Les définitions et opérations sur les vecteurs du plan se généralisent dans l'espace.
Dire que deux vecteurs non nuls et sont colinéaires signifie, qu'ils ont la même direction, c'est-à-dire qu'il existe un réel k tel que .
Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
exemple
Soit ABCD un tétraèdre, L et M les points tels que et . Les droites (LM) et (BD) sont elles parallèles ?
Les vecteurs et sont colinéaires donc les droites (LM) et (BD) sont parallèles.
, et sont trois vecteurs de l'espace tels que et ne sont pas colinéaires.
Les vecteurs , et sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels α et β tels que :
conséquence :
Pour démontrer qu'un point D appartient à un plan 𝒫 défini par trois points non alignés A, B et C on montre que les vecteurs , et sont coplanaires.
exemple
Soient A, B, C et M quatre points de l’espace vérifiant . Les points A, B, C et M sont-ils coplanaires ?
Les vecteurs , et sont coplanaires donc les quatre points A, B, C et M sont coplanaires.
Dans un repère , pour tout point M, il existe un unique triplet de réels tels que est le triplet de coordonnées du point M (ou du vecteur ).
x est l'abscisse, y est l'ordonnée, z est la cote.
Dans un repère , on considère les vecteurs et .
Soient et deux points de l'espace. D'après la relation de Chasles : Le vecteur a pour coordonnées et le vecteur a pour coordonnées . On en déduit que le vecteur a pour coordonnées .
Soit I le milieu du segment [AB] alors, . D'où
Soit et deux points de l'espace :
exemple
Dans l'espace muni d'un repère on considère les points , , et .
Les points A, B et C déterminent-ils un plan ?
Calculons les coordonnées des vecteurs et :
Il n'existe pas de réel k tel que donc les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Les points A, B et C ne sont pas alignés, ils déterminent un plan.
Calculer les coordonnées du point I milieu du segment .
Les coordonnées du point I milieu du segment sont
Les coordonnées du point I sont
Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?
Pour déterminer si les points A, B, C et D sont dans un même plan, on cherche s'il existe deux réels a et b tels que
Calculons les coordonnées du vecteur :
a et b sont solutions de :
Comme , nous avons :
Les vecteurs , et sont coplanaires donc les points A, B, C et D sont dans un même plan.
Dans un repère orthonormal :
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