géométrie dans l'espace

vecteurs et coordonnées

vecteur de l'espace

Les définitions et opérations sur les vecteurs du plan se généralisent dans l'espace.

vecteurs colinéaires

Dire que deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires signifie, qu'ils ont la même direction, c'est-à-dire qu'il existe un réel k tel que u=kv.
Par convention, le vecteur nul 0 est colinéaire à tout vecteur.

exemple

Soit ABCD un tétraèdre, L et M les points tels que AL=13AB+15AC et AM=13AD+15AC. Les droites (LM) et (BD) sont elles parallèles ?

LM=LA+AM=-13AB-15AC+13AD+15AC=13(BA+AD)=13BD

Les vecteurs LM et BD sont colinéaires donc les droites (LM) et (BD) sont parallèles.


vecteurs coplanaires

u, v et w sont trois vecteurs de l'espace tels que u et v ne sont pas colinéaires.
Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels α et β tels que : w=αu+βv

conséquence :

Pour démontrer qu'un point D appartient à un plan 𝒫 défini par trois points non alignés A, B et C on montre que les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires.

exemple

Soient A, B, C et M quatre points de l’espace vérifiant AM+3MB=2AB-3AC. Les points A, B, C et M sont-ils coplanaires ?

AM+3MB=2AB-3AC AM+3MA+3AB=2AB-3AC -2AM=-AB-3AC AM=12AB+32AC

Les vecteurs AM, AB et AC sont coplanaires donc les quatre points A, B, C et M sont coplanaires.


repérage dans l'espace

coordonnées d'un point

coordonnées d'un point : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Dans un repère (O;𝚤,𝚥,k), pour tout point M, il existe un unique triplet (x;y;z) de réels tels que OM=x𝚤+y𝚥+zk (x;y;z) est le triplet de coordonnées du point M (ou du vecteur OM).
x est l'abscisse, y est l'ordonnée, z est la cote.


calculs avec les coordonnées

  1. Dans un repère (O;𝚤,𝚥,k), on considère les vecteurs u(x;y;z) et v(x';y';z').

    • u=v si, et seulement si, x=x', y=y' et z=z'.
    • Le vecteur somme u+v a pour coordonnées u+v(x+x';y+y';z+z').
    • Pour tout réel k, le vecteur ku a pour coordonnées ku(kx';ky';kz').
    1. Soient A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) deux points de l'espace. D'après la relation de Chasles : AB=AO+OB=OB-OA Le vecteur AO=-OA a pour coordonnées AO(-xA;-yA;-zA) et le vecteur OB a pour coordonnées OB(xB;yB;zB). On en déduit que le vecteur AB a pour coordonnées AB(xB-xA;yB-yA;zB-zA).

    2. Soit I le milieu du segment [AB] alors, AI=12AB. D'où {xI-xA=12(xB-xA) yI-yA=12(yB-yA) zI-zA=12(zB-zA) {xI=xA+xB2yI=yA+yB2zI=zA+zB2

    Soit A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) deux points de l'espace :

    • le vecteur AB a pour coordonnées AB(xB-xA;yB-yA;zB-zA) ;
    • le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées I(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2).

    exemple

    Dans l'espace muni d'un repère (O;𝚤,ȷ,k) on considère les points A(2;-1;3), B(3;2;1), C(-2;3;1) et D(6;3;0).

    1. Les points A, B et C déterminent-ils un plan ?

      Calculons les coordonnées des vecteurs AB et AC :

      AB(xB-xA;yB-yA;zB-zA)soitAB(1;3;-2)AC(xC-xA;yC-yA;zC-zA)soitAC(-4;4;-2)

      Il n'existe pas de réel k tel que AB=kAC donc les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires.

      Les points A, B et C ne sont pas alignés, ils déterminent un plan.


    2. Calculer les coordonnées du point I milieu du segment [BC].

      Les coordonnées du point I milieu du segment [BC] sont I(xB+xC2;yB+yC2;zB+zC2)soitI(3-22;2+32;1+12)

      Les coordonnées du point I sont I(12;52;1)


    3. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?

      Pour déterminer si les points A, B, C et D sont dans un même plan, on cherche s'il existe deux réels a et b tels que AD=aAB+bAC

      Calculons les coordonnées du vecteur AD :AD(xD-xA;yD-yA;zD-zA)soitAD(4;4;-3)

      a et b sont solutions de : {a-4b=43a+4b=4-2a-2b=-3{a-4b=44a=8-2a-2b=-3{b=12a=2-2a-2b=-3

      Comme -2×2-2×12=-3, nous avons :AD=2AB+12AC

      Les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires donc les points A, B, C et D sont dans un même plan.



  2. Dans un repère orthonormal (O;𝚤,𝚥,k) :

    • la distance entre les points A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) est donnée par AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2+(zB-zA)2 ;
    • deux vecteurs u(x;y;z) et v(x';y';z') sont orthogonaux si, et seulement si, xx'+yy'+zz'=0.

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