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  \stepcounter{nexo} 
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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\02 fevrier 2012}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{fonctions de deux variables}}}}} %centre
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\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 


\begin{document}

Dans de nombreux contextes, l'utilisation de fonctions comportant une seule variable n'est pas vraiment réaliste. Par exemple, on peut étudier un coût de production avec deux facteurs : le facteur travail et le facteur capital. 

Si $x$  représente le coût du facteur travail et $y$ celui du facteur capital, le coût total de production est donné par la fonction $f(x;y)$.

\section{fonction de deux variables} 

\subsection{définition} 

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
Soit $I$ et $J$ deux intervalles.

Définir une fonction $f$ de deux variables c'est associer à chaque couple $(x;y)$, $x \in I$ et $y\in J$, un réel et un seul, noté $f(x;y)$.
\end{minipage}}

\subsection{représentation graphique} 

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
L'espace est muni d'un repère \Oijk. La représentation graphique d'une fonction $f$ de deux variables, $x \in I$ et $y\in J$, est la surface $\mathcal{S}$ d'équation $z=f(x;y)$.
\end{minipage}}
\medskip 

 \textsf{\small{\textsc{exemple}}} 

\medskip

On a représenté ci-dessous, la surface $\mathcal{S}$ d'équation $z = x^2 + xy $ pour $x\in]0;10]$ et $y\in [0;10]$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(15,13)
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.8 .6 1}
\newrgbcolor{C2}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C3} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{rouge}{.6 .2 .45}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=130,Beta=-20}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=10,drawing=false]
%plans de base
\psset{xsubticks=10,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=5}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=5}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=10](0,0)(10,10)
% coordonnées
\multido{\n=1+1}{10}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](\n,10,0)(\n,10,-.1)\pstThreeDPut(\n,10,-.5){\scriptsize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,\n,0)(0,\n,-.1)\pstThreeDPut(-.1,\n,-0.5){\scriptsize{\n}}}
%z divisé par 10
\psset{yunit=.025cm}
\multido{\n=0+40}{6}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,\n)(0,-.2,\n)\pstThreeDPut(0,-.8 ,\n){\scriptsize{\n}}}
\psset{unit=.5cm,linewidth=.5pt,linecolor=C0}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](0, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){t 0 t dup mul 20 div }
\pstThreeDLine[linewidth=.1pt](0,0,0)(0,10,0)}

%z>10 
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](3.06226, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 6.32456){t 0 t dup mul 20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100,linecolor=C5](6.32456, 3.06226){t 40 t div t sub  2}
}

%z>20
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](5.24695, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 8.94427){t 0 t dup mul 20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](8.94427, 5.24695){t 80 t div t sub  4}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](7.04159, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 2){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 7.04159){t 120 t div t sub  6}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](8.60147, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 6){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 8.60147){t 160 t div t sub  8}
}

\psplotThreeD[xPlotpoints=100,yPlotpoints=10,drawStyle=xLines,linecolor=C0](0,10)(0,10){x dup mul x y  mul  add  20 div}

\multido{\n=0+1}{11}{%
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=yLines,yPlotpoints=100,xPlotpoints=1](\n,\n)(0,10){x dup mul x y  mul  add  20 div}
}
\pstThreeDDot[dotstyle=Bo,dotscale=0.6,linewidth=2pt,linecolor=rouge](7,6,4.55)
\pstThreeDPut(7,6,5.1){\footnotesize{\bf{\rouge $A$}}}

% Axes

\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,10,0)(10,10,0)
\rput[l](11,-2){\textbf{\footnotesize{$x$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,0)(0,10,0)
\rput[l](3.5,-2.5){\textbf{\footnotesize{$y$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,0)(0,0,10)
\rput[l](-1.5,4.5){\textbf{\footnotesize{$z$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

$A(7;6;z_A)$ est un point de la surface $\mathcal{S}$, ses coordonnées vérifient l'équation de la surface $\mathcal{S}$. 
Sa cote est : \[z_A = 7^2 + 7 \times 6 = 91 \]

Ainsi, le point $A$ de la surface $\mathcal{S}$ a pour coordonnées $A(7;6;91)$

\section{sections de surface} 

On considère une fonction $f$ de deux variables, représentée dans l'espace par une surface d'équation \mbox{$z=f(x;y)$}.

Pour faciliter la perception de la surface, on se sert des intersections de la surface avec des plans parallèles aux plans de base

\subsection{courbes de niveau}

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
Les courbes de niveau $k$ d'une fonction $f$  de deux variables sont les intersections de la surface d'équation $z=f(x;y)$ avec les plans parallèles au plan $(xOy)$ d'équation $z=k$.

C'est l'ensemble des points $M(x; y;z)$ dont les coordonnées vérifient le système $\displaystyle\left\lbrace
\begin{array}{rcl} z &=& f(x; y) \\z&=&k
\end{array}
\right.
$
\end{minipage}}
\smallskip

 \textsf{\small{\textsc{exemple}}} 

\smallskip 

On a représenté ci-dessous, la surface $\mathcal{S}$ d'équation $z = x^2 + xy $ pour $x\in[0;10]$ et $y\in [0;10]$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(22,12.2)
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.8 .6 1}
\newrgbcolor{C2}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C3} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{T1}{.9 .8 .98}
\newrgbcolor{rouge}{.7 0 .4}
\newpsstyle{TCouleur}{ fillstyle=vlines,hatchcolor=T1,  hatchwidth=0.1\pslinewidth, hatchsep=1.5\pslinewidth}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=130,Beta=-20}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=10,drawing=false]
%plans de base
\psset{xsubticks=10,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=5}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=5}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=10](0,0)(10,10)
% coordonnées
\multido{\n=1+1}{10}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](\n,10,0)(\n,10,-.1)\pstThreeDPut(\n,10,-.5){\scriptsize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,\n,0)(0,\n,-.1)\pstThreeDPut(-.1,\n,-0.5){\scriptsize{\n}}}
%z divisé par 10
\psset{yunit=.025cm}
\multido{\n=0+40}{6}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,\n)(0,-.2,\n)\pstThreeDPut(0,-.8 ,\n){\scriptsize{\n}}}

%coloriage de la surface 
\psset{unit=.5cm,linewidth=.5pt,linecolor=C0}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](0, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){t 0 t dup mul 20 div }
\pstThreeDLine[linewidth=.1pt](0,0,0)(0,10,0)}
\pstThreeDSquare[linecolor=T1,style=TCouleur](0,0,2)(10,0,0)(0,10,0)
%z>10 
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](3.06226, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 6.32456){t 0 t dup mul 20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100,linecolor=C5](6.32456, 3.06226){t 40 t div t sub  2}
}

%z>20
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](5.24695, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 8.94427){t 0 t dup mul 20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](8.94427, 5.24695){t 80 t div t sub  4}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](7.04159, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 2){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 7.04159){t 120 t div t sub  6}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](8.60147, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 6){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 8.60147){t 160 t div t sub  8}
}
% courbes de niveau z=40 et z=80
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100,linecolor=rouge,linewidth=1pt](6.32456, 3.06226){t 40 t div t sub  2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100,linecolor=rouge,linewidth=1pt](8.94427, 5.24695){t 80 t div t sub  4}

%maillage
\psplotThreeD[xPlotpoints=100,yPlotpoints=10,drawStyle=xLines,linecolor=C0](0,10)(0,10){x dup mul x y  mul  add  20 div}
\multido{\n=0+1}{11}{%
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=yLines,yPlotpoints=100,xPlotpoints=1](\n,\n)(0,10){x dup mul x y  mul  add  20 div}
}

% Axes
\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,10,0)(10,10,0)
\rput[l](11,-2){\textbf{\footnotesize{$x$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,0)(0,10,0)
\rput[l](3.5,-2.5){\textbf{\footnotesize{$y$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,0)(0,0,10)
\rput(-1.5,4.5){\textbf{\footnotesize{$z$}}}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=rouge]{->}(14.5,3)(8.5,1)
\uput[r](14.2,3.1){\footnotesize{courbe de niveau $z=40$}}


\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=rouge]{->}(14.5,5)(10,3.45)
\uput[r](14.2,5.1){\footnotesize{courbe de niveau $z=80$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

Les points de la surface $\mathcal{S}$ situés entre les courbes de niveau $z=40$ et $z=80$ ont une cote $40 \leqslant z \leqslant 80$.

Pour déterminer la section de la surface $\mathcal{S}$ avec le plan d'équation $z=40$ on résout le système \[\displaystyle\left\{
\begin{array}{rcl} z &=& x^2 +xy \\z&=&40
\end{array}
\right. \Leftrightarrow \displaystyle\left\{
\begin{array}{rclr} y &=& \dfrac{40 - x^2}{x} & x\ne 0\\z&=&40 &
\end{array}
\right.\]
Dans le plan d'équation $z=40$, la courbe de niveau $z=40$ est la courbe d'équation $y = \dfrac{40 - x^2}{x}$ avec $x\ne 0$

\textsf{\small{\textsc{remarque}}} 

\medskip 

La projection de la surface $\mathcal{S}$ sur le plan $(xOy)$ donne les courbes de niveau $z=k$

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture*}(-1,-.6)(14,10.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.8 .6 1}
\newrgbcolor{C2}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C3} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{T1}{.9 .8 .98}
\newrgbcolor{rouge}{.7 0 .4}
\psset{linewidth=1pt,algebraic=true,plotpoints=100, linecolor=C0}

\psframe[linewidth=0.1pt, fillstyle=solid,fillcolor=C1](0,0)(10,10) 
\def\f{40/x-x}
\pscustom{
\psplot {3.06226}{6.32456}{\f}
\gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=gray](10,0)(10,10)(3.06226,10)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C2]
\grestore}
\def\f{80/x-x} 
\pscustom{
\psplot {5.24695}{8.94427}{\f}
\gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=gray](10,0)(10,10)(5.24695,10)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C3]
\grestore}
\def\f{120/x-x} 
\pscustom{
\psplot{7.04159}{10}{\f}
\gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=gray](10,10)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C4]
\grestore}
\def\f{160/x-x} 
\pscustom{
\psplot {8.60147}{10}{\f}
\gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=gray](10,10)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C5]
\grestore}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(10,10)
\uput[d](5,-.50){\textbf{\footnotesize{$x$}}}
\uput[l](-.5,5){\textbf{\footnotesize{$y$}}}
% Légende
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C1](11.4,2.5)(11.8,2.9) \rput[l](12,2.7){\scriptsize{0-40}}
\psframe[fillcolor=C2](11.4,3.5)(11.8,3.9) \rput[l](12,3.7){\scriptsize{40-80}}
\psframe[fillcolor=C3](11.4,4.5)(11.8,4.9) \rput[l](12,4.7){\scriptsize{80-120}}
\psframe[fillcolor=C4](11.4,5.5)(11.8,5.9) \rput[l](12,5.7){\scriptsize{120-160}}
\psframe[fillcolor=C5](11.4,6.5)(11.8,6.9) \rput[l](12,6.7){\scriptsize{160-200}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{coupes verticales}

\begin{itemize}
	\item Sections de la surface $\mathcal{S}$ par des plans d'équation $x=k$ parallèles au plan $(yOz)$
	
	C'est l'ensemble des points $M(x; y;z)$ dont les coordonnées vérifient le système $\displaystyle\left\lbrace
\begin{array}{rcl} z &=& f(x; y) \\x&=&k
\end{array}
\right.$
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(15,12.5)
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.8 .6 1}
\newrgbcolor{C2}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C3} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{T1}{.9 .8 .98}
\newrgbcolor{rouge}{.7 0 .4}
\newpsstyle{TCouleur}{ fillstyle=vlines,hatchcolor=T1,  hatchwidth=0.1\pslinewidth, hatchsep=1.5\pslinewidth}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=130,Beta=-20}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=10,drawing=false]
%plans de base
\psset{xsubticks=10,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=5}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=5}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=10](0,0)(10,10)
% coordonnées
\multido{\n=1+1}{10}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](\n,10,0)(\n,10,-.1)\pstThreeDPut(\n,10,-.5){\scriptsize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,\n,0)(0,\n,-.1)\pstThreeDPut(-.1,\n,-0.5){\scriptsize{\n}}}
%z divisé par 10
\psset{yunit=.025cm}
\multido{\n=0+40}{6}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,\n)(0,-.2,\n)\pstThreeDPut(0,-.8 ,\n){\scriptsize{\n}}}
\psset{unit=.5cm,linewidth=.5pt,linecolor=C0}

%partie basse du plan x=7
\pscustom[linecolor=T1,style=TCouleur]{
\pstThreeDLine(7,10,5.95)(7,10,0)(7,0,0)(7,0,2.45)
}

%coloriage de la surface 
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](0, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){t 0 t dup mul 20 div }
\pstThreeDLine[linewidth=.1pt](0,0,0)(0,10,0)}

%z>10 
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](3.06226, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 6.32456){t 0 t dup mul 20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100,linecolor=C5](6.32456, 3.06226){t 40 t div t sub  2}
}

%z>20
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](5.24695, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 8.94427){t 0 t dup mul 20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](8.94427, 5.24695){t 80 t div t sub  4}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](7.04159, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 2){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 7.04159){t 120 t div t sub  6}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](8.60147, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 6){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 8.60147){t 160 t div t sub  8}
}
%partie haute du plan x=7
\pscustom[linecolor=T1,style=TCouleur]{
\pstThreeDLine(7,0,2.45)(7,0,10)(7,10,10)(7,10,5.95)
}

%maillage
\psplotThreeD[xPlotpoints=100,yPlotpoints=10,drawStyle=xLines,linecolor=C0](0,10)(0,10){x dup mul x y  mul  add  20 div}
\multido{\n=0+1}{11}{%
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=yLines,yPlotpoints=100,xPlotpoints=1](\n,\n)(0,10){x dup mul x y  mul  add  20 div}
}

\pstThreeDLine[linecolor=rouge,linewidth=1pt](7,0,2.45)(7,10,5.95)
% Axes
\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,10,0)(10,10,0)
\rput[l](11,-2){\textbf{\footnotesize{$x$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,0)(0,10,0)
\rput[l](3.5,-2.5){\textbf{\footnotesize{$y$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,0)(0,0,10)
\rput[l](-1.5,4.5){\textbf{\footnotesize{$z$}}}
\end{pspicture*} 
\end{center}
Pour déterminer la section de la surface $\mathcal{S}$ avec le plan d'équation $x=7$ on résout le système \[\displaystyle\left\{
\begin{array}{rcl} z &=& x^2 +xy \\x&=&7
\end{array}
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{rcl} z &=& 7y + 49\\x&=&7
\end{array}
\right.\]
Dans le plan d'équation $x=7$, la section de la surface $\mathcal{S}$ est la droite d'équation $z = 7y + 49$ 

\bigskip

\item Sections de la surface $\mathcal{S}$ par des plans d'équation $y=k$ parallèles au plan $(xOz)$
	
	C'est l'ensemble des points $M(x; y;z)$ dont les coordonnées vérifient le système $\displaystyle\left\lbrace
\begin{array}{rcl} z &=& f(x; y) \\y&=&k
\end{array}
\right.$
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(15,12.5)
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.8 .6 1}
\newrgbcolor{C2}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C3} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{T1}{.9 .8 .98}
\newrgbcolor{rouge}{.7 0 .4}
\newpsstyle{TCouleur}{ fillstyle=vlines,hatchcolor=T1,  hatchwidth=0.1\pslinewidth, hatchsep=1.5\pslinewidth}
%,Alpha=130,Beta=-30
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=130,Beta=-20}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=10,drawing=false]
%plans de base
\psset{xsubticks=10,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=5}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=5}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=10](0,0)(10,10)
% coordonnées
\multido{\n=1+1}{10}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](\n,10,0)(\n,10,-.1)\pstThreeDPut(\n,10,-.5){\scriptsize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,\n,0)(0,\n,-.1)\pstThreeDPut(-.1,\n,-0.5){\scriptsize{\n}}}
%z divisé par 10
\psset{yunit=.025cm}
\multido{\n=0+40}{6}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,\n)(0,-.2,\n)\pstThreeDPut(0,-.8 ,\n){\scriptsize{\n}}}
\psset{unit=.5cm,linewidth=.5pt,linecolor=C0}
%coloriage de la surface 
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](0, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){t 0 t dup mul 20 div }
\pstThreeDLine[linewidth=.1pt](0,0,0)(0,10,0)}
%z>10 
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](3.06226, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 6.32456){t 0 t dup mul 20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100,linecolor=C5](6.32456, 3.06226){t 40 t div t sub  2}
}

%z>20
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](5.24695, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 0){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 8.94427){t 0 t dup mul 20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](8.94427, 5.24695){t 80 t div t sub  4}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](7.04159, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 2){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 7.04159){t 120 t div t sub  6}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](8.60147, 10){t 10 t dup mul 10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 6){10 t 100  10 t  mul  add  20 div }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10, 8.60147){t 160 t div t sub  8}
}
\pscustom[linecolor=T1,style=TCouleur]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](0, 10){t 4 t dup mul 4 t  mul  add  20 div }
\pstThreeDLine(10,4,7)(10,4,10)(0,4,10)(0,4,0)
}


%maillage
\psplotThreeD[xPlotpoints=100,yPlotpoints=10,drawStyle=xLines,linecolor=C0](0,10)(0,10){x dup mul x y  mul  add  20 div}
\multido{\n=0+1}{11}{%
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=yLines,yPlotpoints=100,xPlotpoints=1](\n,\n)(0,10){x dup mul x y  mul  add  20 div}
}

\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100,linecolor=rouge,linewidth=1pt](0, 10){t 4 t dup mul 4 t  mul  add  20 div }
% Axes
\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,10,0)(10,10,0)
\rput[l](11,-2){\textbf{\footnotesize{$x$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,0)(0,10,0)
\rput[l](3.5,-2.5){\textbf{\footnotesize{$y$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,0)(0,0,10)
\rput[l](-1.5,4.5){\textbf{\footnotesize{$z$}}}
\end{pspicture*} 
\end{center}

Pour déterminer la section de la surface $\mathcal{S}$ avec le plan d'équation $y=4$ on résout le système \[\displaystyle\left\{
\begin{array}{rcl} z &=& x^2 +xy \\y&=&4
\end{array}
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{rcl} z &=& x^2 + 4x\\y&=&4
\end{array}
\right.\]
Dans le plan d'équation $y=4$, la section de la surface $\mathcal{S}$ est la parabole d'équation $z = x^2 +4x$ 
\end{itemize}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo \label{sec:exercices}

 \medskip 

 \textsf{\textbf{\small{\textsc{partie a}}}} 

\medskip 

La figure 1 ci-dessous représente la surface $S$ d'équation $z = -2x^2 + 27x -xy + 12y-y^2$.

\medskip

\begin{center}

\textsf{\textbf{{\small{Figure 1}}}}

\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-14,-2.5)(3.5,11)
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=-22.5,Beta=12,subticks=10}
\definecolor{jauneClair} {rgb}{1 .96 0.76 }
\definecolor{vertClair} {rgb}{.88 .95 0.68}
\definecolor{bleuClair} {rgb}{.8 .98 1}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{0.95 0.9 .98}
\definecolor{bleuGris} {rgb}{0.66 0.66 .68}
\definecolor{bleu} {rgb}{0.1 0.1 .3}
\definecolor{violet} {rgb}{.6 .2 .45}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=10,drawing=false]
\psset{xsubticks=10,ysubticks=10}

\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(10,10)
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz](0,0)(10,10)
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=10](0,0)(10,10)

%Axes et graduations
\pstThreeDLine[linewidth=1pt,linecolor=black](0,10,0)(10,10,0)
\rput[l](-8.5,-2.3){\textbf{\small{$x$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=1pt,linecolor=black](0,0,0)(0,10,0)
\rput[l](-1.5,-1.8){\textbf{\small{$y$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=1pt,linecolor=black](10,10,0)(10,10,10)
\multido{\n=0+2}{6}{\pstThreeDPut(\n,10.25 ,-0.25){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+2}{6}{\pstThreeDPut(-0.25,\n ,-0.25){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+2}{6}{\fpMul{\cote}{\n}{10}\pstThreeDPut(10.25, 10.5,\n){\footnotesize{\cote}}}
\rput[l](-14,3.5){\textbf{\small{$z$}}}
%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 0 à 20
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuGris,plotstyle=curve,linewidth=0.1pt,linecolor=bleuGris]{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](0,0.78)(0,0){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10,liftpen=1](0.78,0){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 64 add sqrt neg t sub 12 add 2 div 2}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](0,0)(2,0){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=100,liftpen=2](8.5,10){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 64 add sqrt t sub 12 add 2 div 2}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=50](8.5,9.547)(10,10){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
\pstThreeDLine(9.547,10,0)(10,9.426,0)
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](10,10)(9.426,8.141){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
}

%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 20 à 40
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve,linewidth=0.1pt,linecolor=bleuClair]{%
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=50,liftpen=1](0.1936,1.695){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 16 sub sqrt neg t sub 12 add 2 div 4}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10,liftpen=1](0.78,0){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 64 add sqrt neg t sub 12 add 2 div 2}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=50,xPlotpoints=1](0,0)(2,10){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](0,1.411)(10,10){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=20,liftpen=1](1.411,0.1936){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 16 sub sqrt t sub 12 add 2 div 4}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20,liftpen=2](7.09,8.5)(10,10){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=20,liftpen=1](8.5,10){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 64 add sqrt  t sub 12 add 2 div 2}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=50,liftpen=1](10,7.09){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 16 sub sqrt  t sub 12 add 2 div 4}
}

%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 40 à 60
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve,linewidth=0.1pt,linecolor=mauveClair]{%
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=20](1.27923,2.805){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 96 sub sqrt neg t sub 12 add 2 div 6}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=20,liftpen=1](1.695,0.2){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 16 sub sqrt neg t sub 12 add 2 div 4}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=20](0.1936,1.411){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 16 sub sqrt  t sub 12 add 2 div 4}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=50](1.411,7.09)(10,10){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=50](7.09,10){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 16 sub sqrt  t sub 12 add 2 div 4}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=50,liftpen=1](10,1.27923){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 96 sub sqrt t sub 12 add 2 div 6}
}
%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 60 à z =80
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=jauneClair,plotstyle=curve,linewidth=0.1pt,linecolor=jauneClair]{%
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10](9.1085,9.295){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 176 sub sqrt neg t sub 12 add 2 div 8}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=50](9.295,2.705){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 176 sub sqrt t sub 12 add 2 div 8}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=50](2.705,4.3915){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 176 sub sqrt neg t sub 12 add 2 div 8}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=50](2.805,1.27923){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 96 sub sqrt neg t sub 12 add 2 div 6}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=50](1.27923,10){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 96 sub sqrt t sub 12 add 2 div 6}
\pstThreeDLine(10,4.316,6)(9.3,2,8)
}
%lignes de niveau z= 80 à 100
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=vertClair,plotstyle=curve,linewidth=0.1pt,linecolor=vertClair]{%
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10](9.1085,9.295){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 176 sub sqrt neg t sub 12 add 2 div 8}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=50](9.295,2.705){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 176 sub sqrt t sub 12 add 2 div 8}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=20](2.705,4.3915){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 176 sub sqrt neg t sub 12 add 2 div 8}
\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=4,xPlotpoints=5,liftpen=1](4,9)(0,4){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
}%courbes de niveau en z
\psset{linewidth=1pt,linecolor=violet}
%dessin de la courbe de niveau z=80
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=50](8.9,2.705){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 176 sub sqrt t sub 12 add 2 div 8}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=20](2.705,3.5){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 176 sub sqrt neg t sub 12 add 2 div 8}
%dessin de la courbe de niveau z=60
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=50](2.805,1.27923){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 96 sub sqrt neg t sub 12 add 2 div 6}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=50](1.27923,10){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 96 sub sqrt t sub 12 add 2 div 6}
%dessin de la courbe de niveau z=40
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=20,liftpen=1](1.695,0.1936){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 16 sub sqrt neg t sub 12 add 2 div 4}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=20](0.1936,1.411){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 16 sub sqrt  t sub 12 add 2 div 4}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=50](7.09,10){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 16 sub sqrt  t sub 12 add 2 div 4}
%dessin de la courbe de niveau z=20
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10](0.78,0){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 64 add sqrt neg t sub 12 add 2 div 2}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=20](8.5,10){t 7 neg t dup mul mul 84 t mul add 64 add sqrt t sub 12 add 2 div 2}

%lignes de niveau en x et en y
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=50](0,6)(1,1){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=50](0,4)(0,0){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
\multido{\n=2+1}{8}{%
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=50](0,10)(\n,\n){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
}
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=50](0,9.547)(10,10){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}

\multido{\n=0+1}{6}{%
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=yLines,yPlotpoints=50,xPlotpoints=1](\n,\n)(0,10){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
}
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=yLines,yPlotpoints=50,xPlotpoints=1](6,6)(1,10){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=yLines,yPlotpoints=50,xPlotpoints=1](7,7)(2,10){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
\multido{\n=8+1}{2}{
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=yLines,yPlotpoints=50,xPlotpoints=1](\n,\n)(3,10){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
}
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=yLines,yPlotpoints=50,xPlotpoints=1](10,10)(3,9.426){2 neg x dup mul mul 27 x mul add x y mul sub 12 y mul add y dup mul  sub 10 div}
\pstThreeDLine(10,9.426,0)(9.547,10,0)
% fin surface

% Légende
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=violet}
\psframe[fillcolor=bleuGris](1.4,2.5)(1.8,2.9) \rput[l](2,2.7){\footnotesize{0-20}}
\psframe[fillcolor=bleuClair](1.4,3.5)(1.8,3.9) \rput[l](2,3.7){\footnotesize{20-40}}
\psframe[fillcolor=mauveClair](1.4,4.5)(1.8,4.9) \rput[l](2,4.7){\footnotesize{40-60}}
\psframe[fillcolor=jauneClair](1.4,5.5)(1.8,5.9) \rput[l](2,5.7){\footnotesize{60-80}}
\psframe[fillcolor=vertClair](1.4,6.5)(1.8,6.9) \rput[l](2,6.7){\footnotesize{80-100}}
\end{pspicture*}
 \end{center} 
 
 
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Le point $A(2 ; 6 ; 70)$ appartient-il à la surface $S$ ?
	\item Placer, sur la figure ci-dessus, le point $B$ d'abscisse 2 et d'ordonnée 4 qui appartient à $S$. Quelle est la cote du point $B$ ?
\end{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Soit $y = 2$.  Exprimer alors $z$ sous 1a forme $z = f (x)$ puis donner la nature de la section de la surface $S$ par le plan d'équation $y = 2$.
	\item Sur la figure 2, la courbe $C$ représente la projection orthogonale dans le plan $(xOz)$ d'une courbe de niveau d'ordonnée constante $k$. Déterminer la valeur de $k$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \begin{center}
 
\textsf{\textbf{{\small{Figure 2}}}} 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(11,5.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(10,5)
\rput[l](5.5,-0.8){\textbf{\small{$x$}}}
\rput[l](-1,2.5){\textbf{\small{$z$}}}
\psset{yunit=0.05cm}
\psaxes[linewidth=0.5pt,Oy=0,Dy=20,,ticksize=0 -3pt]{-}(0,0)(10,100)
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{10}{-2*x^2+21*x+36}
\psdots[linecolor=prune,dotscale=1] (2,70)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=1] (6,90)
 \end{pspicture*}
 \end{center} 
 
\bigskip
 
 \textsf{\textbf{\small{\textsc{partie b}}}} 
 
\medskip
 
 La fabrication d'un produit dépend des durées de fonctionnement de deux machines A et B.  On note :
 
\begin{itemize}
	\item $x$ la durée de fonctionnement de la machine A, exprimée en centaines d'heures ;
	\item $y$ la durée de fonctionnement de la machine B, exprimée en centaines d'heures ;
\end{itemize}
La quantité produite exprimée en tonnes est donnée par la relation :
	\[f(x;y) = -2x^2 + 27x -xy + 12y-y^2 \mbox{ avec } 0< x\leq 10 \mbox{ et } 0< y\leq 10\]
Les contraintes liées aux horaires de travail font que la somme des durées fonctionnement des deux machines A et B est de neuf centaines d'heures.
\begin{enumerate}
	\item On cherche à maximiser la production sous cette contrainte.
	
\begin{enumerate}
	\item Vérifier que la quantité produite exprimée en tonnes sous cette contrainte de temps peut être modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0 ; 10]$ par $g(x)=-2x^2 + 24x +27$.
	\item En déduire les durées de fonctionnement des machines A et B permettant d'obtenir une production maximale. Préciser la quantité maximale produite exprimée en tonnes.
\end{enumerate}
\item La direction de l'entreprise envisage d'augmenter d'une centaine d'heures la somme des durées de fonctionnement des deux machines.

La figure 3 ci-dessous, représente des courbes de niveau de cote constante, projections orthogonales dans le plan $(xOy)$ d'une partie de la surface $S$ d'équation  $z = -2x^2 + 27x -xy + 12y-y^2$.

\begin{center}
\textsf{\textbf{{\small{Figure 3}}}} 

\medskip

\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture*}(2,-0.6)(12,6.5)
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .3}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psset{linewidth=1pt,algebraic=true,plotpoints=200, linecolor=bleu}
% z=91-92
\newrgbcolor{fond}{0.33 0.53 .55}
\psframe[linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,fillcolor=fond](10.4,1.4)(10.6,1.6) \rput[l](10.8,1.5){\footnotesize{91-92}}
\def\f{.5*(12-x+(84*x-7*x^2-220)^.5)}
\def\g{.5*(12-x-(84*x-7*x^2-220)^.5)}
\pscustom{
\psplot{3.86191}{8.13809}{\f}\gsave
\psplot{3.86191}{8.13809}{\g}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=fond]
\grestore}
\psplot{3.86191}{8.13809}{\g}
% z=92-93
\newrgbcolor{fond}{0.8 0 1}
\psframe[linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,fillcolor=fond](10.4,1.8)(10.6,2) \rput[l](10.8,1.9){\footnotesize{92-93}}
\def\f{.5*(12-x+(84*x-7*x^2-224)^.5)}
\def\g{.5*(12-x-(84*x-7*x^2-224)^.5)}
\pscustom{
\psplot{4}{8}{\f}\gsave
\psplot{4}{8}{\g}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=fond]
\grestore}
\psplot{4}{8}{\g}
% z=93-94
\newrgbcolor{fond}{1 .96 0.76}
\psframe[linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,fillcolor=fond](10.4,2.2)(10.6,2.4) \rput[l](10.8,2.3){\footnotesize{93-94}}
\def\f{.5*(12-x+(84*x-7*x^2-228)^.5)}
\def\g{.5*(12-x-(84*x-7*x^2-228)^.5)}
\pscustom{
\psplot{4.14836}{7.85164}{\f}\gsave
\psplot{4.14836}{7.85164}{\g}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=fond]
\grestore}
\psplot{4.14836}{7.85164}{\g}
% z=94-95
\newrgbcolor{fond}{.55 .27 0.07}
\psframe[linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,fillcolor=fond](10.4,2.6)(10.6,2.8) \rput[l](10.8,2.7){\footnotesize{94-95}}
\def\f{.5*(12-x+(84*x-7*x^2-232)^.5)}
\def\g{.5*(12-x-(84*x-7*x^2-232)^.5)}
\pscustom{
\psplot{4.309692}{7.690309}{\f}\gsave
\psplot{4.309692}{7.690309}{\g}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=fond]
\grestore}
\psplot{4.309692}{7.690309}{\g}
% z=95-96
\newrgbcolor{fond}{.75 .9 .73}
\psframe[linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,fillcolor=fond](10.4,3)(10.6,3.2) \rput[l](10.8,3.1){\footnotesize{95-96}}
\def\f{.5*(12-x+(84*x-7*x^2-236)^.5)}
\def\g{.5*(12-x-(84*x-7*x^2-236)^.5)}
\pscustom{
\psplot{4.488143}{7.511857}{\f}\gsave
\psplot{4.488143}{7.511857}{\g}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=fond]
\grestore}
\psplot{4.488143}{7.511857}{\g}
% z=96-97
\newrgbcolor{fond}{.4 .4 .8}
\psframe[linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,fillcolor=fond](10.4,3.4)(10.6,3.6) \rput[l](10.8,3.5){\footnotesize{96-97}}
\def\f{.5*(12-x+(84*x-7*x^2-240)^.5)}
\def\g{.5*(12-x-(84*x-7*x^2-240)^.5)}
\pscustom{
\psplot{4.690694}{7.309307}{\f}\gsave
\psplot{4.690694}{7.309307}{\g}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=fond]
\grestore}
\psplot{4.690694}{7.309307}{\g}
% z=97-98
\newrgbcolor{fond}{.84 .67 .84}
\psframe[linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,fillcolor=fond](10.4,3.8)(10.6,4) \rput[l](10.8,3.9){\footnotesize{97-98}}
\def\f{.5*(12-x+(84*x-7*x^2-244)^.5)}
\def\g{.5*(12-x-(84*x-7*x^2-244)^.5)}
\pscustom{
\psplot{4.930956}{7.069043}{\f}\gsave
\psplot{4.930956}{7.069043}{\g}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=fond]
\grestore}
\psplot{4.930956}{7.069043}{\g}
% z=98-99
\newrgbcolor{fond}{.24 .87 .24}
\psframe[linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,fillcolor=fond](10.4,4.2)(10.6,4.4) \rput[l](10.8,4.3){\footnotesize{98-99}}
\def\f{.5*(12-x+(84*x-7*x^2-248)^.5)}
\def\g{.5*(12-x-(84*x-7*x^2-248)^.5)}
\pscustom{
\psplot{5.244072}{6.755928}{\f}\gsave
\psplot{5.244072}{6.755928}{\g}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=fond]
\grestore}
\psplot{5.244072}{6.755928}{\g}
%\newgray{gray}{.75}
\psgrid[gridwidth=0.05pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=4,subgridwidth=0.05pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](3,0)(9,6.25)
\rput[l](6,-0.5){\textbf{\small{$x$}}}
\rput[l](2.2,3){\textbf{\small{$y$}}}
\psaxes[linewidth=0.5pt,Ox=3,Oy=0,ticksize=0 -3pt]{-}(3,0)(9,6.25)
 \end{pspicture*}
 \end{center} 
\begin{enumerate}
	\item Représenter sur la figure 3 les contraintes  $x+y=10$ et $x+y=9$.
\item Quelle sera la conclusion de la direction de l'entreprise ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

\medskip

Afin d'augmenter sa rentabilité, une entreprise décide d'investir dans deux secteurs notés \textit{A} et \textit{B}. Le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ;6]$ par \[f(x;y)=\dfrac{30x+30y}{2x^2-2xy+y^2+5} \qquad \text{avec}\quad 0\leqslant x \leqslant 6 \quad \text{et}\quad 0\leqslant y \leqslant 6 \]
\begin{itemize}
	\item $x$ est le nombre de milliers d'unités monétaires investies dans le secteur \textit{A}.
	\item $y$ est le nombre de milliers d'unités monétaires investies dans le secteur \textit{B}.
	\item $f(x;y)=t$ signifie que la rentabilité a augmenté de $t\%$. 
\end{itemize}

\medskip

\textsf{\textbf{{\small{PARTIE A}}}} 

\medskip

La figure 1 de l'annexe est la représentation de la surface $S$ d'équation  $z=f(x;y)$.

 
Sur la figure 2  de l'annexe sont représentées les projections orthogonales dans le plan $(xOy)$ des lignes de niveau de cote constante $z=k$. 

On admet que la cote maximale est réduite à un point $T$

 
\begin{enumerate}
	\item Lire les coordonnées du point $A$ de la surface $S$, le placer sur la figure 2.
	\item Placer le point $T$ sur la figure 1. Est-il possible pour cette entreprise d'espérer obtenir un pourcentage d'augmentation de la rentabilité de $16 \%$ ?
	\item Par lecture graphique, avec un investissement de $0,5$ unités monétaires dans le secteur \textit{A} :
	\begin{enumerate}
	\item quel semble être le pourcentage maximal d'augmentation de rentabilité que la direction peut espérer obtenir ?
	\item quel est alors le montant total de l'investissement qui permet d'obtenir ce pourcentage d'augmentation de la rentabilité ?
\end{enumerate}
	\item Graphiquement, est-il préférable d'investir un millier d'unités monétaires dans le secteur \textit{A} et $1,5$ milliers d'unités monétaires dans le secteur \textit{B} ou $3$ milliers d'unités monétaires dans le secteur \textit{A} et $2$ milliers d'unités monétaires dans le secteur \textit{B} ?
	\item Le budget global que l'entreprise peut investir ne doit pas dépasser $6$ milliers d'unités monétaires. Graphiquement, sous la contrainte $x+y=b$ avec $b\leqslant6$ quelle stratégie d'investissement permet d'obtenir le meilleur taux d'augmentation de la rentabilité ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \textsf{\textbf{{\small{PARTIE B}}}}
 
 \medskip
 
 
Le budget total que l'entreprise investit est de $5$ milliers d'unités monétaires.
 

\begin{enumerate}
	\item Vérifier que le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité sous cette contrainte est modélisé par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0;6]$ par $g(x)=\dfrac{30}{x^2-4x+6}$.
	\item Calculer $g'(x)$.
	\item Étudier les variations de la fonction $g$.
	\item En déduire le pourcentage maximum d'augmentation de la rentabilité que la direction peut espérer obtenir avec un investissement de $5$ milliers d'unités monétaires. Quels sont alors les montants investi le secteur \textit{A} et dans le secteur \textit{B} ?
\end{enumerate}
 
 \pagebreak
 
\begin{center}

\textbf{\textsc{\textsf{annexe}}}

\vspace{\stretch{1}}

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-6,-1)(8,9)
\rput(2,-.5){\small{\textbf{\textsc{\textsf{figure 1 :}}}} Surface $S$ d'équation  $z=f(x;y)$}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=28,Beta=-26}

\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{0.65 0.47 .82}
\newrgbcolor{C2}{0.79 0.88 .77}
\newrgbcolor{C3}{.79 .79 0.99}
\newrgbcolor{C4}{.94 .88 0.97}
\newrgbcolor{C5}{.89 .71 .94}
\newrgbcolor{C6}{.88 1 .92}
\newrgbcolor{C7}{.98 1 .91}
\newrgbcolor{C8}{.98 .91 .93}
\def\fxy{x y add 45 mul 4 div   x dup mul 2 mul 2 x mul y mul sub y 2 exp add 5 add div}

\psset{xsubticks=12,ysubticks=12}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy,Dy=1](0,0)(6,6)
\psset{xsubticks=12,ysubticks=16}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=6](0,0)(6,6)
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=6](0,0)(6,6)

\pstThreeDCoor[IIIDticks,xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=6,yMax=6,zMax=6,drawing=false]
%Axes et graduations
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(6,0,0)
\rput[l](-2.5,0.1){\textbf{\small{$x$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(0,6,0)
\rput[l](2,0.5){\textbf{\small{$y$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](6,0,0)(6,0,6)
\rput[l](-5.6,3.5){\textbf{\small{$z$}}}
\rput[l](-.1,-.2,-.2){\footnotesize{0}}
\multido{\n=1+1}{6}{\pstThreeDPut(\n,-0.1 ,-.2){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=1+1}{6}{\pstThreeDPut(-.2,\n ,-.1){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1,\r=0+.75,\i=0+2}{9}{% 
\pstThreeDPut(6.2,-.2 ,\r){ \footnotesize{\i}}
}


%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 0 à 14
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7,plotstyle=line,liftpen=1,linewidth=.1pt,linecolor=C7]{%
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](0,6){0 t 11.25 t mul t 2 exp 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](0,6){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](6,0){6 t 11.25 t 6 add mul t 2 exp 12 t mul sub 77 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](6,0){t 0 11.25 t mul 2 t 2 exp mul 5 add div}
}

%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 14 à 16
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C8,plotstyle=line,liftpen=2,linewidth=.1pt,linecolor=C8]{%
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](3.001,1.283){t 196 neg t 2 exp mul 840 t mul add 755 sub sqrt 14 t mul add 15 add 14 div 5.25}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](1.283,3.001){t 196 neg t 2 exp mul 840 t mul add 755 sub sqrt neg 14 t mul add 15 add 14 div 5.25}
}
%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 0 à 12
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6,plotstyle=line,liftpen=1,linewidth=.1pt,linecolor=C6]{%
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](0,6){0 t 11.25 t mul t 2 exp 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](0,3.25){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](3.25,.823){t 16 neg t 2 exp mul 80 t mul add 55 sub sqrt 4 t mul add 5 add 4 div 4.5}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](.823,4.177){t 16 neg t 2 exp mul 80 t mul add 55 sub sqrt neg 4 t mul add 5 add 4 div 4.5}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](4,6){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](6,0){6 t 11.25 t 6 add mul t 2 exp 12 t mul sub 77 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](6,0){t 0 11.25 t mul 2 t 2 exp mul 5 add div}
}

%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 0 à 10
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5,plotstyle=line,liftpen=1,linewidth=.1pt,linecolor=C5]{%
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](0,6){0 t 11.25 t mul t 2 exp 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](0,2.149){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](2.149,.5){t 4 neg t 2 exp mul 24 t mul add 11 sub sqrt 2 t mul add 3 add 2 div 3.75}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](.5,5.35){t 4 neg t 2 exp mul 24 t mul add 11 sub sqrt neg 2 t mul add 3 add 2 div 3.75}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](5.35,6){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](6,0){6 t 11.25 t 6 add mul t 2 exp 12 t mul sub 77 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](6,0){t 0 11.25 t mul 2 t 2 exp mul 5 add div}
}
%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 0 à 8
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4,plotstyle=line,liftpen=1,linewidth=.1pt,linecolor=C4]{%
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](0,6){0 t 11.25 t mul t 2 exp 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](0,1.436){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](1.436,.2035){t 64 neg t 2 exp mul 480 t mul add 95 sub sqrt 8 t mul add 15 add 8 div 3}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](.2035,6){t 64 neg t 2 exp mul 480 t mul add 95 sub sqrt neg 8 t mul add 15 add 8 div 3}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](5.133,0){6 t 11.25 t 6 add mul t 2 exp 12 t mul sub 77 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](6,0){t 0 11.25 t mul 2 t 2 exp mul 5 add div}
}

%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 0 à 6
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3,plotstyle=line,liftpen=1,linewidth=.1pt,linecolor=C3]{%
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](3.618,6){0 t 11.25 t mul t 2 exp 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](0,.705){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](.705,0){t 4 neg t 2 exp mul 40 t mul add 5 add sqrt 2 t mul add 5 add 2 div 2.25}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,liftpen=2](0,6){t 4 neg t 2 exp mul 40 t mul add 5 add sqrt neg 2 t mul add 5 add 2 div 2.25}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](3.475,0){6 t 11.25 t 6 add mul t 2 exp 12 t mul sub 77 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](6,0){t 0 11.25 t mul 2 t 2 exp mul 5 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](0,1.381){0 t 11.25 t mul t 2 exp 5 add div}
}

%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 2 à 4
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2,plotstyle=line,linewidth=.1pt,linecolor=C2]{%
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10,liftpen=1,linewidth=5pt,linecolor=C0](0,.867){t  0  45 t mul 4 div 2 t 2 exp mul 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=17](.867,0){t 16 neg t 2 exp mul 240 t mul add 145 add sqrt neg 4 t mul add 15 add 4 div 1.5}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=50,liftpen=1](.7396,0){0  t  45 t mul 4 div  t 2 exp 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10,liftpen=2](2.88,6){t  0  45 t mul 4 div 2 t 2 exp mul 5 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=10,liftpen=1](0,1.8){6  t  45 t 6 add mul 4 div t 2 exp 12 t mul sub 77 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=26,liftpen=1](6,2.88){t 16 neg t 2 exp mul 240 t mul add 145 add sqrt neg 4 t mul add 15 add 4 div 1.5}
}
%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 0 à 2
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,plotstyle=curve,linewidth=.1pt,linecolor=C1]{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10,linewidth=.1pt,linecolor=C1](0,.341)(0,0){\fxy}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10](.34963,0){t  4 neg t dup mul mul 120 t mul add 205 add sqrt neg 2 t mul add 15 add 2 div .75}
\psplotThreeD[linewidth=.1pt,linecolor=C1,liftpen=1,drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](0,0)(.34963,0){\fxy}
}
%Lignes de niveau
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10,linewidth=.5pt,linecolor=C0](.349,0){t  4 neg t dup mul mul 120 t mul add 205 add sqrt neg 2 t mul add 15 add 2 div .75}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=17,linewidth=.5pt,linecolor=C0](0,.867){t 16 neg t 2 exp mul 240 t mul add 145 add sqrt neg 4 t mul add 15 add 4 div 1.5}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=26,linewidth=.5pt,linecolor=C0](2.88,6){t 16 neg t 2 exp mul 240 t mul add 145 add sqrt neg 4 t mul add 15 add 4 div 1.5}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](0,6){t 4 neg t 2 exp mul 40 t mul add 5 add sqrt neg 2 t mul add 5 add 2 div 2.25}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](.7,0){t 4 neg t 2 exp mul 40 t mul add 5 add sqrt 2 t mul add 5 add 2 div 2.25}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](1.436,.2035){t 64 neg t 2 exp mul 480 t mul add 95 sub sqrt 8 t mul add 15 add 8 div 3}
\pstThreeDLine[linewidth=.5pt,linecolor=C0](.2035,2.05,3)(.204,2.15,3)
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](.2035,6){t 64 neg t 2 exp mul 480 t mul add 95 sub sqrt neg 8 t mul add 15 add 8 div 3}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](5.35,.5){t 4 neg t 2 exp mul 24 t mul add 11 sub sqrt neg 2 t mul add 3 add 2 div 3.75}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](.5,2.149){t 4 neg t 2 exp mul 24 t mul add 11 sub sqrt 2 t mul add 3 add 2 div 3.75}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](3.25,.823){t 16 neg t 2 exp mul 80 t mul add 55 sub sqrt 4 t mul add 5 add 4 div 4.5}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](.823,4.177){t 16 neg t 2 exp mul 80 t mul add 55 sub sqrt neg 4 t mul add 5 add 4 div 4.5}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](3.001,1.283){t 196 neg t 2 exp mul 840 t mul add 755 sub sqrt 14 t mul add 15 add 14 div 5.25}
\pstThreeDLine[linewidth=.5pt,linecolor=C0](3,4,5.25)(3.001,4.13,5.25)
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](1.283,3.001){t 196 neg t 2 exp mul 840 t mul add 755 sub sqrt neg 14 t mul add 15 add 14 div 5.25}
\pstThreeDLine[linewidth=.5pt,linecolor=C0](1.283,2.333,5.25)(1.2829,2.37,5.25)
\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=C0}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=12,xPlotpoints=50](0,6)(0,6){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=50,xPlotpoints=12](0,6)(0,6){\fxy}
\rput[l](-14,3.5){\textbf{\small{$z$}}}

\pstThreeDDot[fillcolor=C0](1,1.5,4.5)
\pstThreeDPut[fillcolor=C0](1.1,1.5,4.7){\footnotesize{$A$}}
% Légende
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C1](5.4,.5)(5.8,.9) \rput[l](6,.7){\footnotesize{0-2}}
\psframe[fillcolor=C2](5.4,1.5)(5.8,1.9) \rput[l](6,1.7){\footnotesize{2-4}}
\psframe[fillcolor=C3](5.4,2.5)(5.8,2.9) \rput[l](6,2.7){\footnotesize{4-6}}
\psframe[fillcolor=C4](5.4,3.5)(5.8,3.9) \rput[l](6,3.7){\footnotesize{6-8}}
\psframe[fillcolor=C5](5.4,4.5)(5.8,4.9) \rput[l](6,4.7){\footnotesize{8-10}}
\psframe[fillcolor=C6](5.4,5.5)(5.8,5.9) \rput[l](6,5.7){\footnotesize{10-12}}
\psframe[fillcolor=C7](5.4,6.5)(5.8,6.9) \rput[l](6,6.7){\footnotesize{12-14}}
\psframe[fillcolor=C8](5.4,7.5)(5.8,7.9) \rput[l](6,7.7){\footnotesize{14-16}}
\end{pspicture*}

\vspace{\stretch{2}}

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-.5,-1.5)(8.5,6.5)
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{0.65 0.47 .82}
\newrgbcolor{C2}{0.79 0.88 .77}
\newrgbcolor{C3}{.79 .79 0.99}
\newrgbcolor{C4}{.94 .88 0.97}
\newrgbcolor{C5}{.89 .71 .94}
\newrgbcolor{C6}{.88 1 .92}
\newrgbcolor{C7}{.98 1 .91}
\newrgbcolor{C8}{.98 .91 .93}
\newrgbcolor{C9}{.57 .12 .92}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(4,-1){\small{\textbf{\textsc{\textsf{figure 2 : }}}} Lignes de niveau $z=k$}
\psscalebox{-1 1}{
\rput(-6,0){
\psframe[linewidth=.1pt, fillstyle=solid,fillcolor=C1](0,0)(6,6)
\def\f{7.5+x-.5*sqrt(120*x-4*x^2+205)}
\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C2]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{0}{.3496}{7.5+x-.5*sqrt(120*x-4*x^2+205)}
\gsave
\psline[liftpen=1](.3496,0)(6,0)(6,6)(0,6)(0,.341)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C2] \grestore }

\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C3]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{0}{.867}{3.75+x-.25*sqrt(240*x-16*x^2+145)}
\gsave
\psline[liftpen=1](.867,0)(2.88,0)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{2.88}{6}{3.75+x-.25*sqrt(240*x-16*x^2+145)}
\psline[liftpen=1](6,1.8)(6,6)(0,6)(0,.7396)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C3] \grestore }

\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C4]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{0}{6}{2.5+x-.5*sqrt(40*x-4*x^2+5)}
\gsave
\psline[liftpen=1](6,3.475)(6,6)(.705,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=30]{.705}{0}{2.5+x+.5*sqrt(40*x-4*x^2+5)}
\psline[liftpen=1](0,3.618)(0,1.382)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C4] \grestore }

\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C5]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{.20344}{6}{1.875+x-.125*sqrt(480*x-64*x^2-95)}
\gsave
\psline[liftpen=1](6,5.1335)(6,6)(1.436,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=30]{1.436}{.20344}{1.875+x+.125*sqrt(480*x-64*x^2-95)}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C5] \grestore }

\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C6]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{.5}{5.35}{1.5+x-.5*sqrt(24*x-4*x^2-11)}
\gsave
\psline[liftpen=1](5.35,6)(2.149,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=30]{2.149}{.5}{1.5+x+.5*sqrt(24*x-4*x^2-11)}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C6] \grestore }

\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C7]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{.823}{4.177}{1.25+x-.25*sqrt(80*x-16*x^2-55)}
\gsave
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{4.177}{4}{1.25+x+.25*sqrt(80*x-16*x^2-55)}
\psline[liftpen=1](4,6)(3.25,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{3.25}{.823}{1.25+x+.25*sqrt(80*x-16*x^2-55)}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C7] \grestore }

\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C8]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{1.2828}{3}{(14*x+15-sqrt(840*x-196*x^2-755))/14}
\gsave
\psline[liftpen=1](3,4)(3,4.14)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{3}{1.2828}{(14*x+15+sqrt(840*x-196*x^2-755))/14}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C8] \grestore }

%lignes de niveau
\psset{,linewidth=.5pt, linecolor=C0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{0}{.349}{7.5+x-.5*sqrt(120*x-4*x^2+205)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{0}{.867}{3.75+x-.25*sqrt(240*x-16*x^2+145)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=30]{2.88}{6}{3.75+x-.25*sqrt(240*x-16*x^2+145)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{0}{6}{2.5+x-.5*sqrt(40*x-4*x^2+5)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{0}{.705}{2.5+x+.5*sqrt(40*x-4*x^2+5)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{.20344}{6}{1.875+x-.125*sqrt(480*x-64*x^2-95)}
\psline(.20344,2.072)(.20344,2.084)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{.20344}{1.436}{1.875+x+.125*sqrt(480*x-64*x^2-95)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{.5}{5.35}{1.5+x-.5*sqrt(24*x-4*x^2-11)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{2.149}{.5}{1.5+x+.5*sqrt(24*x-4*x^2-11)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{.823}{4.177}{1.25+x-.25*sqrt(80*x-16*x^2-55)}
\psline(4.177,5.414)(4.177,5.44)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{4.177}{4}{1.25+x+.25*sqrt(80*x-16*x^2-55)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{3.25}{.823}{1.25+x+.25*sqrt(80*x-16*x^2-55)}
\psline(.823,2.086)(.823,2.06)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{1.2828}{3}{(14*x+15-sqrt(840*x-196*x^2-755))/14}
\psline(3,4)(3,4.14)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{3}{1.2828}{(14*x+15+sqrt(840*x-196*x^2-755))/14}
\psline(1.2828,2.364)(1.2828,2.344)
}
}

\psaxes[xlabelsep=.75mm,ylabelsep=-.35cm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.75pt,Dx=-1]{->}(6,0)(-.25,6.25)
\uput[d](3,-.25){\footnotesize{$x$}}
\uput[r](6.25,3){\footnotesize{$y$}}
\psdot[fillcolor=C9,dotstyle=o](4,3)
\uput[ul](4,3){\footnotesize{\textcolor{C9}{$T$}}}
\psset{unit=.6cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(12,12)

\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C1](14.2,2)(15,2.8) \rput[l](15.5,2.4){\footnotesize{0-2}}
\psframe[fillcolor=C2](14.2,3)(15,3.8) \rput[l](15.5,3.4){\footnotesize{2-4}}
\psframe[fillcolor=C3](14.2,4)(15,4.8) \rput[l](15.5,4.4){\footnotesize{4-6}}
\psframe[fillcolor=C4](14.2,5)(15,5.8) \rput[l](15.5,5.4){\footnotesize{6-8}}
\psframe[fillcolor=C5](14.2,6)(15,6.8) \rput[l](15.5,6.4){\footnotesize{8-10}}
\psframe[fillcolor=C6](14.2,7)(15,7.8) \rput[l](15.5,7.4){\footnotesize{10-12}}
\psframe[fillcolor=C7](14.2,8)(15,8.8) \rput[l](15.5,8.4){\footnotesize{12-14}}
\psframe[fillcolor=C8](14.2,9)(15,9.8) \rput[l](15.5,9.4){\footnotesize{14-16}}
\end{pspicture}
\end{center} 

\pagebreak

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France Métropolitaine Juin 2007})

 \medskip 


La production journalière d'une entreprise dépend de deux facteurs : le travail de la main d'{\oe}uvre et l'utilisation des machines. On désigne :

\begin{itemize}
\item par $x$ la durée journalière de travail de la main d'{\oe}uvre, exprimée en heure; $x$ appartient à l'intervalle $]0~;~10]$
\item par $y$ la durée journalière d'utilisation des machines, exprimée en heures; $y$ appartient à l'intervalle $]0~;~12]$.
\end{itemize}
La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation :\[
f\left(x;y\right)=\frac{3xy}{x+y}\mbox{ avec }0<x\leqslant10\mbox{ et }0<y\leqslant12.\]


La figure ci-dessous représente la surface $\left(\mathcal{S}\right)$ d'équation : $z=f\left(x;y\right)$ pour $0<x\leqslant10$ et $0<y\leqslant12$.

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2)(16.5,14)
\psset{Beta=18,Alpha=170}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.4 .2 .6}
\newrgbcolor{C2} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C3}{.8 .6 1}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{C6}{.28 1 0.6}
\newrgbcolor{C7}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C8}{1 1 .8}
\newrgbcolor{C9}{.8 .6 .5}
\newrgbcolor{C11}{.6 .7 .6}
\newrgbcolor{C10}{.9 .8 0.98}
\newrgbcolor{C12}{.05 0.25 .05}
\psset{linecolor=gray}
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,9)(0,12,9)(10,12,9)(10,12,0)(10,0,0)(0,0,0)
 \pstThreeDPut(-0.25,0,2){\footnotesize 4}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,4){\footnotesize 8}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,6){\footnotesize 12}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,1){\footnotesize 2}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,3){\footnotesize 6}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,5){\footnotesize 10}  
 \pstThreeDPut(-0.25,0,0){\footnotesize 0}
\pstThreeDPut(-0.25,0,7){\footnotesize 14}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,8){\footnotesize 16}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,9){\footnotesize 18}
\pstThreeDPut(5,0,-1){\footnotesize{$x$ : durée journalière de travail de la main d'{\oe}uvre}}
\pstThreeDPut(12.5,6,0){\footnotesize{$y$: durée journalière}}
\pstThreeDPut(12.5,5.5,-0.5){\footnotesize{d'utilisation des machines}}
\rput{90}(-1,5){\footnotesize{$z$ : quantité journalière produite}}
\rput(7.5,13){\bf{surface $(\mathcal{S})$  d'équation $z=\dfrac{3xy}{x + y}$}}
\pstThreeDLine(0,12,0)(0,12,9)
\psset{linewidth=0.5pt}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.25){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDPut(10.2,\n,-.25){\scriptsize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{9}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,12,\n)(10,12,\n)}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,12,0)(\n,12,9)}
\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDLine(10,\n,0)(0,\n,0)(0,\n,9)}
%z est divisé par 2

\psset{linecolor=C0,linewidth=0.75pt}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C12]{ 
\pstThreeDLine(0,0,0)(10,0,0)
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](0,12){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,0){ t 12 18 t mul 12 t add div}
\pstThreeDLine(10,0,0)(0,0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](0.70588,10){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0.7142857,0){10 t 15 t mul 10 t add div}
\pstThreeDLine(10,0,0)(0,0,0)(0,12,0)
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,0.70588){t 12 18 t mul t 12 add div}
}
%z=2-4
\pscustom[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=C2,hatchcolor=C3,hatchsep=4pt]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,0.70588){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0.70588,1.5){t 12 18 t mul t 12 add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](1.5,10){t 4 t mul 3 t mul 4 sub div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](1.53846,0.7142857){10 t 15 t mul 10 t add div}
}
%z=4-6
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](2.4,10){t 6 t mul 3 t mul 6 sub div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2.5,1.53846){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,1.5){t 4 t mul 3 t mul 4 sub div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](1.5,2.4){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=6-8
\pscustom[fillstyle=vlines*,fillcolor=C5,hatchcolor=C6]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](2.4,10){t 6 t mul 3 t mul 6 sub div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2.5,3.6364){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,3.42857){t 8 t mul 3 t mul 8 sub div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2.4,3.42857){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=8-10
\newgray{gris}{0.30}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](3.42857,10){t 8 t mul 3 t mul 8 sub div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](3.6364,5){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,4.61538){t 10 t mul 3 t mul 10 sub div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.61538,3.42857){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=10-12
\pscustom[fillstyle=hlines*,fillcolor=C8,hatchcolor=C9]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](4.61538,10){t 10 t mul 3 t mul 10 sub div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](5,6.6667){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](6,10){t 12 t mul 3 t mul 12 sub div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](6,4.61538){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=12-14
\newgray{gris}{0.60}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C10]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](6,10){t 12 t mul 3 t mul 12 sub div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](6.6666,8.75){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,7.63636){t 14 t mul 3 t mul 14 sub div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=500](7.63636,6){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=14-16
\pscustom[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=C11,hatchcolor=white,hatchsep=3pt,hatchwidth=1.8pt]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](7.6364,10){t 14 t mul 3 t mul 14 sub div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](8.75,11.42857){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,9.6){t 16 t mul 3 t mul 16 sub div 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](9.6,7.6364){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%surface
\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=bleu}
\psplotThreeD[xPlotpoints=10,yPlotpoints=12,drawStyle=xyLines,plotstyle=curve](0.001,10)(0.001,12){%
3 x y mul mul x y add div 2 div}
% le bord de la surface :
\parametricplotThreeD[linecolor=C0](0,10){t 12 t 36 mul t 12 add div 2 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=C0](0,12){10 t t 15 mul t 10 add div}
%le point A
\pstThreeDDot[dotstyle=x,dotscale=2,linewidth=2pt](6,1.7142857,2)
\pstThreeDPut(5.8,1.5,2.55){\large{\bf{$A$}}}
%la légende
\psset{linewidth=0.5pt, linecolor=C0}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C1](13,3.5)(13.5,4)  \rput[l](14,3.75){$0\leqslant z\leqslant 2$}
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=C2,hatchcolor=C3,hatchsep=4pt](13,4.25)(13.5,4.75)  \rput[l](14,4.5){$2\leqslant z\leqslant 4$}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C4](13,5)(13.5,5.5)  \rput[l](14,5.25){$4\leqslant z\leqslant 6$}
\psframe[fillstyle=vlines*,fillcolor=C5,hatchcolor=C6](13,5.75)(13.5,6.25)  \rput[l](14,6){$6\leqslant z\leqslant 8$}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C7](13,6.5)(13.5,7)  \rput[l](14,6.75){$8\leqslant z\leqslant 10$}
\psframe[fillstyle=hlines*,fillcolor=C8,hatchcolor=C9](13,7.25)(13.5,7.75)  \rput[l](14,7.5){$10\leqslant z\leqslant 12$}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C10](13,8)(13.5,8.5)  \rput[l](14,8.25){$12\leqslant z\leqslant 14$}
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=C11,hatchcolor=white,hatchsep=3pt,hatchwidth=1.8pt](13,8.75)(13.5,9.25)  \rput[l](14,9){$14\leqslant z\leqslant 16$}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C12](13,9.5)(13.5,10)  \rput[l](14,9.75){$16\leqslant z\leqslant 18$}
\end{pspicture*}
\par\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{ Partie 1 :}}} Le point $A$ représenté par une croix est un point de la surface $\left(\mathcal{S}\right)$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer graphiquement l'abscisse et la cote du point $A$. Calculer son ordonnée (arrondie au dixième).
\item  Interpréter les résultats obtenus en référence à la production journalière de l'entreprise.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{ Partie 2 :}}} Pour chaque heure, le coût total du travail s'élève à 4 milliers d'euros, et le coût d'utilisation des machines s'élève à 1 millier d'euros.

L'entreprise décide de dépenser 36 milliers d'euros par jour et cherche à maximiser sa production journalière sous cette contrainte. On a alors $4x+y=36$.

La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte de coût peut donc être modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~10]$ par $g(x)={\displaystyle \frac{4x^{2}-36x}{x-12}}$.

\begin{enumerate}
\item  On note $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur l'intervalle $]0~;~10]$.
\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~10]$, calculer $g'(x)$ et montrer que $g'(x)={\displaystyle\frac{4\left(x-6\right)\left(x-18\right)}{\left(x-12\right)^{2}}}$.
\item   étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~10]$.
\end{enumerate}
\item   
\begin{enumerate}
\item  En déduire la durée journalière de travail et la durée journalière d'utilisation des machines permettant d'obtenir une production journalière maximale pour un coût total de 36 milliers d'euros.
\item  Préciser la quantité journalière maximale produite en tonnes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Polynésie 2007})

 \medskip 


Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectives $x$ et $y$ exprimées en tonnes.

Le coût total de production $z$, exprimé en milliers d'euros, est donné par la relation $z=2x^{2}-8x+y^{2}-6y+18$ avec $x\in\left[0~;~6\right]$ et $y\in\left[0~;~8\right]$.


\begin{enumerate}
\item  La surface $\mathcal{S}$ représentant le coût en fonction de $x$ et $y$ dans un repère orthogonal $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$ est donnée sur la feuille annexe 1, figure 1.

\begin{enumerate}
\item  Le point $A(3 ; 2 ; 3)$ appartient-il à la surface $\mathcal{S}$ ? Justifier. 
\item  Placer sur la figure 1 le point $B$ d'abscisse 5 et d'ordonnée 2 qui appartient à $\mathcal{S}$.
\item  Soit $y=2$. Exprimer alors $z$ sous la forme $z=f\left(x\right)$ puis donner la nature de la section
de la surface $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $y=2$ en justifiant.
\end{enumerate}

\item  La fabrication de $x$ tonnes de savons et de $y$ tonnes des bougies parfumées engendre la contrainte $x + y = 5$.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature de l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient $x+y=5$ ?
\item  Vérifier que, sous la contrainte $x+y=5$, $z$ peut s'écrire sous la forme $z=g\left(x\right)$ avec $g(x)=3x^{2}-12x+13$.
\item  Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $g$ admet un minimum puis la valeur de $y$ et le coût de production $z$
qui correspondent. On note $C$ le point de la surface $\mathcal{S}$ qui correspond à ce coût minimum.
\item  On donne, sur la feuille annexe 1, figure 2, la projection orthogonale de la surface $\mathcal{S}$ sur le plan
$\left(x\mathrm{O}y\right)$ (\og vue de dessus de la surface $\mathcal{S}$ \fg{}).

Construire sur cette figure 2 la projection orthogonale sur le plan $\left(x\mathrm{O}y\right)$ des points dont les coordonnées vérifient $x+y=5$.

Placer sur cette figure 2 le point $C_{1}$, projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $\left(x\mathrm{O}y\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2)(12.5,9)
\rput(5,8.75){\textsf {\textbf{\textsc{figure 1}}}}
\psset{Beta=30,Alpha=170}
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.4 .2 .6}
\newrgbcolor{C2}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C3} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{C6}{.8 .6 1}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=110,Beta=-30}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=6,yMax=8,zMax=6,drawing=false]
%plans de base
\psset{xsubticks=6,ysubticks=8}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(6,8)
\psset{xsubticks=6,ysubticks=6}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz](0,0)(6,6)
\psset{xsubticks=8,ysubticks=6}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=6](0,0)(8,6)
% Axes
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,8,0)(6,8,0)
\rput[l](9,-.5){\textbf{\small{$x$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(0,8,0)
\rput[l](3.5,-1.5){\textbf{\small{$y$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(0,0,6)
\rput[l](-1,3){\textbf{\small{$z$}}}
% coordonnées
\multido{\n=0+1}{7}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](\n,8,0)(\n,8,-.1)\pstThreeDPut(\n,8.1,-.2){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{9}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,\n,0)(0,\n,-.1)\pstThreeDPut(-.1,\n,-0.2){\footnotesize{\n}}}
%z divisé par 10
\psset{unit=.1cm}
\multido{\n=0+10}{7}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,\n)(0,-1,\n)\pstThreeDPut(-1,-3 ,\n){\footnotesize{\n}}}
\psset{unit=1cm,linewidth=.75pt,linecolor=C0}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](0,8){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](0, 6){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](8,0){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](6,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](4.64575,5.4641){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](5.4641, 6){t 41 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt 3 add 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](7.12311,5.64575){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](6,4.64575){t 31 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt 3 add 4}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](5.87298,6){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](0,.354249){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](6,5.87298){t 3 31 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt  sub 4}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](7.58258,8){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](0,4.64575){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](4.64575,6){t 31 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt 3 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](5.64575,.354249){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](6,5.87298){t 3 31 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt  sub 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](5.87298,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](0,7.58258){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](7.58258,8){2 20 6 t mul add t 2 exp sub .5 mul sqrt sub  t  3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](0.585786,3.41421){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](8,0){20 6 t mul add t 2 exp sub .5 mul sqrt 2 add t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](5.16228,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=70](0,7.58258){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](6.31631,7.35889){2 10 6 t mul add t 2 exp sub .5 mul sqrt sub  t  2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](7.35889,0){10 6 t mul add t 2 exp sub .5 mul sqrt 2 add t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.23607,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,7.58258){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=40](4,6){2  3 t mul t 2 exp .5 mul sub sqrt sub  t  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](6,0){2  3 t mul t 2 exp .5 mul sub sqrt add  t  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2){2  3 t mul t 2 exp .5 mul sub sqrt sub  t  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2,4){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
}
\psplotThreeD[xPlotpoints=6,yPlotpoints=8,drawStyle=xyLines,linecolor=C0,plotstyle=curve](0,6)(0,8){%
x 2 exp 2 mul y 2 exp add x 8 mul sub y 6 mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](0,8){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](0, 6){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](8,0){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](6,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
% Légende
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C6](11,1.5)(11.4,1.9) \rput[l](11.6,1.7){\footnotesize{0 - 10}}
\psframe[fillcolor=C5](11,2.2)(11.4,2.6) \rput[l](11.6,2.4){\footnotesize{10 - 20}}
\psframe[fillcolor=C4](11,2.9)(11.4,3.3) \rput[l](11.6,3.1){\footnotesize{20 - 30}}
\psframe[fillcolor=C3](11,3.6)(11.4,4) \rput[l](11.6,3.8){\footnotesize{30 - 40}}
\psframe[fillcolor=C2](11,4.3)(11.4,4.7) \rput[l](11.6,4.5){\footnotesize{40 - 50}}
\psframe[fillcolor=C1](11,5)(11.4,5.4) \rput[l](11.6,5.2){\footnotesize{50 - 60}}
\end{pspicture*}
\medskip
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-1)(10.5,7.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.4 .2 .6}
\newrgbcolor{C2}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C3} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{C6}{.8 .6 1}
\rput(5,7){\textsf {\textbf{\textsc{figure 2}}}}

\psset{linewidth=0.75pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C1](0,0)(8,6)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{8}{7.12311}{2+(.5*(40+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(7.12311,6)(0,6)(0,0)(8,0)(8,5.4641)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{8}{5.64575}{2+(.5*(30+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(5.64575,6)(.354249,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{.354249}{0}{2+(.5*(30+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(0,0)(8,0)(8,4.64575)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{7.58258}{8}{2-(.5*(20+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(8,.585786)(8,3.41421)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{8}{0}{2+(.5*(20+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(0,0)(7.58258,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{6.31631}{7.35889}{2-(.5*(10+6*x-x^2))^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{7.35889}{0}{2+(.5*(10+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(0,0)(6.31631,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{4}{6}{2-(.5*(6*x-x^2))^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{6}{0}{2+(.5*(6*x-x^2))^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{0}{2}{2-(.5*(6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(2,0)(4,0)
}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=C0,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(8,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yAxis=false]{-}(0,0)(8.1,0)
\psaxes[labelsep=-3.6mm,linewidth=.75pt,yticksize=-2pt 2pt,xAxis=false]{-}(8,0)(8,6)
\uput[d](4,-.25){$y$} \uput[r](8.25,3){$x$}
\psset{unit=1cm}

% Légende
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C6](11,1.5)(11.4,1.9) \rput[l](11.6,1.7){\footnotesize{0 - 10}}
\psframe[fillcolor=C5](11,2.2)(11.4,2.6) \rput[l](11.6,2.4){\footnotesize{10 - 20}}
\psframe[fillcolor=C4](11,2.9)(11.4,3.3) \rput[l](11.6,3.1){\footnotesize{20 - 30}}
\psframe[fillcolor=C3](11,3.6)(11.4,4) \rput[l](11.6,3.8){\footnotesize{30 - 40}}
\psframe[fillcolor=C2](11,4.3)(11.4,4.7) \rput[l](11.6,4.5){\footnotesize{40 - 50}}
\psframe[fillcolor=C1](11,5)(11.4,5.4) \rput[l](11.6,5.2){\footnotesize{50 - 60}}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
 \pagebreak
 
\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Centres étrangers 2011})

 \medskip 


On considère la fonction $f$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~10]$ et tout réel $y$ de l'intervalle $[0~; ~8]$ par \[f (x ; y) =\dfrac{1}{4}xy.\]

La représentation graphique de la surface $\left( S \right)$ d'équation $z = f (x ; y)$ dans un repère orthonormé \Oijk est donnée en  annexe. 

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique  de l'annexe colorer la courbe de niveau $\left( \Gamma \right)$ de cote 10. 
Donner la nature de  cette courbe.
 \item  Placer sur le graphique de l'annexe le point $C$ d'ordonnée 5 appartenant à cette courbe $\left( \Gamma \right)$. 

Déterminer graphiquement l'abscisse de ce point 
 \item   Vérifier que le point $B$ de coordonnées $(6~;~2~;~3)$ appartient à la surface $\left( S \right)$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Les membres du bureau du foyer socio-éducatif d'un lycée font une étude pour déterminer quelle cotisation demander par élève au cours de l'année 2010.

Ils voudraient investir le quart des cotisations dans la rénovation de la salle de détente, réservée aux élèves. 

Si la cotisation s'élève à $x$ euros avec $0 \leqslant x \leqslant 10$ et si $y$ centaines d'élèves adhèrent au foyer avec $0  \leqslant  y  \leqslant 8$, la somme allouée aux travaux de rénovation de la salle de détente en centaines d'euros sera égale à $f(x ; y)$. 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la somme allouée à la rénovation de la salle de détente lorsque la cotisation est fixée à  6 euros par élève et que 600 élèves sont adhérents au foyer ? 
\item  Les membres du foyer font l'hypothèse que le nombre $y$, en centaines d'adhérents, et le nombre $x$, en euros, sont directement liés par la relation $y  =  12 - x$ 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, sous cette contrainte, on peut exprimer $f (x ;  y)$ en fonction de la seule variable $x$ sous la forme $h(x) =  3x - \dfrac{1}{4}x^2$.
		\item Déterminer pour quelle valeur de $x$ la somme allouée sera la plus élevée .
		\item De quelle somme en euros disposeront les membres du foyer pour la rénovation dans ce cas ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(16,15)
\definecolor{C1} {rgb}{.65 .58 .8}
\definecolor{C2} {rgb} {.85 .88 1}
\definecolor{C3} {rgb}{.5 .5 1}
\definecolor{C4} {rgb}{.95 .89 .98}
\definecolor{C5} {rgb}{1 1 0.8}
\definecolor{C6} {rgb}{.8 .8 1}
\definecolor{C7} {rgb}{.7 0.4 .8}
\definecolor{C8} {rgb}{.92 .86 .95}
\definecolor{C9} {rgb}{.72 .55 .68}
\definecolor{C10} {rgb}{.96 .9 0.88}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(7.5,15){\textsf {\small{\textbf{\textsc{annexe}}}}}
\rput(7.5,14){\small{\textbf {Surface (S)}}}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=162,Beta=24}
\psset{xsubticks=20,ysubticks=8}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=20,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=10](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz](0,0)(10,10)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=10,drawing=false] 
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=black}
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,10)
\pstThreeDLine(0,0,0)(10,0,0)
\pstThreeDLine(10,0,0)(10,10,0)

\psset{linewidth=0.25pt,linecolor=black}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,-.1,0)(\n,0,0)
\pstThreeDPut(\n,0,-0.25){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=2.5+2.5,\i=2+2}{4}{\pstThreeDLine(10,\n,-.1)(10,\n,0)\pstThreeDPut(10.1,\n,-0.3){\footnotesize{\i}}}
\multido{\n=0+1,\i=0+2}{11}{\pstThreeDLine(-.1,0,\n)(0,0,\n)\pstThreeDPut(-.25,0,\n){\footnotesize{\i}}}
\pstThreeDPut(5,-1,-.5){$x$}
\pstThreeDPut(10,7,-1.5){$y$}
\pstThreeDPut(-1,0,5){$z$}


%surface
\psset{linewidth=0.1pt}
% z = 0 à z= 20
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C10,linecolor=C10]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){10 t 10 t mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){t 10  10 t mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C9,linecolor=C9]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,9){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,9){t 90 t div 9}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](9,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C8,linecolor=C8]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,8){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,8){t 80 t div 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](8,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7,linecolor=C7]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,7){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,7){t 70 t div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](7,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6,linecolor=C6]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,6){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,6){t 60 t div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](6,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5,linecolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,5){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,5){t 50 t div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](5,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4,linecolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,4){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,4){t 40 t div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](4,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3,linecolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,3){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,3){t 30 t div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](3,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2,linecolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,2){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,2){t 20 t div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](2,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,linecolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,1){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,1){t 10 t div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](1,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

% lignes de niveau
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=prune}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,1){t  10  t div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,2){t  20  t div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,3){t  30  t div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,4){t  40  t div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,5){t  50  t div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,6){t  60  t div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,7){t  70  t div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,8){t  80  t div 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,9){t  90  t div 9}

\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=8,xPlotpoints=10,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu](0,10)(0,10){x y mul 10 div}  


%la légende
\psset{unit=0.5cm}
%\psframe[linewidth=0.1pt,linecolor=darkgray](27.6,5.6)(32,21.6)
\psset{linewidth=0.1pt, fillstyle=solid,linecolor=prune}
\psframe[ fillcolor=C1](28,6)(28.8,6.8)  \rput[l](29.6 ,6.4){\small{\textsf{0-2}}}
\psframe[ fillcolor=C2](28,7.6)(28.8,8.4)  \rput[l](29.6,8){\small{\textsf{2-4}}}
\psframe[ fillcolor=C3](28,9.2)(28.8,10)  \rput[l](29.6,9.6){\small{\textsf{4-6}}}
\psframe[ fillcolor=C4](28,10.8)(28.8,11.6)  \rput[l](29.6,11.2){\small{\textsf{6-8}}}
\psframe[ fillcolor=C5](28,12.4)(28.8,13.2)  \rput[l](29.6,12.8){\small{\textsf{8-10}}}
\psframe[ fillcolor=C6](28,14)(28.8,14.8)  \rput[l](29.6,14.4){\small{\textsf{10-12}}}
\psframe[ fillcolor=C7](28,15.6)(28.8,16.4)  \rput[l](29.6,16){\small{\textsf{12-14}}}
\psframe[ fillcolor=C8](28,17.2)(28.8,18)  \rput[l](29.6,17.6){\small{\textsf{14-16}}}
\psframe[ fillcolor=C9](28,18.8)(28.8,19.6)  \rput[l](29.6,19.2){\small{\textsf{16-18}}}
\psframe[ fillcolor=C10](28,20.4)(28.8,21.2)  \rput[l](29.6,20.8){\small{\textsf{18-20}}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Liban 2009})

 \medskip 

Une entreprise de services à la personne propose dans ses services l'entretien de jardins. Pour ce service, cette entreprise a recours à des employés à temps partiel pour une durée globale de $x$ heures, et elle loue le matériel nécessaire pour une durée globale de $y$ heures. La surface de jardin traitée en une semaine, exprimée en centaines de $\text{m}^2$, est donnée par la fonction $f(x~;~y) = \sqrt{2xy}$ où $x$ et $y$ sont exprimées en heures.

\medskip

Une heure de travail coûte 15~euros et une heure de location du matériel coûte 30~euros. Les contraintes matérielles imposent que $0 \leq x \leq 120$ et $0 \leq y \leq 100$.

La figure 1 donnée en annexe représente la surface $\mathcal{S}$  d'équation $z = f(x~;~y)$.

La figure 2 donnée en annexe représente la projection orthogonale de la surface $\mathcal{S}$ sur le plan $(x\text{O}y)$, les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour $z$ variant de 10 en 10.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les points $A \left(20~;~40~;~z_A\right)$ et $B \left(60~;~y_B ~;~60\right)$ sont des points de la surface $\mathcal{S}$.
		
		Déterminer pour chacun la coordonnée manquante.
		\item Lire sur la figure 1 les coordonnées du point $C$ et en donner une interprétation concrète.
		\item Placer sur la figure 1 le point $D$ de coordonnées $(10~;~80~;~40)$.
		\item Donner la nature de la courbe de niveau $z =50$.
	\end{enumerate}
\item Les contraintes financières imposent de fixer le coût hebdomadaire correspondant à 2400~euros.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $x$ et $y$ sont liés par la relation $y = - \dfrac{1}{2}x + 80$.
\item Quelle est la nature de l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M(x~;~y~;~z)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient  $y = - \dfrac{1}{2}x + 80$ ?
\item Représenter l'ensemble $(\mathcal{E})$ sur la figure 2 de l'annexe.
\item En déduire graphiquement la surface de jardin maximum qu'on peut traiter avec un coût hebdomadaire de 2400~euros.
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, sous la contrainte  $y = - \dfrac{1}{2}x + 80,~z$ peut s'écrire sous la forme $z = g(x)$, $g$ étant la fonction définie sur [0~;~120] par $g(x) = \sqrt{160x - x^2}$.
		\item Démontrer que sur $]0~;~120]$, $g'(x) = \dfrac{80 - x}{\sqrt{160x - x^2}}$, $g'$ désignant la fonction dérivée de $g$, puis démontrer que la fonction $g$ admet un maximum sur l'intervalle $[0~;~120]$.
		\item En déduire le temps de travail et la durée de location hebdomadaire qui permettent de traiter une surface maximum.
	\end{enumerate}
	\end {enumerate}
	
\medskip
	
\begin{center}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-10,-.5)(10,17.5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.4 .2 .6}
\newrgbcolor{C2} {.82 .48 .82}
\newrgbcolor{C3}{.8 .6 1}
\newrgbcolor{C4}{.53 .51 .83}
\newrgbcolor{C5}{.6 .8 .8}
\newrgbcolor{C6}{1 .6 1}
\newrgbcolor{C7}{.88 .87 .89}
\newrgbcolor{C8}{.99 .96 .64}
\newrgbcolor{C9}{.8 .6 1}
\newrgbcolor{C10}{.4 .79 .65}
\newrgbcolor{C11}{.53 1 .79}
\newrgbcolor{C12}{.93 1 .69}
\newrgbcolor{C13}{.88 1 .53}
\newrgbcolor{C14}{.88 .65 .88}
\newrgbcolor{C15}{.61 1 .52}
\newrgbcolor{C16}{1 1 .8}

\rput(0,17){\textbf{\textsc{\textsf{figure 1}}}}

\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=-135,Beta=20}
\psset{xsubticks=12,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(12,10)
\psset{xsubticks=12,ysubticks=16}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=10](0,0)(12,12)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=16}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=12](0,0)(10,12)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=12,yMax=10,zMax=12,drawing=false] 
\pstThreeDPut(6,-1.5,-.5){$x$}
\pstThreeDPut(-1,5,-.5){$y$}
\pstThreeDPut(-1,11,6){$z$}
%z<=160
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C1,gradend=white,gradmidpoint=0.55,gradangle=75,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,12){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD(10,0){12 t 24 t mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=150
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C2,gradend=white,gradmidpoint=0.56,gradangle=70,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,11.25){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](11.25,12){t 225 t 2 mul div 15 .75 mul}
\parametricplotThreeD(9.375,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=140
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C3,gradend=white,gradmidpoint=0.57,gradangle=65,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,9.8){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](9.8,12){t 196 t 2 mul div 14 .75 mul}
\parametricplotThreeD(8.1667,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=130
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C4,gradend=white,gradmidpoint=0.58,gradangle=60,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,8.45){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](8.45,12){t 169 t 2 mul div 13 .75 mul}
\parametricplotThreeD(7.04167,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=120
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C5,gradend=white,gradmidpoint=0.59,gradangle=55,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,7.2){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](7.2,12){t 144 t 2 mul div 12 .75 mul}
\parametricplotThreeD(6,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=110
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C6,gradend=white,gradmidpoint=0.6,gradangle=50,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,6.05){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](6.05,12){t 121 t 2 mul div 11 .75 mul}
\parametricplotThreeD(5.0417,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=100
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C7,gradend=white,gradmidpoint=0.59,gradangle=45,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,5){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](5,12){t 100 t 2 mul div 10 .75 mul}
\parametricplotThreeD(4.167,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=90
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C8,gradend=white,gradmidpoint=0.58,gradangle=40,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,4.05){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](4.05,12){t 81 t 2 mul div 9 .75 mul}
\parametricplotThreeD(3.375,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=80
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C9,gradend=white,gradmidpoint=0.57,gradangle=35,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,3.2){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](3.2,12){t 64 t 2 mul div 8 .75 mul}
\parametricplotThreeD(2.667,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=70
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C10,gradend=white,gradmidpoint=0.56,gradangle=30,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,2.45){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](2.45,12){t 49 t 2 mul div 7 .75 mul}
\parametricplotThreeD(2.041667,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=60
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C11,gradend=white,gradmidpoint=0.55,gradangle=25,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,1.8){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](1.8,12){t 36 t 2 mul div 6 .75 mul}
\parametricplotThreeD(1.5,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=50
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C12,gradend=white,gradmidpoint=0.54,gradangle=20,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,1.25){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](1.25,12){t 25 t 2 mul div 5 .75 mul}
\parametricplotThreeD(1.041667,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=40
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C13,gradend=white,gradmidpoint=0.53,gradangle=15,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,.8){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](0.8,12){t 16 t 2 mul div 4 .75 mul}
\parametricplotThreeD(0.6667,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=30
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C14,gradend=white,gradmidpoint=0.52,gradangle=10,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,.45){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](0.45,12){t 9 t 2 mul div 3 .75 mul}
\parametricplotThreeD(0.375,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=20
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C15,gradend=white,gradmidpoint=0.51,gradangle=5,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,.2){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](0.2,12){t 4 t 2 mul div 2 .75 mul}
\parametricplotThreeD(0.1667,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=10
\pscustom[fillstyle=gradient,gradbegin=C16,gradend=white,gradmidpoint=0.5,plotstyle=curve]{ 
\parametricplotThreeD(0,.05){t 10 20 t mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD[liftpen=1](0.05,12){t 1 t 2 mul div 1 .75 mul}
\parametricplotThreeD(0.04167,0){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%surface
\psset{linewidth=1pt,linecolor=C0,plotpoints=500,plotstyle=curve}
\psplotThreeD[xPlotpoints=12,yPlotpoints=10,drawStyle=xyLines,linewidth=1pt,linecolor=C0](0,12)(0,10){x y mul 2 mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD(0,10){12 t t 24 mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD(0,12){t 10 t 20 mul sqrt .75 mul}
\parametricplotThreeD(11.25,12){t 225 t 2 mul div 15 .75 mul}
\parametricplotThreeD(9.8,12){t 196 t 2 mul div 14 .75 mul}
\parametricplotThreeD(8.45,12){t 169 t 2 mul div 13 .75 mul}
\parametricplotThreeD(7.2,12){t 144 t 2 mul div 12 .75 mul}
\parametricplotThreeD(6.05,12){t 121 t 2 mul div 11 .75 mul}
\parametricplotThreeD(5,12){t 100 t 2 mul div 10 .75 mul}
\parametricplotThreeD(4.05,12){t 81 t 2 mul div 9 .75 mul}
\parametricplotThreeD(3.2,12){t 64 t 2 mul div 8 .75 mul}
\parametricplotThreeD(2.45,12){t 49 t 2 mul div 7 .75 mul}
\parametricplotThreeD(1.8,12){t 36 t 2 mul div 6 .75 mul}
\parametricplotThreeD(1.25,12){t 25 t 2 mul div 5 .75 mul}
\parametricplotThreeD(0.8,12){t 16 t 2 mul div 4 .75 mul}
\parametricplotThreeD(0.45,12){t 9 t 2 mul div 3 .75 mul}
\parametricplotThreeD(0.2,12){t 4 t 2 mul div 2 .75 mul}
\parametricplotThreeD(0.05,12){t 1 t 2 mul div 1 .75 mul}


\pstThreeDDot[dotstyle=Bo,dotscale=0.8,linewidth=2pt,linecolor=prune](9,2,4.5)
\pstThreeDPut(9.4,2.3,4.8){\small{\bf{\prune $C$}}}

\psset{unit=0.6cm,linewidth=0.25pt,linecolor=black}
\multido{\n=0+1}{17}{\fpMul{\z}{\n}{10}\pstThreeDPut(-.4,13.8,\n){\footnotesize{\z}}}
\multido{\n=0+1}{17}{\pstThreeDLine(0,13.3,\n)(-.1,13.4,\n)}
\psset{unit=0.8cm}
\multido{\n=0+1}{13}{\fpMul{\z}{\n}{10}\pstThreeDPut(\n,-0.25,-0.25){\footnotesize{\z}}}
\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,0,-.1)}
\multido{\n=0+1}{11}{\fpMul{\z}{\n}{10}\pstThreeDPut(-0.25,\n,-0.25){\footnotesize{\z}}}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(0,\n,0)(0,\n,-.1)}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,10,12)(0,10,0)(0,0,0)(12,0,0)
\end{pspicture*}

\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(13,11.5)

\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C16}{1 1 .8}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}

\rput(6,11){\textbf{\textsc{\textsf{figure 2}}}}

\def\getx#1{\ifcase#1 .1 \or .05 \or .2 \or .45 \or .8 \or 1.25 \or 1.8 \or 2.45 \or 3.2 \or 4.05 \or 5 \or 6.05 \or 7.2 \or 8.45 \or 9.8 \or 11.25 \fi}

\def\getColor#1{\ifcase#1 1 1 .8 \or .61 1 .52 \or .88 .65 .88 \or .88 1 .53 \or .93 1 .69 \or .53 1 .79 \or .4 .79 .65 \or .8 .6 1 \or .99 0.96 .64 \or .88 .87 .89 \or 1 .6 1 \or .6 .8 .8 \or .53 .51 .83 \or .8 .6 1 \or .82 .48 .82 \or .4 .2 .6 \fi}

\psframe[fillstyle=gradient,gradbegin=C16,gradend=white,gradmidpoint=0.5,linewidth=.1pt](12,10)(0,0)

\multido{\n=1+1}{15}{
\newrgbcolor{Couleur} {\getColor{\n}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=250,linewidth=.1pt, linecolor=C0]{\getx{\n}}{12}{.5*(\n)^2/x} \gsave
\psline[linecolor=gray,linewidth=.1pt](12,10)(0,10)
\fill[fillstyle=gradient,gradbegin=Couleur,gradend=white,gradmidpoint=0.5] \grestore }
}

\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=1,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(12,10)

\multido{\n=1+1}{15}{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1pt, linecolor=C0]{\getx{\n}}{12}{.5*(\n)^2/x}
}
\uput[l](-.5,5){$y$} \uput[d](6,-.5){$x$} 
\psset{unit=.08cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-1 1,Dx=10,yticksize=-1 1,Dy=10]{-}(0,0)(120,100)
\end{pspicture*}
\end{center}
 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Liban 2008})

 \medskip 

Une consommatrice apprécie deux types de fruits $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$. En un mois, elle achète $x$ kilos de fruits $\mathcal{A}$ et $y$ kilos de fruits $\mathcal{B}$; $x$ et $y$ appartiennent à l'intervalle $\left[1 ; 10\right]$.

Son niveau de satisfaction est modélisé par la relation $f (x; y) = \ln y + 2 \ln x$

La figure ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, la surface d'équation $z = f (x; y)$ pour $1\leq x \leq 10$ et  $1\leq y \leq 10$.



\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(0,-1.5)(15.5,10)
\definecolor{jauneClair} {rgb}{1 .96 0.76 }
\definecolor{vertClair} {rgb}{.88 .95 0.68}
\definecolor{bleuGris} {rgb}{0.6 0.6 .9}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{0.9 0.6 .9}
\definecolor{marron} {rgb}{.8 .6 .5}
\definecolor{magenta} {rgb}{1 0 1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
% plans de base
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=102,Beta=-18}
\psset{xsubticks=9,ysubticks=9}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](1,1)(10,10)
\psset{xsubticks=9,ysubticks=7}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=1](1,0)(10,7)
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=10](1,0)(10,7)

\pstThreeDCoor[xMin=1,yMin=1,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=7,drawing=false]

%Axes et graduations
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](1,10,0)(10,10,0)
\rput[l](11.5,.5){\textbf{\small{$x$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](1,1,0)(1,10,0)
\rput[l](5.25,-.75){\textbf{\small{$y$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](1,1,0)(1,1,7)
\rput[l](0.25,3.5){\textbf{\small{$z$}}}
\multido{\n=1+2}{5}{\pstThreeDPut(\n,10.2 ,-0.2){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=1+1}{10}{\pstThreeDPut(0.75,\n ,-0.2){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDPut(0.75,0.75 ,\n){\footnotesize{\n}}}

% coloriage des surfaces
%z<7
 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=vertClair]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2.30259){1 Euler t exp t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2.30259,6.907755){Euler 0.5 t mul exp 10 sqrt div 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,,xPlotpoints=50](6.907755,4.60517){10 Euler  t exp 100 div  t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.60517,0){Euler 0.5 t mul exp 1 t}}
  % z <6
 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2.30259){1 Euler t exp t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=15](2.30259,6){Euler 0.5 t mul exp 10 sqrt div 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,,xPlotpoints=100](6.351,10){t Euler 6 exp t 2 exp div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,,xPlotpoints=10](6,4.60517){10 Euler  t exp 100 div  t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.60517,0){Euler 0.5 t mul exp 1 t}}
 % z <5
 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuGris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2.30259){1 Euler t exp t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=15](2.30259,5){Euler 0.5 t mul exp 10 sqrt div 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,,xPlotpoints=100](3.85244,10){t Euler 5 exp t 2 exp div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,,xPlotpoints=10](5,4.60517){10 Euler  t exp 100 div  t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.60517,0){Euler 0.5 t mul exp 1 t}}
 % z <4
 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=jauneClair]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2.30259){1 Euler t exp t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](2.30259,4){Euler 0.5 t mul exp 10 sqrt div 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=100](2.33662,7.38906){t Euler 4 exp t 2 exp div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=30](4,0){Euler 0.5 t mul exp 1 t}}
  % z <3
 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=magenta]{ 
 \parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2.30259){1 Euler t exp t}
 \parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=15](2.30259,3){Euler 0.5 t mul exp 10 sqrt div 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=100](1.41723,4.48149){t Euler 3 exp t 2 exp div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=30](3,0){Euler 0.5 t mul exp 1 t}}
% z< 2
 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=marron]{ 
 \parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=30](0,2){1 Euler t exp t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=50](1,Euler){t Euler 2 exp t 2 exp div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](0,2){Euler 0.5 t mul exp 1 t}}
% z< 1
 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=green]{ 
 \parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=3](0,1){1 Euler t exp t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=20](1,1.64872){t Euler t 2 exp div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,1){Euler 0.5 t mul exp 1 t}}
 
 
%lignes de niveau 
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=100](6.351,10){t Euler 6 exp t 2 exp div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=100](3.85244,10){t Euler 5 exp t 2 exp div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=100](2.33662,7.38906){t Euler 4 exp t 2 exp div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=100](1.41723,4.48149){t Euler 3 exp t 2 exp div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=50](1,Euler){t Euler 2 exp t 2 exp div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=20](1,1.64872){t Euler t 2 exp div 1}
\psplotThreeD[plotstyle=line,drawStyle=xyLines,plotpoints=100,yPlotpoints=9,xPlotpoints=9](1,10)(1,10){y ln x ln 2 mul add}

% Légende
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=bleu}
\psframe[fillcolor=green](14,2.5)(14.4,2.9) \rput[l](14.6,2.7){\footnotesize{0-1}}
\psframe[fillcolor=marron](14,3.2)(14.4,3.6) \rput[l](14.6,3.4){\footnotesize{1-2}}
\psframe[fillcolor=magenta](14,3.9)(14.4,4.3) \rput[l](14.6,4.1){\footnotesize{2-3}}
\psframe[fillcolor=jauneClair](14,4.6)(14.4,5) \rput[l](14.6,4.8){\footnotesize{3-4}}
\psframe[fillcolor=bleuGris](14,5.3)(14.4,5.7) \rput[l](14.6,5.5){\footnotesize{4-5}}
\psframe[fillcolor=mauveClair](14,6)(14.4,6.4) \rput[l](14.6,6.2){\footnotesize{5-6}}
\psframe[fillcolor=vertClair](14,6.7)(14.4,7.1) \rput[l](14.6,6.9){\footnotesize{6-7}}

\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Le point $N$, d'ordonnée 5 et de cote $\ln 30$, appartient à la surface. Calculer la valeur exacte de son abscisse.
	\item On peut estimer que le kilo de fruits $\mathcal{A}$ coûte 3 euros et que celui de fruits $\mathcal{B}$ coûte 2 euros. La consommatrice décide de ne pas dépenser plus de 36 euros par mois pour ces fruits.
	
\begin{enumerate}
	\item Donner la relation entre les quantités $x$ et $y$ de fruits $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ achetées pour un montant de 36 euros.
	\item Montrer qu'alors le niveau de satisfaction de la consommatrice est égal à $\ln \left(18-1,5x\right)+2\ln{x}$.
	\item Démontrer que, sur l'intervalle $\left[1 ; 10\right]$, la fonction $g$ définie par	$g(x)=\ln\left(18-1,5x\right)+2\ln{x}$ admet un maximum pour une valeur $x_0$ que l'on précisera.
	\item Quelles quantités de fruits $\mathcal{A}$ et de fruits $\mathcal{B}$ la consommatrice doit-elle acheter dans le mois si elle veut optimiser son niveau de satisfaction tout en respectant sa contrainte de budget ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 



\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Septembre 2007})

 \medskip 


Une entreprise désire construire dans son hall d'entrée un aquarium ayant la forme d'un pavé droit de hauteur 5~dm (décimètres).

Ses deux autres dimensions, exprimées en dm, sont des entiers naturels $x$ et $y$ tels que $x \in ]0~ ;~ 20[$ et $y \in ]0~  ;~  20[$.

La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant aux 12 arêtes du pavé droit et nécessitant des réglettes d'aluminium dont le prix de revient est de 0,8~euro le dm.

Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre.


\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

On décide d'investir exactement 80~euros pour la construction du bâti métallique.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour cet investissement, les dimensions $x$ et $y$ sont liées par la contrainte $x + y =  20$.
\item  \begin{enumerate}
\item  Déterminer en fonction de $x$ et $y$ le volume $V$, exprimé en $\mathrm{dm}^3$, de cet aquarium.
\item 	En déduire le volume $V$ en fonction de $x$  sous la contrainte précédente.
 \end{enumerate}
\item  On définit la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~ 20[$ par $f(x) = V$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ admet un maximum sur $]0 ~;~ 20[$.
\item En déduire les dimensions de l'aquarium peur que son volume soit maximal ainsi que la valeur de ce volume maximal.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie pour tout $x \in ]0 ~;~ 20[$  et tout $y \in ]0 ~;~ 20[$ par $g(x,~y)= xy + 10(x+y)$.

On donne en annexe la représentation graphique de la surface d'équation $z =g(x,~y)$ dans un repère orthonormé \Oijk.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d'équation $x = 12$, parallèle
au plan $\left(\text{O}~ ;~ \vec j,~ \vec{k}\right)$ ? Justifier la réponse.
\item  Montrer que $g(x,~y)$ représente en fonction des dimensions $x$ et $y$ l'aire $S$, exprimée en $\mathrm{dm}^2$, de la surface vitrée de l'aquarium.
\item  On suppose pour cette question que $x =12.$
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire de la surface vitrée de l'aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée.
\item 	Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs de $y$ pour lesquelles l'aire est comprise entre 400 et 500~$\mathrm{dm}^2$.
\item 	Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question 1.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2)(14.5,11)
\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.55cm}
\definecolor{C1} {rgb}{1 0.44 1}
\definecolor{C2} {rgb}{.8 .6 1}
\definecolor{C3} {rgb}{1 1 0.8}
\definecolor{C4} {rgb}{.8 1 0.8}
\definecolor{C5} {rgb}{0 1 0}
\definecolor{C6} {rgb}{.5 .5 1}
\definecolor{C7} {rgb}{.8 .8 1}
\definecolor{C8} {rgb}{0 0 1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Beta=12,Alpha=165}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=22,yMax=22,zMax=800,drawing=false]
%à noter : le repère du sujet original (Excel like ?) n'est pas direct. Il faut donc inverser les x et les y
\pstThreeDPut(10,0,-1.5){$y$} \pstThreeDPut(22,10,-.5){$x$}
\pstThreeDPut(-2.5,0,8){$z$}
\multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDPut(\n,0 ,-0.5){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+4}{6}{\pstThreeDPut(21,\n ,0){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+2}{9}{\fpMul{\z}{\n}{50}\pstThreeDPut(-1,0,\n){\footnotesize{\z}}}
\multido{\n=0+2}{9}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,20,\n)(20,20,\n)}
\multido{\n=0+1}{21}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,20,0)(\n,20,16)}
\multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDLine(20,\n,0)(0,\n,0)(0,\n,16)}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(20,0,0)
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](20,0,0)(20,20,0)
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(0,0,16)
%courbes de niveaux 
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
%z=0-100
\parametricplotThreeD(0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,0){t 0 t 5 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){0 t t 5 div}}
%z>=100
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{ 
\pstThreeDLine(10,0,2)(20,0,4)
\pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)
\pstThreeDLine(20,20,16)(0,20,4)
\pstThreeDLine(0,20,4)(0,10,2)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
}
%z>=200
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{ 
\pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)(0,20,4)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,20){t 200 t 10 mul sub t 10 add div 4}
}
%z>=300
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{ 
\pstThreeDLine(20,3.3333,6)(20,20,16)(3.3333,20,6)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,60){t 3 div 900 t 10 mul sub t 30 add div 6}
}
%z>=400
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{ 
\pstThreeDLine(20,6.66667,8)(20,20,16)(6.66667,20,8)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](20,60){t 3 div 1200 t 10 mul sub t 30 add div 8}
}
%z>=500
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6]{ 
\pstThreeDLine(20,10,10)(20,20,16)(10,20,10)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,20){t  500 t 10 mul sub t 10 add div 10}
}
%z>=600
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7]{ 
\pstThreeDLine(20,13.33333,12)(20,20,16)(13.33333,20,12)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](40,60){t 3 div 1800 t 10 mul sub t 30 add div 12}
}
%z>=700
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C8]{ 
\pstThreeDLine(20,16.66667,14)(20,20,16)(16.66667,20,14)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](50,60){t 3 div 2100 t 10 mul sub t 30 add div 14}
}
%surface
\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=20,linewidth=0.5pt](0,20)(0,20){x y mul  x y add 10 mul add 50 div} %50div pour que cela rentre 
%la légende
\psset{unit=0.45cm}
\psframe[linewidth=0.25pt,linecolor=black](27.5,7)(32,15.5)
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=bleu}
\psframe[ fillcolor=C1](28,7.4)(28.6,8)  \rput[l](29.2 ,7.7){\small{\textsf{0-100}}}
\psframe[ fillcolor=C2](28,8.4)(28.6,9)  \rput[l](29.2,8.7){\small{\textsf{100-200}}}
\psframe[ fillcolor=C3](28,9.4)(28.6,10)  \rput[l](29.2,9.7){\small{\textsf{200-300}}}
\psframe[ fillcolor=C4](28,10.4)(28.6,11)  \rput[l](29.2,10.7){\small{\textsf{300-400}}}
\psframe[ fillcolor=C5](28,11.4)(28.6,12)  \rput[l](29.2,11.7){\small{\textsf{400-500}}}
\psframe[ fillcolor=C6](28,12.4)(28.6,13)  \rput[l](29.2,12.7){\small{\textsf{500-600}}}
\psframe[ fillcolor=C7](28,13.4)(28.6,14)  \rput[l](29.2,13.7){\small{\textsf{600-700}}}
\psframe[ fillcolor=C8](28,14.4)(28.6,15)  \rput[l](29.2,14.7){\small{\textsf{700-800}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

 \bigskip 
 
\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Asie 2008})

 \medskip 

On considère la surface $S$ d'équation $z = y \times  \ln (x)$, où $x$ appartient à l'intervalle $[0,5 ; 5]$ et $y$ appartient l'intervalle $[-3~ ;~  5]$. Cette surface $S$ est représentée sur l'annexe correspondant à cet exercice qui est à  rendre avec la copie.

Les cinq questions sont indépendantes l'une de l'autre.

\begin{enumerate}
\item  On note $P$ le plan d'équation $x = 3,5$. Quelle est la nature de l'intersection de la surface $S$ et du plan $P$ ?

\item   On désigne par $\mathcal{C}_{2}$ l'intersection de la surface $S$ avec le plan d'équation $y = 2$. Représenter la courbe $\mathcal{C}_{2}$ dans un repère orthonormal d'unité $2$~cm.

\item   Placer sur la surface $S$ le point $A$ d'abscisse $2$ et d'ordonnée $4$. Calculer sa côte.

\item   Lire les coordonnées du point $B$ situé sur la surface $S$.

\item   On considère la section $C$ de la surface $S$ par le plan d'équation $z  = 1$.

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'ordonnée du point $D$ d'abscisse $4$ situé sur la section $C$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près. Placer le point $D$ sur la surface $S$.
		\item   Arthur pense que la nature de la section $C$ est un morceau de parabole. A-t-il raison ? Pourquoi ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture*}(-5,-5)(6,11.5)
\rput(0.5,11.25){\textbf{\textsc{\textsf{annexe à rendre avec la copie}}}}
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.99 .99 .79}
\newrgbcolor{C2} {.7 .7 1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
%\newgray{gray}{.75}
%\SpecialCoor
\psset{Alpha=-120,Beta=40}
\pstThreeDCoor[xMin=0.5,yMin=-3,zMin=-5,xMax=5,yMax=5,zMax=8,eulerRotation=true,xRotVec=90,drawing=false] 
\psset{linewidth=0.1pt,linecolor=gray}
\multido{\n=1+1}{5}{\pstThreeDPut(\n,-3.01,-5.4){\footnotesize \n}}
\multido{\n=-5+1}{14}{\pstThreeDPut(.4,5.2,\n){\footnotesize \n}}
\multido{\n=-3+1}{9}{\pstThreeDPut(0.45,\n,-5.4){\footnotesize \n}}
\multido{\n=-5+1}{14}{\pstThreeDLine(0.5,5,\n)(5,5,\n)(5,-3,\n)}
\multido{\n=0.5+0.5}{10}{\pstThreeDLine(\n,-3,-5)(\n,5,-5)(\n,5,8)}
\multido{\n=-3+0.5}{17}{\pstThreeDLine(0.5,\n,-5)(5,\n,-5)(5,\n,8)}
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=black}
\pstThreeDLine(0.5,-3,-5)(5,-3,-5)
\pstThreeDLine(0.5,-3,-5)(.5,5,-5)
\pstThreeDLine(0.5,5,-5)(.5,5,8)
\psset{linewidth=0.2pt,linecolor=black}
\multido{\n=0.5+0.5}{10}{\pstThreeDLine(\n,-3,-5)(\n,-3,-5.15)}
\multido{\n=-5+1}{14}{\pstThreeDLine(0.5,5,\n)(0.5,5.1,\n)}
\multido{\n=-3+0.5}{17}{\pstThreeDLine(0.5,\n,-5)(0.5,\n,-5.2)}
\pstThreeDPut(2,-3.5,-5.5){$x$}
\pstThreeDPut(0,1,-5.5){$y$}
\pstThreeDPut(0,5.3,1){$z$}

%la surface
%surface

\parametricplotThreeD(0.5,5){t 5 t ln 5 mul}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{ 
\parametricplotThreeD(0.5,5){t 5 t ln 5 mul}
\parametricplotThreeD(5,-3){5 t t 1.609438 mul}
\parametricplotThreeD(5,0.5){t -3 t ln -3 mul}
\parametricplotThreeD(-3,5){0.5 t t -0.693147 mul}
}
%courbes de niveaux 
\psset{linewidth=1pt,linecolor=C0}
%0<z<1
\newgray{gris}{0.45}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD(0,5){1 t 0}
\parametricplotThreeD(1,1.2214){t 5 5 t ln mul}
\parametricplotThreeD(1.2214,5){t 1 t ln div 1}
\parametricplotThreeD(0.62133,0){5 t t 5 ln mul}
\parametricplotThreeD(5,1){t 0 0}
}
%-4<z<-3
%\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD(4.3281,5){-3 t div EXP t -3}
\parametricplotThreeD(0.6703,0.54881){t 5 t ln 5 mul}
\parametricplotThreeD(5,4.3281){0.5 t 0.5 ln t mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD(2.71828,3.79367){t -3 t ln -3 mul}
\parametricplotThreeD(3.79367,5){t -4 t ln div -4}
\parametricplotThreeD(-2.48534,-1.864){5 t t 5 ln mul}
\parametricplotThreeD(-1.864,-3){-3 t div EXP t -3}
}
%-2<z<-1
%\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD(5,2.8854){-2 t div EXP t -2}
\parametricplotThreeD(2.8854,1.4427){0.5 t 0.5 ln t mul}
\parametricplotThreeD(1.4427,5){-1 t div EXP t -1}
\parametricplotThreeD(0.81873,0.6703){t 5 t ln 5 mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD(1.9477,5){t -2 t ln div -2}
\parametricplotThreeD(-1.2427,-0.6213){5 t t 5 ln mul}
\parametricplotThreeD(5,1.3956){t -1 t ln div -1}
\parametricplotThreeD(1.3956,1.9477){t -3 -3 t ln mul}
}
%2<z<3
%\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD(1.49182,5){t 2 t ln div 2}
\parametricplotThreeD(1.24267,1.864){5 t t 5 ln mul}
\parametricplotThreeD(5,1.82212){t 3 t ln div 3}
\parametricplotThreeD(1.82212,1.49182){t 5 t ln 5 mul}
}
%4<z<5
%\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD(2.22554,5){t 4 t ln div 4}
\parametricplotThreeD(2.48534,3.1067){5 t t 5 ln mul}
\parametricplotThreeD(5,2.71828){t 5 t ln div 5}
\parametricplotThreeD(2.71828,2.22554){t 5 t ln 5 mul}
}
%6<z<7
%\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD(3.32012,5){t 6 t ln div 6}
\parametricplotThreeD(3.728,4.3493){5 t t 5 ln mul}
\parametricplotThreeD(5,4.0552){t 7 t ln div 7}
\parametricplotThreeD(4.0552,3.32012){t 5 t ln 5 mul}
}

%le hiddenLine ne "marche" pas. Inverser les bornes ou inverser x et y ne change rien
\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=16,xPlotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=C0,hiddenLine=true](0.5,5)(-3,5){y x ln mul}
%la suite relève du bricolage, à cause du hiddeLine. Si vous trouvez une solution plus élégante, merci de ma l'envoyer : camus.philippeATfree.fr
%le petit coin retourné (a cause du hiddenLine qui marche pas, je le fait après la surface
\newgray{gris}{0.99}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{ 
\parametricplotThreeD(-0.5,-3){0.5 t t 0.5 ln mul}
\parametricplotThreeD(0.5,2){t -3 t ln -3 mul}
\parametricplotThreeD(-3,-2.5){2 t 2 ln t mul}
\parametricplotThreeD(-2.5,-.5){1.5 t 1.5 ln t mul}
\parametricplotThreeD(1.5,0.5){t -0.5 t ln -0.5 mul}
}
%idem pour 0<z<1
\newgray{gris}{0.45}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD(0,-3){1 t 0}
\parametricplotThreeD(1,0.71653){t -3 -3 t ln mul}
\parametricplotThreeD(0.71653,0.5){t 1 t ln div 1}
\parametricplotThreeD(-1.442695,0){0.5 t t 0.5 ln mul}
\parametricplotThreeD(0.5,1){t 0 0}
}
% il faut refaire le quadrillage visible
\psset{linecolor=C0}
\parametricplotThreeD(0.5,2){t -2.5 -2.5 t ln mul}
\parametricplotThreeD(0.5,1.5){t -2 -2 t ln mul}
\parametricplotThreeD(0.5,1){t -1.5 -1.5 t ln mul}
\parametricplotThreeD(0.5,1){t -1 -1 t ln mul}
\parametricplotThreeD(-1.5,-3){1.5 t 1.5 ln t mul}
\pstThreeDDot[dotstyle=*,linecolor=prune](4.5,1.99458,3)
\pstThreeDPut(4.8,2.2,3.2){$B$}
\end{pspicture*}
\end{center}

 \bigskip 
 
\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac La Réunion 2011})

 \medskip 


Un artisan glacier fabrique des glaces et des sorbets.
 
On appelle respectivement $x$ et $y$ les quantités de glace et de sorbet exprimées en centaines de litres, produites et vendues quotidiennement.
 
Le coût total de production $z$ exprimé en dizaines d'euros, est donné par la relation : 

\[z = 2x^2 + y^2 - xy + 6x,\,\, \text{ avec }\, x  \in [0~;~10]\,\text{ et }\, y \in [0~;~10].\] 

Sur l'annexe 2 :


\begin{itemize}
\item la surface ($S$) représentant le coût de production en fonction de $x$ et de $y$ dans un repère orthogonal est donnée en figure 1 ;
\item la figure 2 représente la projection orthogonale de la surface $(S)$ sur le plan $( x \mathrm{O} y )$ ; 
\item les courbes de niveau de cette surface sont représentées pour $z$ allant de 20 en 20.
\end{itemize}

 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $C$ est le point de $(S)$ d'abscisse 6 et d'ordonnée 2.
		 
Placer le point $C$ sur la figure 1 donnée en annexe 2.
		\item Calculer la cote $z$ du point C précédent. Interpréter le résultat obtenu. 
		\item On suppose dans cette question que $y = 4$.
		 
Exprimer alors $z$ en fonction de $x$.
 
En déduire la nature de la section de la surface $(S)$ par le plan d'équation $y = 4$. 

Surligner en couleur cet ensemble sur la figure 1.
	\end{enumerate} 
Pour des raisons de stockage et de rentabilité, la fabrication de $x$ centaines de litres de glace et de $y$ centaines de litres de sorbet engendre la contrainte : $x + y = 10$.
 
On note $(E)$ l'ensemble des points du plan vérifiant cette contrainte. 
	\begin{enumerate}
		\item La figure 2 donnée en annexe 2, représente les lignes de niveau des coûts de production.
		 
Représenter l'ensemble $(E)$ sur cette figure. 
		\item Vérifier que, sous la contrainte $x + y = 10,\, z$ peut s'écrire sous la forme:
		
$z = g(x)$, avec $g(x) = 4x^2 - 24x + 100$.

\medskip
 
\emph{Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète,  ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation}.

\medskip
 
Déterminer les quantités de glace et de sorbet (en centaines de litres) qu'il faudrait produire pour que le coût de production soit minimum. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} 
\small{\textbf{\textsf{\textsc{annexe 2 } de l'exercice 3}}}
\end{center}

\small{\textbf {Figure 1}}


\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-9,0)(9,16)
\definecolor{C1} {rgb}{.7 0.4 .8}
\definecolor{C2} {rgb}{.96 .9 0.88}
\definecolor{C3} {rgb}{.5 .5 1}
\definecolor{C4} {rgb}{.95 .89 .98}
\definecolor{C5} {rgb}{.65 .58 .8}
\definecolor{C6} {rgb}{.8 .8 1}
\definecolor{C7} {rgb}{.72 .55 .68}
\definecolor{C8} {rgb}{.92 .86 .95}
\definecolor{C9} {rgb}{.97 .98 0.8}
\definecolor{C10} {rgb} {.85 .88 1}
\definecolor{C11} {rgb}{.56 .4 0.48}
\definecolor{C12} {rgb}{.85 .88 0.78}
\definecolor{C13} {rgb}{.48 .58 0.78}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=30,Beta=-20}
\psset{xsubticks=10,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=13}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=10](0,0)(10,13)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=13}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=10](0,0)(10,13)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=10,drawing=false] 
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=black}
\pstThreeDLine(10,0,0)(10,0,13)
\pstThreeDLine(0,0,0)(10,0,0)
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,10,0)

\psset{linewidth=0.25pt,linecolor=black}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,-.1,0)(\n,0,0)
\pstThreeDPut(\n,0,-0.25){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=2+2,\i=2+2}{5}{\pstThreeDLine(-.1,\n,0)(0,\n,0)\pstThreeDPut(-0.2,\n,-0.1){\footnotesize{\i}}}
\multido{\n=0+1,\i=0+20}{14}{\pstThreeDLine(10.1,0,\n)(10,0,\n)\pstThreeDPut(10.5,0,\n){\footnotesize{\i}}}
\pstThreeDPut(5,-1,-.5){$x$}
\pstThreeDPut(0,7,-1.5){$y$}
\pstThreeDPut(11.5,0,5.5){$z$}


%surface
\psset{linewidth=0.1pt}
% z = 0 à z= 20
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C13,linecolor=C13]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){10 t t dup mul 10 t mul sub 260 add 20 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C12,linecolor=C12]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,9.55667){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2.76393){1956 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 12}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2.76393,7.23607){10 t t dup mul 10 t mul sub 260 add 20 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](7.23607,10){1956 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 12}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](9.42615,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C11,linecolor=C11]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,9.09481){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1796 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 11}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](8.81025,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C10,linecolor=C10]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,8.61187){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1636 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 10}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](8.14143,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C9,linecolor=C9]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,8.10469){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1476 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 9}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](7.40312,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C8,linecolor=C8]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,7.56918){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1316 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](6.56776,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7,linecolor=C7]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,7){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1156 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](5.58258,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6,linecolor=C6]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,6.38987){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){996 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.31662,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5,linecolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,5.72842){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){836 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4,linecolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,5.72842){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,9.00724){676 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](9.00724,8.94427){676 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](8.94427,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3,linecolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,4.17891){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,7.771239){516 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](7.771239,7.74597){516 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](7.74597,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2,linecolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,3.21699){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,6.325599){356 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](6.325599,6.32456){356 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](6.32456,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,linecolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,4.47214){196 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.47214,0){0 t t dup mul 20 div}}

% lignes de niveau
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=prune}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2.76393){1956 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 12}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](7.23607,10){1956 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 12}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1796 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 11}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1636 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 10}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1476 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 9}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1316 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1156 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){996 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){836 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,9.00724){676 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](9.00724,8.94427){676 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,7.771239){516 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](7.771239,7.74597){516 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,6.325599){356 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](6.325599,6.32456){356 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,4.47214){196 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 1}


\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=100,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu](0,10)(0,10){2 x dup mul mul y dup mul add x y mul sub 6 x mul add  20 div}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,xPlotpoints=10,yPlotpoints=100,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu](0,10)(0,10){2 x dup mul mul y dup mul add x y mul sub 6 x mul add  20 div}

%la légende
\psset{unit=0.5cm}
%\psframe[linewidth=0.1pt,linecolor=darkgray](27.6,5.6)(32,21.6)
\psset{linewidth=0.1pt, fillstyle=solid,linecolor=prune}
\psframe[ fillcolor=C1](10,5)(10.8,5.8)  \rput[l](11.6 ,5.4){\small{\textsf{0-20}}}
\psframe[ fillcolor=C2](10,6.6)(10.8,7.4)  \rput[l](11.6,7){\small{\textsf{20-40}}}
\psframe[ fillcolor=C3](10,8.2)(10.8,9)  \rput[l](11.6,8.6){\small{\textsf{40-60}}}
\psframe[ fillcolor=C4](10,9.8)(10.8,10.6)  \rput[l](11.6,10.2){\small{\textsf{60-80}}}
\psframe[ fillcolor=C5](10,11.4)(10.8,12.2)  \rput[l](11.6,11.8){\small{\textsf{80-100}}}
\psframe[ fillcolor=C6](10,13)(10.8,13.8)  \rput[l](11.6,13.4){\small{\textsf{100-120}}}
\psframe[ fillcolor=C7](10,14.6)(10.8,15.4)  \rput[l](11.6,15){\small{\textsf{120-140}}}
\psframe[ fillcolor=C8](10,16.2)(10.8,17)  \rput[l](11.6,16.6){\small{\textsf{140-160}}}
\psframe[ fillcolor=C9](10,17.8)(10.8,18.6)  \rput[l](11.6,18.2){\small{\textsf{160-180}}}
\psframe[ fillcolor=C10](10,19.4)(10.8,20.2)  \rput[l](11.6,19.8){\small{\textsf{180-200}}}
\psframe[ fillcolor=C11](10,21)(10.8,21.8)  \rput[l](11.6,21.4){\small{\textsf{200-220}}}
\psframe[ fillcolor=C12](10,22.6)(10.8,23.4)  \rput[l](11.6,23){\small{\textsf{220-240}}}
\psframe[ fillcolor=C13](10,24.2)(10.8,25)  \rput[l](11.6,24.6){\small{\textsf{240-260}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\pagebreak

\small{\textbf {Figure 2}}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(12,10)
\definecolor{C1} {rgb}{.7 0.4 .8}
\definecolor{C2} {rgb}{.96 .9 0.88}
\definecolor{C3} {rgb}{.5 .5 1}
\definecolor{C4} {rgb}{.95 .89 .98}
\definecolor{C5} {rgb}{.65 .58 .8}
\definecolor{C6} {rgb}{.8 .8 1}
\definecolor{C7} {rgb}{.72 .55 .68}
\definecolor{C8} {rgb}{.92 .86 .95}
\definecolor{C9} {rgb}{.97 .98 0.8}
\definecolor{C10} {rgb} {.85 .88 1}
\definecolor{C11} {rgb}{.56 .4 0.48}
\definecolor{C12} {rgb}{.85 .88 0.78}
\definecolor{C13} {rgb}{.48 .58 0.78}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psset{linewidth=.1pt}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C13,linecolor=C13](0,0)(10,10)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C12,linecolor=C12]{
\psline(0,0)(9.55667,0)
\psplot[plotpoints=50]{9.55667}{10}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 960 add sqrt neg  x add 2 div }
\psline(10,2.76393)(10,7.23607)
\psplot[plotpoints=50]{10}{9.42615}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 960 add sqrt x add 2 div }
\psline(9.42615,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C11,linecolor=C11]{
\psline(0,0)(9.09481,0)
\psplot[plotpoints=50]{9.09481}{9.628247}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 880 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.628247}{8.81025}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 880 add sqrt x add 2 div }
\psline(8.81025,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C10,linecolor=C10]{
\psline(0,0)(8.61187,0)
\psplot[plotpoints=50]{8.61187}{9.11274}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 800 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.11274}{8.14143}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 800 add sqrt x add 2 div }
\psline(8.14143,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C9,linecolor=C9]{
\psline(0,0)(8.10469,0)
\psplot[plotpoints=50]{8.10469}{8.57142}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 720 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8.57142}{7.40312}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 720 add sqrt x add 2 div }
\psline(7.40312,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C8,linecolor=C8]{
\psline(0,0)(7.56918,0)
\psplot[plotpoints=50]{7.56918}{8}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 640 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8}{6.56776}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 640 add sqrt x add 2 div }
\psline(6.56776,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7,linecolor=C7]{
\psline(0,0)(7,0)
\psplot[plotpoints=50]{7}{7.39278}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 560 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{7.39278}{5.58258}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 560 add sqrt x add 2 div }
\psline(5.58258,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6,linecolor=C6]{
\psline(0,0)(6.38987,0)
\psplot[plotpoints=50]{6.38987}{6.74208}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 480 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.74208}{4.31962}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 480 add sqrt x add 2 div }
\psline(4.31962,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5,linecolor=C5]{
\psline(0,0)(5.72842,0)
\psplot[plotpoints=50]{5.72842}{6.03694}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 400 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.03694}{2}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 400 add sqrt x add 2 div }
\psline(2,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4,linecolor=C4]{
\psline(0,0)(5,0)
\psplot[plotpoints=50]{5}{5.26088}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 320 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{5.26088}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 320 add sqrt   x add 2 div }
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3,linecolor=C3]{
\psline(0,0)(4.17891,0)
\psplot[plotpoints=50]{4.17891}{4.3869}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 240 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{4.3869}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 240 add sqrt   x add 2 div }
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2,linecolor=C2]{
\psline(0,0)(3.21699,0)
\psplot[plotpoints=50]{3.21699}{3.36468}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 160 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{3.36468}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 160 add sqrt   x add 2 div }
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,linecolor=C1]{
\psline(0,0)(2,0)
\psplot[plotpoints=50]{2}{2.07614}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 80 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{2.07614}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 80 add sqrt   x add 2 div }
}


\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=0.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(10,10)
\uput[d](10,0){$x$} \uput[dl](0,10){$y$}

% lignes de niveau
\psset{linewidth=1pt,linecolor=prune}
\psplot[plotpoints=50]{9.55667}{10}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 960 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{10}{9.42615}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 960 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.09481}{9.628247}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 880 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.628247}{8.81025}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 880 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8.61187}{9.1127405}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 800 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.1127405}{8.14143}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 800 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8.10469}{8.571428}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 720 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8.571428}{7.40312}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 720 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{7.56918}{8}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 640 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8}{6.56776}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 640 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{7}{7.392787}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 560 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{7.392787}{5.58258}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 560 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.38987}{6.742084}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 480 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.742084}{4.31962}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 480 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{5.72842}{6.036948}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 400 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.036948}{2}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 400 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{5}{5.260889}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 320 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{5.260889}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 320 add sqrt  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{4.17891}{4.386902}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 240 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{4.386902}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 240 add sqrt   x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{3.21699}{3.3646825}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 160 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{3.3646825}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 160 add sqrt   x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{2}{2.0761415}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 80 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{2.0761415}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 80 add sqrt   x add 2 div }

% légende
\psset{unit=0.4cm}
%\psframe[linewidth=0.1pt,linecolor=darkgray](27.6,5.6)(32,21.6)
\psset{linewidth=0.1pt, fillstyle=solid,linecolor=prune}
\psframe[ fillcolor=C1](22,0)(22.8,0.8)  \rput[l](23.6 ,0.4){\small{\textsf{0-20}}}
\psframe[ fillcolor=C2](22,1.6)(22.8,2.4)  \rput[l](23.6,2){\small{\textsf{20-40}}}
\psframe[ fillcolor=C3](22,3.2)(22.8,4)  \rput[l](23.6,3.6){\small{\textsf{40-60}}}
\psframe[ fillcolor=C4](22,4.8)(22.8,5.6)  \rput[l](23.6,5.2){\small{\textsf{60-80}}}
\psframe[ fillcolor=C5](22,6.4)(22.8,7.2)  \rput[l](23.6,6.8){\small{\textsf{80-180}}}
\psframe[ fillcolor=C6](22,8)(22.8,8.8)  \rput[l](23.6,8.4){\small{\textsf{180-120}}}
\psframe[ fillcolor=C7](22,9.6)(22.8,10.4)  \rput[l](23.6,10){\small{\textsf{120-140}}}
\psframe[ fillcolor=C8](22,11.2)(22.8,12)  \rput[l](23.6,11.6){\small{\textsf{140-160}}}
\psframe[ fillcolor=C9](22,12.8)(22.8,13.6)  \rput[l](23.6,13.2){\small{\textsf{160-180}}}
\psframe[ fillcolor=C10](22,14.4)(22.8,15.2)  \rput[l](23.6,14.8){\small{\textsf{180-200}}}
\psframe[ fillcolor=C11](22,16)(22.8,16.8)  \rput[l](23.6,16.4){\small{\textsf{200-220}}}
\psframe[ fillcolor=C12](22,17.6)(22.8,18.4)  \rput[l](23.6,18){\small{\textsf{220-240}}}
\psframe[ fillcolor=C13](22,19.2)(22.8,20)  \rput[l](23.6,19.6){\small{\textsf{240-260}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\exo

\medskip		
		
Une entreprise dispose de deux unités de fabrication A et B pour un même produit. Le coût total de production exprimé en milliers d'euros de cet article pour $x$ milliers d'articles produits dans l'unité A et de $y$ milliers d'articles produits dans l'unité B est donné par  $f(x;y)=\ln\left(2x^2+y^2+1\right)$.

La figure ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, la surface $(S)$ d'équation $z = f (x; y)$ pour $0 \leqslant x \leqslant 10$ et $0\leqslant y \leqslant 10$.


\begin{center}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-9,-.75)(9,11.2)
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.4 .4 .6}
\newrgbcolor{C2}{.8 .7 .8}
\newrgbcolor{C3}{.61 1 .52}
\newrgbcolor{C4}{.99 .96 .64}
\newrgbcolor{C5}{.6 .7 1}
\newrgbcolor{C6}{1 .6 1}
\rput(0,10.9){\textbf{\textsc{\textsf{figure 1}}}}

\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=-125,Beta=20}
\psset{xsubticks=10,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=6}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=10](0,0)(10,6)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=6}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=10](0,0)(10,6)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=8,drawing=false] 
\pstThreeDPut(4.5,-1.5,-.5){$x$}
\pstThreeDPut(-1,5,-.5){$y$}
\pstThreeDPut(-1,10,3){$z$}


\psset{unit=0.8cm,linewidth=0.5pt,linecolor=C0}

\def\fxy{2 x 2 exp mul  y 2 exp add 1 add ln}

 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){t 0 2 t 2 exp mul  1 add ln}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){10 t 200  t 2 exp add 1 add ln}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){t 10 2 t 2 exp mul  100 add 1 add ln}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t  t 2 exp 1 add ln}
}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,8.585){t 0 2 t 2 exp mul  1 add ln}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){ 147.413  t 2 exp sub 2 div  sqrt  t 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.869,0){t 10 2 t 2 exp mul  100 add 1 add ln}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t  t 2 exp 1 add ln}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,5.177){t 0 2 t 2 exp mul  1 add ln}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,7.321){ 53.5982  t 2 exp sub 2 div  sqrt  t 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](7.321,0){0 t  t 2 exp 1 add ln}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,3.089){t 0 2 t 2 exp mul  1 add ln}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,4.368){ 19.0855  t 2 exp sub 2 div  sqrt  t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.368,0){0 t  t 2 exp 1 add ln}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,1.787){t 0 2 t 2 exp mul  1 add ln}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2.527){ 6.38906  t 2 exp sub 2 div  sqrt  t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2.527,0){0 t  t 2 exp 1 add ln}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,.927){t 0 2 t 2 exp mul  1 add ln}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,1.31){ 1.71828  t 2 exp sub 2 div  sqrt  t 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](1.31,0){0 t  t 2 exp 1 add ln}
}
\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=C0}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=50](0,10)(0,10){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=50,xPlotpoints=10](0,10)(0,10){\fxy}


\psset{unit=0.8cm}
\multido{\n=0+1}{7}{\pstThreeDPut(-.1,10.2,\n){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{7}{\pstThreeDLine(0,10,\n)(-.1,10,\n)}

\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.4){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,0,-.1)}
\multido{\n=1+1}{10}{\pstThreeDPut(-0.1,\n,-0.3){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(0,\n,0)(0,\n,-.1)}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,10,6)(0,10,0)(0,0,0)(10,0,0)

% Légende
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C1](7,3)(7.4,3.4) \rput[l](7.6,3.2){\footnotesize{0-1}}
\psframe[fillcolor=C2](7,3.7)(7.4,4.1) \rput[l](7.6,3.9){\footnotesize{1-2}}
\psframe[fillcolor=C3](7,4.4)(7.4,4.8) \rput[l](7.6,4.6){\footnotesize{2-3}}
\psframe[fillcolor=C4](7,5.1)(7.4,5.5) \rput[l](7.6,5.4){\footnotesize{3-4}}
\psframe[fillcolor=C5](7,5.8)(7.4,6.2) \rput[l](7.6,6){\footnotesize{4-5}}
\psframe[fillcolor=C6](7,6.5)(7.4,6.9) \rput[l](7.6,6.7){\footnotesize{5-6}}
\end{pspicture*}
\end{center}



\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Le point $B(2;4;2\ln5)$ appartient-il à la surface $(S)$ ? 
	\item Placer sur la surface le point $A$, d'abscisse 6 et d'ordonnée 3. Calculer la valeur arrondie au dixième de sa cote.
\end{enumerate}
	
	
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip

La demande est de 9000 articles par jour. $x$ et $y$ sont donc liés par la relation  $x+y=9$.
\begin{enumerate}
	\item La figure 2 ci-dessous, représente la projection orthogonale de la surface $(S)$ sur le plan $(xOy)$, les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour $z$ variant de 1 à 6.	
\begin{enumerate}
	\item Quelle est la nature de l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M(x;y;z)$  de l'espace dont les coordonnées vérifient  $x+y=9$ ?
	\item Représenter l'ensemble $(\mathcal{E})$ sur la figure 2 ci-dessous.
	\item 	En déduire graphiquement le coût total minimal pour une production de 9000 articles.
\end{enumerate}	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(12,11)
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.4 .4 .6}
\newrgbcolor{C2}{.8 .7 .8}
\newrgbcolor{C3}{.61 1 .52}
\newrgbcolor{C4}{.99 .96 .64}
\newrgbcolor{C5}{.6 .7 1}
\newrgbcolor{C6}{1 .6 1}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(5.5,10.6){\textbf{\textsc{\textsf{figure 2}}}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C6,linewidth=.1pt](10,10)(0,0)
\def\f{(Euler^5-2*x^2-1)^.5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=C0}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{4.869}{8.5852}{\f} \gsave
\psline(8.5852,0)(0,0)(0,10)(4.869,10)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C5] \grestore }
\def\f{(Euler^4-2*x^2-1)^.5}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{0}{5.176}{\f} \gsave
\psline(5.177,0)(0,0)(0,7.321)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C4] \grestore }
\def\f{(Euler^3-2*x^2-1)^.5}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{0}{3.089}{\f} \gsave
\psline(3.089,0)(0,0)(0,4.368)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C3] \grestore }
\def\f{(Euler^2-2*x^2-1)^.5}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{0}{1.787}{\f} \gsave
\psline(1.787,0)(0,0)(0,2.527)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C2] \grestore }
\def\f{(Euler-2*x^2-1)^.5}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{0}{.9268}{\f} \gsave
\psline(.927,0)(0,0)(0,1.31)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C1] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-.1 .1,yticksize=-.1 .1]{-}(0,0)(10,10)
\uput[l](-.5,5){$y$} \uput[d](6,-.5){$x$} 
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C1](10.5,3)(10.9,3.4) \rput[r](11.5,3.2){\footnotesize{0-1}}
\psframe[fillcolor=C2](10.5,3.7)(10.9,4.1) \rput[r](11.5,3.9){\footnotesize{1-2}}
\psframe[fillcolor=C3](10.5,4.4)(10.9,4.8) \rput[r](11.5,4.6){\footnotesize{2-3}}
\psframe[fillcolor=C4](10.5,5.1)(10.9,5.5) \rput[r](11.5,5.4){\footnotesize{3-4}}
\psframe[fillcolor=C5](10.5,5.8)(10.9,6.2) \rput[r](11.5,6){\footnotesize{4-5}}
\psframe[fillcolor=C6](10.5,6.5)(10.9,6.9) \rput[r](11.5,6.7){\footnotesize{5-6}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item
\begin{enumerate}
	\item Vérifier que, sous la contrainte  $x+y=9$, le coût total peut s'écrire sous la forme d'une fonction $g$ définie sur $[0;9]$   par $g(x)=\ln\left(3x^2-18x+82\right)$ .
	\item Démontrer que la fonction $g$ admet un minimum sur l'intervalle $[0;9]$.
	\item En déduire le nombre de milliers d'articles produits dans l'unité A et le nombre de milliers d'articles produits dans l'unité B pour obtenir un coût total minimum. Quel est alors le montant arrondi au millier d'euros près du coût total ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\end{document}
