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\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 09 octobre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{matrices}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES 4\\ Spécialité}}}%droit
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\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

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  \stepcounter{nactivite} 
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%%%% fin macro %%%%

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\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

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\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Matrices.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Matrices : Premières notions.}, 
pdfkeywords={Transposée d'une matrice, somme de deux matrices, produits de deux matrices, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
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baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/terminale_cours/index_terminale_cours.php}
}

\begin{document}
\addcontentsline{toc}{section}{Activités : Introduction}	

\act

\medskip
  Une entreprise fabrique deux types de produits notés A et B. Ces produits sont fabriqués sur trois sites de production S1, S2 et S3.
 
 En septembre 2016 :
 
 \begin{itemize}
\item le site S1 a fabriqué 50 milliers d'articles A et 70 milliers d'articles B ;
\item le site S2 a fabriqué 40 milliers d'articles A et 90 milliers d'articles B ;
\item le site S3 a fabriqué 120 milliers d'articles B ;
\end{itemize}

On représente la production du mois de septembre à l'aide de la matrice $P_0= \begin{pmatrix*}[r]
50 & 40 & 0 \\
70 & 90 & 120
\end{pmatrix*}$.

La production du mois d'octobre 2016 est donnée par la matrice $P_1= \begin{pmatrix*}[r]
60 & 50 & 0 \\
70 & 90 & 120
\end{pmatrix*}$.

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la matrice $T_1$ représentant la production totale des mois de septembre et octobre pour chaque site.
\item En novembre 2016, pour faire face à la demande, la direction décide d'augmenter de 10\% la production du mois d'octobre de chaque article, dans chaque site.

Déterminer la matrice $P_2$ représentant la production de novembre 2016.
 \end{enumerate} 

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Le coût de la main d'{\oe}uvre est le même pour chaque article fabriqué, mais il diffère selon le site de production.
 
Pour S1 le coût de la main d'{\oe}uvre est de 25 \euro{} ;  pour S2, il est de 28 \euro{} ; pour S3, il est de 30 \euro{}.

\begin{enumerate}
\item Calculer le coût de la main d'{\oe}uvre, en octobre 2016,  pour la fabrication  des articles A.
\item Représenter le coût de la main d'{\oe}uvre par un vecteur-colonne $C$. 
\item En considérant les matrices $P_1$ et $C$, déterminer la matrice $M_1$ représentant le coût de la main d'{\oe}uvre  pour la fabrication en octobre 2016 des articles A et des articles B.
\end{enumerate}

\item Le prix de la matière première nécessaire à la fabrication de chaque article est de 18 \euro{} pour un article A et 22 \euro{} pour un article B.

\begin{enumerate}
\item Représenter le coût de la matière première par un vecteur-ligne $L$.
\item En considérant les matrices $L$ et $P_1$, déterminer la matrice $A_1$ représentant le montant des achats de matière première nécessaire à la fabrication des articles en octobre 2016 pour chacun des trois sites.
\end{enumerate}

 \end{enumerate} 
 

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie c}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 20\% des articles A et 40 \%  des articles B sont destinés à l'exportation.

\begin{enumerate}
\item Calculer le produit matriciel suivant :
 \[ \begin{pmatrix}
0,2 & 0,4 \\
0,8 & 0,6
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix*}[r]
60 & 50 & 0 \\
70 & 90 & 120
\end{pmatrix*}  \]
\item Donner une interprétation du produit : \[ \begin{pmatrix}
0,2 & 0,4 \\
0,8 & 0,6
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix*}[r]
60 & 50 & 0 \\
70 & 90 & 120
\end{pmatrix*} \times \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} \]
\end{enumerate}
\item Le prix de vente d'un article A est de 56 \euro{} et celui d'un article B est de 62 \euro{}.

À l'aide d'un calcul matriciel, déterminer le chiffre d'affaire réalisé par cette entreprise en octobre 2016, en supposant que  toute la production a été vendue.
\end{enumerate}


\pagebreak

\section{définitions}

\subsection{matrice}

\cadreR{%
On appelle matrice de dimension $m \times n$ (ou d'ordre $m \times n$) un tableau de $m$ lignes et $n$
colonnes de nombres réels.

On note $a_{i,j}$ l'élément de la matrice situé à l'intersection de la $i$-ième ligne et de la $j$-ième colonne. 
}

\medskip
Une matrice $A$ est représentée entre deux parenthèses ou deux crochets
\[A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i,1} & \cdots & a_{i,j}& \cdots & a_{i,n}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m,1} & \cdots & a_{m,j}& \cdots & a_{m,n}
\end{pmatrix} \; \text{ou} \; A=\begin{bmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i,1} & \cdots & a_{i,j}& \cdots & a_{i,n}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m,1} & \cdots & a_{m,j}& \cdots & a_{m,n}
\end{bmatrix}\]

\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}

La matrice  $P= \begin{pmatrix*}[r]
60 & 50 & 0 \\
70 & 90 & 120
\end{pmatrix*}$ est une matrice d'ordre $2 \times 3$, le coefficient $a_{2,3}$ de la matrice $P$ est $a_{2,3}=120$.

\subsection{cas particuliers}

\subsubsection{matrice carrée}

\cadreB{Une matrice ayant le même nombre $n$ de lignes et de colonnes est une matrice carrée d'ordre $n$.}

\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}

La matrice  $M= \begin{pmatrix*}[r]
-12 & \sqrt{2} & 1 \\
0 & -1 & 0\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix*}$ est une matrice carrée de dimension 3.

\subsubsection{vecteur ligne}

\cadreB{Une matrice formée d'une seule ligne et de $n$ colonnes est une matrice ligne ou vecteur ligne.}

\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}
 
\medskip

La matrice  $A= \begin{pmatrix}
60 & 50 & 0
\end{pmatrix}$ est une matrice ligne de  dimension $1 \times 3$.

\subsubsection{vecteur colonne}

\cadreB{Une matrice formée de $m$ lignes et d'une seule colonne est une matrice colonne ou vecteur colonne.}

\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}
 
La matrice  $C= \begin{pmatrix}
25 \\ 28\\ 30
\end{pmatrix}$ est une matrice colonne de  dimension $3 \times 1$.

\subsection{égalité de deux matrices}

\cadreB{
Deux matrices $A$ et $B$ sont égales si, et seulement si, elles ont même dimension et que tous leurs éléments situés à la même place sont égaux.
}

\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}

Dire que les matrices  $A= \begin{pmatrix}
5 & 2-a & -3 \\
-1 & 3 & 0
\end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix}
5 & 1 & -3 \\
-1 & 3 & b+2
\end{pmatrix}$ sont égales signifie que \[\begin{cases} 2-a=1\\b+2=0 \end{cases}\iff\begin{cases} a=1\\b=-2\end{cases}\]

\section{matrices et opérations}

\subsection{transposée d'une matrice}

\cadreR{%
La transposée ${^t}A$ (aussi notée $A^{T}$) d'une matrice $A$ de dimension $ m \times n$  est la matrice de dimension $ n \times m$ obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$. 
}
\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}

La transposée  de la matrice  $P= \begin{pmatrix*}[r]
60 & 50 & 0 \\
70 & 90 & 120
\end{pmatrix*}$ de dimension $2 \times 3$ est la matrice ${^t}P= \begin{pmatrix*}[r]
60 & 70 \\
50& 90 \\
0& 120
\end{pmatrix*}$ de dimension $3 \times 2$.

\subsection{addition de matrices}

\cadreR{%
La somme de deux matrices $A$ et $B$ de \textbf{même dimension} est la matrice notée $A+B$ obtenue en ajoutant les éléments de $A$ et ceux de $B$ situés à la même place.

Si $A= \left( a_{i,j} \right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}$ et  $B= \left( b_{i,j} \right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}$ sont deux matrices d'ordre $ m \times n$ alors \[ A + B = \left( a_{i,j} + b_{i,j} \right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}\] 
}
\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}

Soient les matrices  $P_0= \begin{pmatrix*}[r]
50 & 40 & 0 \\
70 & 90 & 120
\end{pmatrix*}$ et  $P_1= \begin{pmatrix*}[r]
60 & 50 & 0 \\
70 & 90 & 120
\end{pmatrix*}$ : \[P_0 + P_1 = \begin{pmatrix*}[r]
50 + 60 & 40+50 & 0+0 \\
70+70 & 90+90 & 120+120
\end{pmatrix*} = \begin{pmatrix*}[r]
110 & 90 & 0 \\
140 & 180 & 240
\end{pmatrix*} \]

\subsubsection{propriétés}

\cadreB{
Si $A$, $B$ et $C$ sont des matrices de même dimension alors :

\begin{itemize}
\item $A+B = B+ A$.
\item $A + \left( B + C \right) = \left( A + B \right) + C$
\end{itemize}
}

\subsection{multiplication par un réel}

\cadreR{%
Le produit d'une matrice $A$ par un réel $k$ est la matrice $kA$ obtenue en multipliant chaque élément de $A$ par le réel $k$.

Si $A= \left( a_{i,j} \right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}$ est une matrice d'ordre  $ m \times n$ alors pour tout réel $k$ \[ kA = \left(  k a_{i,j}  \right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}\] 
}
\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}

Si $P= \begin{pmatrix*}[r]
60 & 50 & 0 \\
70 & 90 & 120
\end{pmatrix*}$ alors : \[1,1 \times  P = \begin{pmatrix*}[r]
1,1\times 60 & 1,1\times 50 & 1,1\times 0 \\
1,1\times 70 & 1,1\times 90 & 1,1\times 120
\end{pmatrix*} = \begin{pmatrix*}[r]
66 & 55 & 0 \\
77 & 99 & 132
\end{pmatrix*} \]

\subsubsection{propriété}

\cadreB{
Soient $A$ et $B$ deux matrices de même dimension  et $k$ un réel on a  : \[k \left( A+ B \right)= kA + k B\]
}

\subsection{produit de matrices}

\subsubsection{multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne}

\cadreR{%
Soient $A$ une matrice ligne de dimension $1\times n$ et $B$ une matrice colonne de dimension $n\times 1$. 

Le produit $A\times B$ de ces deux matrices est :
\[\begin{pmatrix}
a_1 &  \cdots & a_i & \cdots & a_n \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
b_1 \\  \vdots \\ b_i \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = \left( a_1 \times b_1 +  \cdots + a_i \times b_i + \cdots +  a_n \times b_n \right)\]
Le produit $A\times B$ de ces deux matrices est la matrice de dimension $1 \times 1 $ qui n'a qu'un seul élément.}
\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}
\[ \begin{pmatrix}
60 & 50 & 0 
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
25 \\ 28 \\30
\end{pmatrix} = \left( 60\times 25 + 50\times 28 + 0\times 30 \right) = \left( 2900 \right)   \]

\subsubsection{produit de deux matrices}

\cadreR{%
Si $A= \left( a_{i,k} \right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\ 1 \leqslant k \leqslant n}}$ est une matrice de dimension $m\times n$ et si $B= \left( b_{k,j} \right)_{\substack{1 \leqslant k \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p}}$ est une matrice de dimension $n \times p$, le produit $C = A \times B = \left(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_{i,k} \times b_{k,j}}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\ 1 \leqslant j \leqslant p}}$ est une matrice de dimension $m\times p$.

Chaque élément $c_{i,j}$ de la matrice $C$ est le produit de la matrice constituée de la $i$-ième ligne de la matrice $A$ par la matrice constituée de la $j$-ième colonne de la matrice $B$ ( $1 \leqslant i \leqslant m$ et $1 \leqslant j \leqslant p$).
}
\medskip

En pratique, il est commode de disposer les deux matrices de la façon suivante pour effectuer le produit :

\begin{center}
{\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}

\begin{tabular}{c@{\hspace{1.25cm}}c}
&$B$ : {\prune{$n$ lignes}} {\bleu{$p$ colonnes}}\\
&$\begin{pmatrix}
b_{1,1} & \cdots & \circlenode{b1}{ b_{1,j}} & \cdots & b_{1,p} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_{k,1} & \cdots & \circlenode{bk}{b_{k,j}}& \cdots & b_{k,p}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_{n,1} & \cdots & \circlenode{bn}{b_{n,j}}& \cdots & b_{n,p}\\
\end{pmatrix}$\\
&\\
{\renewcommand{\arraystretch}{1.8}$\begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,k} & \cdots & a_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\circlenode{a1}{a_{i,1}} & \cdots & \circlenode{ai}{a_{i,k}}& \cdots & \circlenode{an}{a_{i,n}}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m,1} & \cdots & a_{m,k}& \cdots & a_{m,n}
\end{pmatrix}$} & {\renewcommand{\arraystretch}{1.8}$\begin{pmatrix}
c_{1,1} & \cdots & c_{1,j} & \cdots & c_{1,p} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
c_{i,1} & \cdots & \circlenode[linecolor=prune,linewidth=1.5pt]{c}{\prune{c_{i,j}}}& \cdots & c_{i,p}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
c_{m,1} & \cdots & c_{m,j}& \cdots & c_{m,p}
\end{pmatrix}$}\\
$A$ : {\bleu{$m$ lignes}} {\prune{$n$ colonnes}}  &$C=A\times B$ : {\bleu{$m$ lignes $p$ colonnes}}\\
\end{tabular}
}
\ncbox[boxsize=.5,linearc=.5,linecolor=bleu]{b1}{c}
\ncbox[boxsize=.5,linearc=.5,linecolor=bleu]{a1}{c}
\ncarc[linecolor=prune,arcangle=45]{<->}{a1}{b1}\ncput*[nrot=:U,framesep=0,npos=0.47]{\prune{\ovalnode[linecolor=prune]{p1}{\footnotesize{$a_{i,1} \times b_{1,j}$}}}}
\ncarc[linecolor=prune,arcangle=45]{<->}{ai}{bk}\ncput*[nrot=:U,framesep=0,npos=0.47]{\prune{\ovalnode[linecolor=prune]{pk}{\footnotesize{$a_{i,k} \times b_{k,j}$}}}}
\ncarc[linecolor=prune,arcangle=45]{<->}{an}{bn}\ncput*[nrot=:U,framesep=0,npos=0.47]{\prune{\ovalnode[linecolor=prune]{pn}{\footnotesize{$a_{i,n} \times b_{n,j}$}}}}
\ncline[linecolor=prune,linestyle=dashed]{->}{p1}{pk}\ncput*[nrot=:U]{\Large{\textbf{\prune{+}}}}
\ncline[linecolor=prune,linestyle=dashed]{->}{pk}{pn}\ncput*[nrot=:U]{\Large{\textbf{\prune{+}}}}
\ncline[linecolor=prune,linestyle=dashed]{->}{pn}{c}\ncput*[nrot=:U]{\Large{\textbf{\prune{+}}}}
\end{center}

\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}

\medskip

Soient les deux matrices $A= \begin{pmatrix}
0,2 & 0,4 \\
0,8 & 0,6
\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix*}[r]
60 & 50 & 0 \\
70 & 90 & 120
\end{pmatrix*}$

\medskip

La matrice $A$ est d'ordre $2\times 2$ et la matrice $B$  est d'ordre  $2\times 3$. Le produit  $C = A \times B$ est une matrice d'ordre $2\times 3$ :

\begin{itemize}
\item L'élément $c_{1,1}$ de la matrice $C$ s'obtient en effectuant le produit $\begin{bmatrix} 0,2 & 0,4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 60  \\ 70  \end{bmatrix}  =\begin{bmatrix} 0,2 \times 60 + 0,4 \times 70 \end{bmatrix}$
\item L'élément $c_{1,2}$ de la matrice $C$ s'obtient en effectuant le produit $\begin{bmatrix} 0,2 & 0,4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 50  \\ 90  \end{bmatrix}  =\begin{bmatrix} 0,2 \times 50 + 0,4 \times 90 \end{bmatrix}$
\item L'élément $c_{1,3}$ de la matrice $C$ s'obtient en effectuant le produit $\begin{bmatrix} 0,2 & 0,4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix*}[r] 0  \\ 120  \end{bmatrix*}  =\begin{bmatrix} 0,2 \times 0 + 0,4 \times 120 \end{bmatrix}$
\item L'élément $c_{2,1}$ de la matrice $C$ s'obtient en effectuant le produit $\begin{bmatrix} 0,8 & 0,6 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 60  \\ 70  \end{bmatrix}  =\begin{bmatrix} 0,8 \times 60 + 0,6 \times 70 \end{bmatrix}$
\item L'élément $c_{2,2}$ de la matrice $C$ s'obtient en effectuant le produit $\begin{bmatrix} 0,8 & 0,6 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 50  \\ 90  \end{bmatrix}  =\begin{bmatrix} 0,8 \times 50 + 0,6 \times 90 \end{bmatrix}$
\item L'élément $c_{2,3}$ de la matrice $C$ s'obtient en effectuant le produit $\begin{bmatrix} 0,8 & 0,6 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix*}[r] 0  \\ 120  \end{bmatrix*}  =\begin{bmatrix} 0,8 \times 0 + 0,6 \times 120 \end{bmatrix}$
\end{itemize}

Soit en définitive :
 \[ 
C= \begin{pmatrix}
0,2 & 0,4 \\
0,8 & 0,6
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix*}[r]
60 & 50 & 0 \\
70 & 90 & 120
\end{pmatrix*} = \begin{pmatrix}
40 & 46 & 48 \\
90 & 94 & 72
\end{pmatrix} 
 \]
 \medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{\textbf{remarque}}}}

\medskip
 Si le nombre de colonnes de la matrice $B$ est différent du nombre de lignes de la matrice $A$, le produit $B \times A$ n'est pas défini !




\subsection{propriétés}

\cadreR{%
Soient $A$, $B$ et $C$ trois matrices telles que les sommes et les produits ci-dessous sont définis :

\begin{itemize}
\item $A \times \left( B \times C \right) = \left( A \times B \right) \times C$.
\item $A \times \left( B + C \right) =  A \times B + A \times C$.
\item $\left( A + B \right) \times C =  A \times C + B \times C$.
\end{itemize}
}
\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{\textbf{remarques}}}}

\medskip
\begin{itemize}
\item \cadreB{En général $A \times B \ne B \times A$ il faut faire attention à l'ordre dans lequel on effectue les calculs.}

\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}
\[ \begin{pmatrix*}[r] -3 & -2 \\ 1 & 1\\ -1 & -1 \end{pmatrix*}\times \begin{pmatrix*}[r] -1 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -3 \end{pmatrix*} = \begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix*} \qquad \text{et} \qquad \begin{pmatrix*}[r] -1 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -3 \end{pmatrix*}\times  \begin{pmatrix*}[r] -3 & -2 \\ 1 & 1\\ -1 & -1  \end{pmatrix*}=\begin{pmatrix*}[r] -1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix*}\]
\item \cadreB{$A \times C = B \times C$ ne signifie pas que $A = B$.}

\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}
\[  \qquad \begin{pmatrix*}[r] -3 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -7 \end{pmatrix*}\times {\red \begin{pmatrix*}[r] -1 & 3 \\ 2 & -5\\ 1 & -2 \end{pmatrix*}}=\begin{pmatrix*}[r] 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix*} \qquad \text{et} \qquad \begin{pmatrix*}[r] 2 & 3 & -4 \\ 1 & 3 & -6 \end{pmatrix*}\times {\red  \begin{pmatrix*}[r] -1 & 3 \\ 2 & -5\\ 1 & -2 \end{pmatrix*}}=\begin{pmatrix*}[r] 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix*}\]
\item \cadreB{$A \times B = 0$ ne signifie pas que $A=0$ ou $B= 0$.}

\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}
\[ \begin{pmatrix*}[r] 4 & -2 & 2 \\ -6 & 3 & -3 \end{pmatrix*}\times  \begin{pmatrix*}[r] -1 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & -3\\ 5 & -6 & -5 \end{pmatrix*}=\begin{pmatrix*}[r] 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0  \end{pmatrix*}\]
\end{itemize}

\section{matrices carrées}

\subsection{matrice identité}

\subsubsection{matrice diagonale}

\cadreB{Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, sauf éventuellement les coefficients de la diagonale, est appelée matrice diagonale.}

\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemples}}}

\medskip

La matrice $A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -5 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$ est une matrice diagonale. La matrice $B=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & -5 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$ n'est pas une matrice diagonale.

\subsubsection{définition}
\cadreR{%
La matrice diagonale d'ordre $n$ dont tous les coefficients sur la diagonale sont égaux à 1 est appelée matrice identité d'ordre $n$, on la note $I_n$.
}

\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemples}}}

\medskip

$I_2=\begin{pmatrix}
1 & 0  \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}$ \hfill $I_3=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 &1 \\
\end{pmatrix}$ \hfill $I_4=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$.

\subsubsection{propriété}
\cadreR{%
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ alors  $A \times I_n =I_n \times A = A$, où $I_n$ est la matrice identité d'ordre $n$.
}

\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}

\medskip

$ \begin{pmatrix*}[r]
1 & -2 & 5 \\
1 & 0 & 3\\
1 & -3 & 2
\end{pmatrix*} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 &1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix*}[r]
1 & -2 & 5 \\
1 & 0 & 3\\
1 & -3 & 2
\end{pmatrix*}$  et $  \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 &1 \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix*}[r]
1 & -2 & 5 \\
1 & 0 & 3\\
1 & -3 & 2
\end{pmatrix*}= \begin{pmatrix*}[r]
1 & -2 & 5 \\
1 & 0 & 3\\
1 & -3 & 2
\end{pmatrix*}$

\subsection{puissances d'une matrice carré}

\cadreR{%
Soit $A$ une matrice carré d'ordre $n$ et $p$ un entier supérieur ou égal à 1.

La puissance $p$-ième de la matrice $A$ est la matrice carrée d'ordre $n$ obtenue en effectuant le produit de $p$ matrices égales à $A$.
\[ A^p = \underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{p\; \text{fois}}\]
Par convention $A^0 = I_n$.
}
\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}

\medskip

Soit $A =\begin{pmatrix*}[r] -3 & 1 & 2 \\ -5 & 1 & 4\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix*}$  : \[\begin{split}
A^2=A \times A &=\begin{pmatrix*}[r] -3 & 1 & 2 \\ -5 & 1 & 4\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix*}\times \begin{pmatrix*}[r] -3 & 1 & 2 \\ -5 & 1 & 4\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix*}=\begin{pmatrix*}[r] 6 & -4 & 2 \\ 14 & -8 & 2\\ 4 & -2 & 2 \end{pmatrix*}\\
A^3 = A^2 \times A &= \begin{pmatrix*}[r] 6 & -4 & 2 \\ 14 & -8 & 2\\ 4 & -2 & 2 \end{pmatrix*}\times \begin{pmatrix*}[r] -3 & 1 & 2 \\ -5 & 1 & 4\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix*}=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
\end{split}\]

\subsection{inverse d'une matrice carrée}

\subsubsection{définition}
\cadreR{%
Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est inversible, s'il existe une matrice carrée $B$ d'ordre $n$ telle que \mbox{$A \times B=B \times A=I_n$}, où $I_n$ est la matrice identité d'ordre $n$.

La matrice inverse de $A$ si elle existe, est unique et est notée $A^{-1}$
}

\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}

\medskip

La matrice $A=\begin{pmatrix*}[r]
4 & -2  \\
-3 & 1 \\
\end{pmatrix*}$ est elle inversible ?

Calculons $a$, $b$, $c$ et $d$ tel que $\begin{pmatrix*}[r]
4 & -2  \\
-3 & 1 \\
\end{pmatrix*}\begin{pmatrix}
a & b  \\
c & d \\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1 & 0  \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}$. $a$, $b$, $c$ et $d$ sont les solutions éventuelles du système :

 \[ 
 \begin{cases}
4a-2c=1 \\
4b-2d=0\\
-3a+c=0\\
-3b+d=1
\end{cases} \iff  \begin{cases}
2a-c=\dfrac{1}{2} \\
-3a+c=0\\
2b-d=0\\
-3b+d=1
\end{cases} \iff  \begin{cases}
a= -\dfrac{1}{2}\\
b= -1\\
c= -\dfrac{3}{2}\\
d= -2\\
\end{cases}
 \]
 
 L'inverse de la matrice $A=\begin{pmatrix*}[r]
4 & -2  \\
-3 & 1 \\
\end{pmatrix*}$ est la matrice $A^{-1}=\begin{pmatrix*}[r]
-\dfrac{1}{2} & -1  \\[8pt]
-\dfrac{3}{2} & -2 \\
\end{pmatrix*}$

\subsection{application aux systèmes linéaires}

\cadreR{%
Un système linéaire à $n$ équations et $n$ inconnues :$\begin{cases} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2 + \cdots + a_{1,n}x_n=b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2 + \cdots + a_{2,n}x_n=b_2\\ \hfill \vdots\hfill \\a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2 + \cdots + a_{n,n}x_n=b_n \end{cases}$

peut s'écrire sous la forme matricielle $AX=B$ où $A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}  \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,n} \end{pmatrix}$ est une matrice carrée d'ordre $n$, $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$ sont des matrices colonnes de dimension $n \times 1$.

Si la matrice $A$ est inversible, alors le système admet une unique solution donnée par $X = A^{-1} B$.
}
\medskip
 
 \textsf {\small{\textsc{exemple}}}

\medskip

Soit le système $\begin{cases}x-3y+z=6\\2x-y+3z= -2\\-4x+3y-6z=1\end{cases}$. 

Posons $A=\begin{pmatrix*}[r] 1 & -3 & 1\\2 & -1 & 3\\-4& 3 & -6\end{pmatrix*}$, $X=\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix*}[r] 6\\  -2 \\ 1 \end{pmatrix*}$

Alors le système peut s'écrire sous la forme matricielle $AX=B$

La matrice $A$ est inversible et $A^{-1}= \begin{pmatrix*}[r] 3 & 15 & 8\\0 & 2 & 1\\-2 & -9 & -5\end{pmatrix*}$ on en déduit que \[AX=B \iff A^{-1}AX=A^{-1}B \iff X=A^{-1}B\]
Soit \[\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix*}[r] 3 & 15 & 8\\0 & 2 & 1\\-2 & -9 & -5\end{pmatrix*}\times \begin{pmatrix*}[r] 6\\  -2 \\ 1 \end{pmatrix*}=\begin{pmatrix*}[r] -4\\  -3 \\ 1 \end{pmatrix*}\]
On obtient ainsi, l'unique solution du système $x=-4$ ; $y=-3$ et $z=1$.


\pagebreak
  
\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo 

 \medskip 

Une entreprise vend quatre types de produits notés $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$.  

La matrice des commandes de trois clients notés $X$, $Y$ et $Z$  est  $C={\begin{pmatrix} 7 & 12 & 5 & 15 \\ 13 & 0 & 12 & 5 \\  2 & 7 & 13 & 8 \\\end{pmatrix} }$  les lignes étant relatives aux clients et les colonnes aux produits.
\begin{enumerate}
	\item Effectuer le produit $C\times{\begin{pmatrix} 1  \\ 1\\  1 \\  1 \\\end{pmatrix} }$  et interpréter le résultat.
	\item Effectuer le produit ${\begin{pmatrix} 1  & 1 &  1 \\  \end{pmatrix} } \times C$  et interpréter le résultat.
	\item Les prix unitaires de chacun des quatre produits sont respectivement 45~\euro, 15~\euro, 20~\euro{} et 30~\euro. 
	
	Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, le montant en euros de la commande de chacun des clients.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo 

 \medskip 

Une usine fabrique deux articles $A$ et $B$ à partir de quatre composants différents $C_1$, $C_2$, $C_3$ et $C_4$. La fabrication de chacun des composants nécessite trois ressources $X$, $Y$ et $Z$ (\emph{par exemple travail, matières premières et énergie}). 

Les deux tableaux suivants présentent les quantités de composants utilisées pour produire un article $A$ et un article $B$ et les quantités de ressources, exprimées dans la même unité, nécessaires à la fabrication de chaque composant. 
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}m{1cm}|}}\cline{2-5}
 \multicolumn{1}{l|}{} & $C_1$ & $C_2$ & $C_3$ & $C_4$ \\ \hline
 $A$ & 3 & 2 & 2 & 1 \\ \hline
 \textit{B} & 4 & 3 & 0 & 2 \\ \hline
\end{tabular}
 \hfill
\begin{tabular}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}m{1cm}|}}\cline{2-4}
 \multicolumn{1}{l|}{} & $X$ & $Y$ & $Z$  \\ \hline
 $C_1$ & 10 & 15 & 3  \\ \hline
 $C_2$ & 15 & 18 & 8 \\ \hline
 $C_3$ & 1 & 6 & 2  \\ \hline
 $C_4$ & 4 & 11 & 2 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item \`A l'aide d'un produit de matrices, calculer les quantités de chaque ressource intervenant dans la fabrication de chaque article.
\item \`A l'aide d'un produit de matrices, calculer les quantités de ressources nécessaires à la production de \np{1300} articles $A$ et \np{800} articles $B$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo 
 
 \medskip
 
 Calculer les produits suivants :
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\raggedright \arraybackslash}X}}	
 $A=\begin{pmatrix*}[r] 
 1 & -1 & -2 \\
 3 & -5 & 1 \end{pmatrix*}\begin{pmatrix}
  -3 & 5 \\
-2 & 3 \\ 
-1 & 1 
\end{pmatrix}$ &  $B=\begin{pmatrix*}[r] 
 2 & -3 & -1 \\
 -1 & 3 & -3 \end{pmatrix*}\begin{pmatrix}
  -3 & 5 \\
-2 & 3 \\ 
-1 & 1 
\end{pmatrix}$\\
$C= \begin{pmatrix*}[r] 
 1 & -1 & -2 \\
 -2 & 1 & 1 \end{pmatrix*}\begin{pmatrix*}[r]
  1 & -2 \\
3 & -6 \\ 
-1 & 2 
\end{pmatrix*}$ & $D=\begin{pmatrix*}[r] 
 3 & 5 & 4 &-3 \\
 -2 & -3 & 0 & -2 \\
 -2 & 1 & 14 & -19\end{pmatrix*}\begin{pmatrix*}[r]
  -1 & 2 & 1\\
2 & -1 & -\dfrac{4}{3}\\[6pt]
-3 & -1 & \dfrac{5}{3}\\ 
-2 & -1 & 1
\end{pmatrix*}$
\end{tabularx}
 
 \bigskip
 
 \exo 

 \medskip 

Une entreprise fabrique deux types de produits notés $A$ et $B$ : 
\begin{itemize}
	\item la fabrication d'un article  $A$ nécessite 6 unités de matières premières, 4 unités de main d'{\oe}uvre et 1 unité d'énergie ;
	\item la fabrication d'un article  $B$ nécessite 9 unités de matières premières, 3 unités de main d'{\oe}uvre et 2 unités d'énergie.	
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item On note  $C= {\begin{pmatrix} 40 & 20 & 80  \\ \end{pmatrix} }$ la matrice ligne des coûts unitaires, en euros, des trois facteurs de production (\textit{matières premières, main d'{\oe}uvre et énergie}).
	
	Calculer sous forme d'un produit de matrices, la matrice ligne $P= {\begin{pmatrix} p_A & p_B   \\ \end{pmatrix} }$ des prix de revient des produits $A$ et $B$.
	
	\item Le bénéfice est égal à 20\% du prix de revient sur le produit $A$ et à 25\% du prix de revient sur le produit $B$.	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les éléments de la matrice carrée $M$  telle que la matrice ligne $V= {\begin{pmatrix} v_A & v_B   \\ \end{pmatrix} }$ des prix de vente de chaque article soit égale au produit des deux matrices $P$ et $M$.
	\item Calculer $V$.
\end{enumerate} 
	
	\item L'entreprise reçoit une commande de 100 produits $A$ et 80 produits $B$. Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, le montant total en euros de la commande.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Pour la fabrication de deux produits A et B, on distingue quatre facteurs techniques de production : des unités de matières premières, des unités de conditionnement, des unités de main d'{\oe}uvre et des unités d'énergie. 

Le tableau suivant indique les quantités d'unités de ces facteurs nécessaires à la production d'une unité de produit A et à celle d'une unité de produit B  ainsi que la valeur estimée du coût de revient d'une unité de chacun de ces facteurs.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\centering}X|>{\centering}X|>{\centering\arraybackslash}m{4cm}|}\hline
Facteurs techniques & Produit A &	Produit B	& Coût de revient unitaire du facteur (en euros)\\ \hline
Nombre d'unités de matières premières	&5&	6	&3\\ %\hline
Nombre d'unités de conditionnement&	3&	4&	1\\ %\hline
Nombre d'unités de main d'{\oe}uvre	&4&	3	&4\\ %\hline
Nombre d'unités d'énergie	&1&	2	&2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

La marge bénéficiaire sur chaque produit A et B est un pourcentage du coût total de production. Elle est égale à 30 \% pour le produit A et à 35 \%  pour le produit B.

\medskip

On considère les matrices suivantes :

\begin{itemize}
	\item $F=\begin{pmatrix} 5 & 3 & 4 & 1  \\  6 & 4 & 3 & 2  \\ \end{pmatrix}$ dont les éléments sont les quantités de facteurs de production nécessaires à la fabrication des deux produits A et B.
\item $U$ dont les éléments sont les coûts unitaires des facteurs de production.
\item $C$ dont les éléments sont les coûts de production des deux produits A et B.
\item $V$ dont les éléments sont les prix de vente des deux produits A et B.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les éléments de la matrice $U$ de façon à ce que le produit des matrices $F$ et $U$ soit égal à la matrice $C$ des coûts de production. Calculer la matrice $C$.
	\item Déterminer les éléments de la matrice carrée $M$ telle que la matrice $V$ des prix de vente soit égale au produit des deux matrices $M$ et $C$. Calculer $V$.
	\item Un client commande 150 unités de produit A et 200 unités de produit B.
	
	\'A l'aide d'un produit de matrices, calculer le montant total (en euros) de la commande.
\end{enumerate}

\bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Soit $I_2 = {\begin{pmatrix} 1 & 0  \\
0 & 1 \\ \end{pmatrix} }$  et  $M = {\begin{pmatrix} a & b  \\
-b & a \\ \end{pmatrix} }$ où $a$ et $b$ sont deux réels non nuls. 

Déterminer les éléments de la matrice $J$ telle que $M=aI_2+bJ$.

 \bigskip
 
 \exo 

 \medskip 

Soit $A = {\begin{pmatrix} -3 & -5  \\
2 & 3 \\ \end{pmatrix} }$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $A^2$, en déduire l'inverse de la matrice $A$.
	\item Calculer $A^3$ et $A^4$. Quel est l'inverse de la matrice $A^2$ ?
\end{enumerate}

 \bigskip
   
\exo 

 \medskip
 
 On considère les matrices   $A = \begin{pmatrix*}[l] 1 & 3 & -1  \\ -2 & 2 & 1  \end{pmatrix*}$ et  $B = \begin{pmatrix*}[r] 9 & -6  \\ 2 & -1 \\ 14 & -9 \end{pmatrix*}$
 
 Calculer le produit $A B$. Peut-on conclure que $B$ est l'inverse de $A$ ?
  
 \bigskip

 \exo
 
 \medskip
 
 Soient les matrices $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}$ et $M = \begin{pmatrix}4&1\\2&5\end{pmatrix}$.
 \begin{enumerate}
		\item Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$. 
		\item Soit $D=P^{- 1} MP$, calculer $D$ et $D^2$. 
		\item Vérifier que $M^2 = P D^2 P^{- 1}$.
		\item On admet que pour tout entier $n$, $D^n=\begin{pmatrix}6^n&0\\0&3^n\end{pmatrix}$. Calculer $M^5$.
	\end{enumerate} 
	
	\bigskip
	 
\exo 

 \medskip
 Soit $A$ la matrice   $A = \begin{pmatrix*}[r] -2 & -2 & 1  \\ 3 & 5 & -3 \\ 5 & 10 & -6 \end{pmatrix*}$
 
 \begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice $M$ telle que $A=M-I_3$.

\item Calculer $M^2$. 
\item En déduire $A^2$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 

Soit $T = {\begin{pmatrix} a & b  \\
-1 & -2 \\ \end{pmatrix} }$ où $a$ et $b$ sont deux réels. Calculer $a$ et $b$ pour que $T = T^{-1}$.

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

On considère les matrices  $P = \begin{pmatrix*}[r] 0 & -2 & 1  \\ -1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix*}$  et  $A = \begin{pmatrix*}[r] -3 & -6 & -2  \\ 2 & 5 & 2 \\ 4 & 3 & 0\end{pmatrix*}$
\begin{enumerate}
		\item On note $P^{-1}$  la matrice inverse de la matrice $P$. Vérifier que $P^{-1}=\begin{pmatrix*}[r] -1 & -1 & 0  \\ 2 & 3 & 1 \\ 5 & 6 & 2 \end{pmatrix*}$
\item Déterminer la matrice $D$ telle que $A=P \times D \times P^{-1}$. 
\item Calculer $D^2$, $D^3$ et $D^4$.
\item Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$. 
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

\medskip

On considère la matrice $A =\begin{pmatrix*}[r] 4 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -3\\ -4 & 1 & -3 \end{pmatrix*}$

\begin{enumerate}		
\item Calculer $A^2$  et $A^3$.
\item En déduire $A^6$ puis $A^{3n}$ où $n$ est un entier naturel non nul.
\item Calculer l'inverse de la matrice $A^3$. 
\item \begin{enumerate}
\item Développer le produit  $\left( A- I_3\right) \times  \left( A^2 + AI_3 +  {I_3}^2\right)$. 
\item En déduire l'inverse de la matrice $B=  A- I_3 $
\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\exo 

 \medskip 

On se place dans le cas d'une économie fermée à deux branches A et B. 

Une partie de la production de chaque branche ne sert pas directement à la consommation finale, chaque branche utilisant des consommations intermédiaires de production pour produire.

On suppose  que :
\begin{itemize}
	\item La production d'une unité de la branche A consomme 0,1 unité de production du secteur A et 0,4 unité de production du secteur B.
	\item La production d'une unité de la branche B consomme 0,3 unité de production du secteur A et 0,2 unité de production du secteur B.
\end{itemize}

La matrice $A=\begin{pmatrix*}[r] 0,1&0,3  \\   0,4&0,2  \\ \end{pmatrix*}$ est appelée la matrice des coefficients techniques. $X=\begin{pmatrix} p_A  \\   p_B  \\ \end{pmatrix}$ est la matrice production des productions totales exprimées en unité monétaire de chaque branche et $D=\begin{pmatrix} d_A  \\   d_B  \\ \end{pmatrix}$ est la matrice demande des consommations finales exprimées en unité monétaire de chaque branche. 

On considère dans tout l'exercice que $X$, $A$ et $D$ vérifient l'égalité matricielle :\[\underbrace X_{{\text{Production totale}}} = \underbrace {AX}_{{\text{Consommations intermédiaires}}} + \underbrace D_{{\text{Consommations finales}}}\]

\begin{enumerate}
	\item On suppose dans cette question que la production totale  $p_A$ de la branche A est de 400 unités monétaires et que la production totale  $p_B$ de la branche B est de 500 unités monétaires.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les consommations intermédiaires de chacune des deux branches.
	\item Quelles sont les consommations finales de chacune des deux branches ?
\end{enumerate}
	\item On note $I_2= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 1\\ \end{pmatrix}$ la matrice identité d'ordre 2. La matrice $I_2 - A$ est inversible et $\left(I_2 - A\right)^{-1}= \begin{pmatrix} \dfrac{4}{3}&\dfrac{1}{2}  \\ \dfrac{2}{3}&\dfrac{3}{2}  \rule[-2ex]{0pt}{6ex} \\ \end{pmatrix} $. 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $X= \left( I_2 - A\right)^{-1}D$.
	\item Si la demande des consommations finales en unité monétaire est $D=\begin{pmatrix} 180  \\   270  \\ \end{pmatrix}$, quelle doit être la production de chaque branche pour satisfaire la demande des consommations finales ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
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Une économie fictive est structurée en trois secteurs $A$, \textit{B} et \textit{C} (\textit{par exemple Agriculture, Industrie et Services}).
 
Une partie de la production de chaque secteur ne sert pas directement à la \textbf{consommation finale} des consommateurs. En effet, chaque secteur utilise une part de la production des différents secteurs pour travailler, il s'agit des \textbf{consommations intermédiaires}.\\ 
On considère dans tout l'exercice que :
\begin{itemize}
	\item la production d'une unité du secteur $A$ consomme 0,1 unité de production du secteur $A$, 0,2 unités de production du secteur \textit{B} et 0,1 unité de production du secteur \textit{C} ;
	\item la production d'une unité du secteur \textit{B} consomme 0,3 unités de production du secteur $A$ et 0,25 unités de production du secteur \textit{B} et 0,2 unités de production du secteur \textit{C} ;	
	\item la production d'une unité du secteur \textit{C} consomme 0,2 unités de production du secteur \textit{B} et 0,2 unités de production du secteur \textit{C} ;
	\item la production totale de chaque secteur est la somme de toutes les consommations intermédiaires et de la consommation finale des consommateurs.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
	\item On suppose dans cette question que le vecteur colonne des productions totales de chacun des trois secteurs est   \mbox{$P={\begin{pmatrix} 150 \\ 300 \\ 200  \end{pmatrix} }$}.	
\begin{enumerate}
	\item \`A l'aide d'un produit de matrices, calculer le vecteur colonne des consommations intermédiaires de chacun des trois secteurs.
	\item Quelles sont les consommations finales des consommateurs de chacun des trois secteurs ?
\end{enumerate}	
	\item On suppose dans cette question que la demande des consommations finales est de 81 unités du secteur $A$, 144 unités du secteur \textit{B} et 108 unités du secteur \textit{C}.
	
Déterminer la production totale de chaque secteur pour satisfaire la demande des consommations finales ?
\end{enumerate}
 
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\exo 

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Les 1500 salariés d'une entreprise sont répartis dans trois services A, B et C. Pour rééquilibrer les effectifs des trois services, il a été décidé que :
\begin{itemize}
	\item 10\% des salariés du service B seront affectés au service C.
	\item 5\% des salariés du service A seront affectés au service B et 15\% au service C.
\end{itemize}
Après cette restructuration, le nombre de salariés du service B a diminué de 15 personnes et 159 salariés ont été mutés dans le service C.

On note $x$, $y$ et $z$ le nombre de salariés respectifs des trois services A, B et C avant la restructuration.

Calculer les effectifs de chaque service après la restructuration.

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\exo 

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Dans une entreprise de 60 personnes, le salaire moyen mensuel des employés est de 1500~\euro , celui des techniciens est de  2600~\euro\, et celui des cadres de 4200~\euro .

La masse des salaires versés chaque mois par cette entreprise est de 114~000 \euro .

Si on augmente de 6,4\% le salaire des employés et de 4,5\% celui des cadres et techniciens alors la masse des salaires mensuels augmente de 5,6\%.

Quel est l'effectif de chaque catégorie de salariés de cette entreprise ?

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  \exo

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Déterminer la fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative est la parabole $\mathcal{C}_f$ passant par les points $A(-1;-3)$, $B(3;-5)$ et $C(4;-13)$. 	

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Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=ax^2+bx+c$. 

Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ sachant que $f(2)=0$, $f(-1)=3$ et $f'(1)=-3$.

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  \exo 

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Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=ax^2+bx+c$ . 

La parabole $\mathcal{P}$ passe par le point $A\left(1;2\right)$  et coupe la droite $d$ d'équation $y=-2x+3$ en deux points d'abscisses respectives $-1$ et 2.

Déterminer l'équation de la parabole $\mathcal{P}$.

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Une commune met en place un nouveau  service internet par abonnement.  L'abonnement d'une durée de un an est renouvelable à la fin de chaque année.

On suppose que l'effectif de la population concernée par ce service n'évolue pas et est égal à \np{50000}.

On estime que chaque année, 79\% des abonnés renouvelleront leur abonnement en fin d'année et que 4\% des non abonnés d'une année s'abonneront l'année suivante. 
 
On note $a_n$ le nombre d'abonnés la $n$-ième année et $b_n$ le nombre de personnes qui ne sont pas abonnés la $n$-ième année. 

On pose $a_0=0$ et $b_0 = \np{50000}$

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction $a_n$  et $b_n$.
\item Soit $A$ la matrice   $A = \begin{pmatrix*}[r] 0,79 & 0,04  \\ 0,21 & 0,96 \end{pmatrix*}$. Pour tout entier naturel $n$, on note $X_n$ la matrice colonne  $\begin{pmatrix} a_n  \\ b_n \end{pmatrix}$.

Vérifier que $X_{n+1}=AX_{n}$.
\item On pose  $P = \begin{pmatrix*}[r] 4 & 1  \\ 21 & -1  \end{pmatrix*}$ . Vérifier que $P^{-1} =\dfrac{1}{25} \begin{pmatrix*}[r] 1 &1  \\ 21 &   -4 \end{pmatrix*}$
\item 
\begin{enumerate}
\item On pose $D=P^{-1}AP$ . Calculer $D$ et $D^2$.
\item Montrer que $A^2 = P D^2 P^{- 1}$.
\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier $n$ strictement positif, $A^n=PD^nP^{-1}$, $D^n=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0,75^n \end{pmatrix}$ et $X_n = A^n X_0$.
 \begin{enumerate}
\item Calculer $A^n$.
\item En déduire les expressions de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter ce résultat.
\item Calculer la somme $a_n+b_n$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

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\exo 

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On considère les matrices  $P = {\begin{pmatrix} 1 & -1 \\
2 & -\dfrac{1}{2} \\ \end{pmatrix} }$  et  $D = {\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0  \\
0 & 2 \\ \end{pmatrix} }$ 

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\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

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\begin{enumerate}
	\item Calculer $D^2$ et $D^3$.
	\item On note $P^{-1}$  la matrice inverse de la matrice $P$. Vérifier que $P^{-1}={\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \\[7pt]
-\dfrac{4}{3} & \dfrac{2}{3}\\ \end{pmatrix} }$
\item Soit $A$ la matrice telle que $A=P \times D \times P^{-1}$. Calculer $A$.
\item Montrer que $A^2=P \times D^2 \times P^{-1}$ et $A^3=P \times D^3 \times P^{-1}$. 
\end{enumerate}

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\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

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On considère la suite $\left( u_n \right)$  définie par $u_0= 2$ , $u_1= 1$  et pour tout entier $n$, $u_{n+2}= \dfrac{5}{2}u_{n+1}-u_n$.
\begin{enumerate}
	\item Pour tout entier $n$, on pose $V_n={\begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \\ \end{pmatrix} }$.
	
\begin{enumerate}
	\item Donner $V_0$ et $V_1$.
	\item Montrer que $V_{n+1}=A \times V_n$ .
\end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier $n$, $V_{n}=A^n \times V_0$ où $A^n=P \times D^n \times P^{-1}$ et  $D^n={\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2^n} & 0  \\ 0 & 2^n \\ \end{pmatrix} }$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer $P \times D^6$.
	\item Calculer $V_6$.
	\item En déduire les valeurs de $u_6$ et $u_7$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
