi normale d'espérance $\mu = 11$ et d'écart-type $\sigma = 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre 9 ans et 13 ans après les premiers symptômes. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\item Calculer $p(X \leqslant 6)$. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\item Sachant que $p(X \leqslant a) = 0,84$, donner la valeur de $a$ arrondie à l'unité.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d'espérance $\mu = 11$ et d'écart-type $\sigma = 4$ ? Justifier le choix. On pourra s'aider des réponses aux questions précédentes.

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm, yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-.5)(29.5,5.25)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\multido{\n=-4+1}{34}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,0)(\n,5.25)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](-4.5,\n)(29.5,\n)}
\psset{xunit=.5cm, yunit=60cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=.02]{->}(0,0)(-4.5,0)(29.5,.105)
 \psGauss[sigma=4, mue=4, linewidth=1.25pt,plotpoints=500, linecolor=bleu]{-4.5}{29.5}
 \psGauss[sigma=4, mue=11, linewidth=1.25pt,plotpoints=500, linecolor=bleu]{-4.5}{29.5}
 \psGauss[sigma=7, mue=11, linewidth=1.25pt,plotpoints=500, linecolor=bleu]{-4.5}{29.5}
 \rput(15,.009){\textsf {\footnotesize{\bleu{Courbe 1}}}}
\rput(22,.009){\textsf {\footnotesize{\bleu{Courbe 2}}}}
\rput(28,.009){\textsf {\footnotesize{\bleu{Courbe 3}}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane septembre 2017})

 \medskip 


Chaque année, les organisateurs d'une course de montagne proposent trois parcours de difficulté croissante : vert, bleu et rouge.

Les organisateurs ont constaté que 50\,\% des coureurs choisissent le parcours vert, 30\,\% choisissent le parcours bleu, le reste des coureurs choisit le parcours rouge.

Ils ont également constaté, en observant les années précédentes, que :

\begin{itemize}
\item 3,2\,\% de l'ensemble des coureurs abandonnent la course ;
\item 2\,\% des coureurs du parcours vert abandonnent la course ;
\item 5\,\% des coureurs du parcours rouge abandonnent la course.
\end{itemize}

 
\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque.}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

À la fin de la course, on choisit au hasard un des participants de telle façon que tous ont la même probabilité d'être choisis. On note :


\begin{itemize}
\item  $V$ l'évènement \og Le coureur a choisi le parcours vert \fg{} ;
\item $B$ l'évènement \og Le coureur a choisi le parcours bleu \fg{} ;
\item $R$ l'évènement \og Le coureur a choisi le parcours rouge \fg{} ;
\item $A$ l'évènement \og Le coureur a abandonné la course \fg.
\end{itemize}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $V \cap A$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Un coureur se blesse et abandonne la course. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi le parcours vert ?
\item Démontrer que $P(B \cap A) = 0,012$.
\item En déduire la probabilité $P_B(A)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Le temps hebdomadaire d'entraînement des coureurs du parcours rouge, exprimé en heure, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale dont l'espérance est de 6 heures et l'écart type est de 2 heures.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Lequel des deux graphiques suivants, graphique 1 ou graphique 2, représente la fonction de densité de la loi normale de paramètres $\mu = 6$ et $\sigma = 2$ ? Justifier la réponse.


\begin{center}
\begin{tabularx}{.9\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-.5,-.03)(12,0.7)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,0)(\n,0.7)}
\multido{\n=0.00+0.05}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.05](0,0)(-.5,-.03)(12,0.7)
\uput[dl](0,0){\textsf {\footnotesize{0}}}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu,sigma=0.6,mue=6]{0}{12}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=0.45cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-.5,-.03)(12,0.7)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,0)(\n,0.7)}
\multido{\n=0.00+0.05}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.05](0,0)(-.5,-.03)(12,0.7)
\uput[dl](0,0){\textsf {\footnotesize{0}}}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu,sigma=2,mue=6]{0}{12}
\end{pspicture}\\
\textbf{graphique 1} &\textbf{graphique 2}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Un magazine spécialisé interroge au hasard quelques participants du parcours rouge afin de mener une enquête sur la durée de leur entraînement. On arrondira les résultats au millième.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est comprise entre 5~h et 7~h ?
		\item Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est inférieure à 4~h ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo

\begin{center} 
\emph{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à  $10^{- 3}$}
\end{center}

La compagnie aérienne Truc-Air utilise pour ses vols moyen-courriers des avions pouvant transporter 200 passagers.

Suite à une étude qui a permis d'établir que 10\% des clients qui ont réservé un vol ne se présentent pas à l'embarquement, la direction commerciale a décidé de pratiquer le \og surbooking\fg{}.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip


La compagnie accepte pour un vol donné, 210 réservations.

On note $X$ la variable aléatoire qui associe le nombre de passagers qui se présentent à l'embarquement.

\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  \item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
  \item Déterminer la probabilité $P\left( X\leqslant 200\right)$.
  \end{enumerate}
  \item On choisit d'approcher la loi binomiale de $X$ par une loi normale d'espérance $\mu = E(X)$ et d'écart-type $\sigma = \sigma(X)$. Soit $Y$ l'approximation normale de $X$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer $P\left( Y\leqslant 200\right)$.
  \item Déterminer un intervalle $I$ de centre 189 tel que $P\left( Y\in I\right)\approx 0,95$.
  \end{enumerate}
 
  \item La compagnie prend-elle un risque important en acceptant 210 réservations pour ce vol ? 
  \end{enumerate} 
  
  \medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La compagnie accepte pour un vol donné $n$ réservations.

On note $X_{n}$ le nombre de passagers qui se présentent à l'embarquement. La variable aléatoire $X_{n}$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left( n ; 0,9 \right)$. 

On cherche à déterminer le nombre maximal de réservations pour que la probabilité de l'évènement \og \mbox{$ X_{n} \leqslant 200$}\fg{} soit supérieure à 0,95.

On admet que la loi de probabilité de $X_{n}$ peut être approchée par une loi normale d'espérance $\mu = E(X_{n})=0,9 n$ et d'écart-type $\sigma = \sigma(X_{n})=0,3 \sqrt{n}$.
\begin{enumerate}
    
  \item On considère la variable aléatoire $Z_{n}= \dfrac{X_{n}-0,9n}{0,3 \sqrt{n}}$ qui suit la loi normale centrée réduite.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $X_{n} \leqslant 200$ équivaut à $Z_{n} \leqslant \dfrac{200-0,9n}{0,3 \sqrt{n}}$.
  \item Déterminer à l'aide de la calculatrice, la valeur arrondie à $10^{-3}$ près, du réel $k$ tel que \mbox{$P\left( Z_{n}\leqslant k\right) \geqslant 0,95$}.
  \item En déduire que $n$ est solution de l'inéquation $0,9 n+0,4935 \sqrt{n}-200 \leqslant 0$.
   \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  
  \item On pose $x= \sqrt{n}$ avec $x \geqslant 0$. Résoudre dans $\R^+$, l'inéquation $0,9 x^2+0,4935 x-200 \leqslant 0$.
  \item En acceptant le risque maximum de 5\% de voir plus de 200 passagers se présenter à l'embarquement, quel est le nombre maximal de réservations que cette compagnie peut prendre pour ce vol ?
   \end{enumerate}
   
  \end{enumerate}  


 
     \end{document}
