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\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
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\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

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\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nactivite}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
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\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\begin{document}

\section{\textsc{vecteur de l'espace}} 

Les définitions et opérations sur les vecteurs du plan se généralisent dans l'espace

 \subsection{\textsc{vecteurs colinéaires}}
 
\cadreR{%
Dire que deux vecteurs non nuls  $\vec u$ et $\vec v$  sont colinéaires signifie, qu'ils ont la même direction, c'est-à-dire qu'il existe un réel  $k$ tel que $\vec u=k\vec v$.

Par convention, le vecteur nul $\vec 0$ est colinéaire à tout vecteur.
}

\medskip

\begin{itemize}
	\item Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs  $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ sont colinéaires.
	\item Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs  $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {CD}$ sont colinéaires.
\end{itemize}

 \subsection{\textsc{vecteurs coplanaires}}

\cadreR{%
$\vec u$,   $\vec v$ et  $\vec w$ sont trois vecteurs de l'espace tels que  $\vec u$ et  $\vec v$ ne sont pas colinéaires.\\ 
Les vecteurs $\vec u$,   $\vec v$ et  $\vec w$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels  $\alpha$ et $\beta$  tels que :
 \[ \vec w =\alpha \vec u +\beta \vec v \]
}

\medskip
 
 \textsf {\textbf{\small{\textsc{conséquence :}}}} 

Pour démontrer qu'un point $D$ appartient à un plan $\mathcal{P}$ défini par trois points non alignés $A$, $B$ et $C$ on montre que les vecteurs  $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AC}$  et $\overrightarrow {AD}$ sont coplanaires.

\section{\textsc{ repérage dans l'espace}}

\subsection{\textsc{coordonnées d'un point}}

\cadreR{%
\begin{minipage}{\linewidth-6cm}
Dans un repère \Oijk, pour tout point $M$, il existe un unique triplet $\left(x;y;z\right)$ de réels tels que  \[\overrightarrow {OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k\] 
$\left(x;y;z\right)$ est le triplet de coordonnées du point $M$ (ou du vecteur $\overrightarrow {OM}$).

\begin{center}
$x$ est l'abscisse, $y$ est l'ordonnée, $z$ est la cote.
\end{center}	
\end{minipage} \hfill 
\begin{minipage}{5cm}\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-2.5)(6.5,6.8)
\psset{linecolor=gray,Alpha=45,Beta=12}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=5,yMax=8,zMax=6,linecolor=black,linewidth=.75pt]
\pstThreeDBox[linestyle=dashed,dash=3pt  4pt,linecolor=black,linewidth=.5pt](0,0,0)(0,0,5)(4,0,0)(0,7,0)
\pstThreeDDot[dotstyle=*,fillstyle=solid,linecolor=Rougef,linewidth=1pt](4,7,5)
\pstThreeDLine[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,arrows=>](4,7,5)(0,0,0)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=2,yMax=2,zMax=2,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1pt,linecolor=Rougef]
\pstThreeDPut(0,0,-.4){\footnotesize{\textbf{\textsf{O}}}}
\pstThreeDPut(1.2,-.2,.6){\footnotesize{\Rougef $\vec i$}}
\pstThreeDPut(-0.2,1.2,.6){\footnotesize{\Rougef $\vec j$}}
\pstThreeDPut(-.2,.4,1.5){\footnotesize{\Rougef $\vec k$}}
\pstThreeDPut(4.5,7.5,5.7){\footnotesize{\textbf{\textsf{\prune $M$}}}}
\end{pspicture}
\end{minipage}
}	

\subsection{\textsc{calculs avec les coordonnées}}
	
\cadreR{%
	Dans un repère \Oijk, on considère les vecteurs $\vec u \left( x;y;z\right)$ et $\vec v \left( x';y';z'\right)$.  
	
\begin{itemize}
	\item $\vec u = \vec v$ si, et seulement si, $x=x'$, $y=y'$ et $z=z'$.
	\item Le vecteur somme $\vec u + \vec v$ a pour coordonnées $\vec u + \vec v \left( x+x';y+y';z+z'\right)$.
	\item Pour tout réel $k$, $k \vec u \left( kx;ky;kz\right)$.\\
\end{itemize}

Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$ deux points de l'espace :
\begin{itemize}
	\item le vecteur $\overrightarrow {AB}$ a pour coordonnées $\overrightarrow {AB} \left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A \right)$.
	\item le milieu $I$ du segment $\left[AB\right]$ a pour coordonnées $I \left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2} \right)$.
\end{itemize}
}	

\medskip

\cadreR{%
	Dans un repère \textbf{orthonormal} \Oijk,   
	
\begin{itemize}
	\item La distance entre les points $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$ est donnée par \[AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2+{\left(z_B-z_A\right)}^2}\]
	\item Deux vecteurs  $\vec u \left( x;y;z\right)$ et $\vec v \left( x';y';z'\right)$ sont orthogonaux si, et seulement si, $xx'+yy'+zz'=0$.
\end{itemize}
}

\section{\textsc{équations cartésiennes de l'espace}}

\subsection{\textsc{équation d'un plan}}
		
\cadreR{%
\begin{itemize}
\item Un plan de l'espace a une équation de la forme $ax+by+cz=d$ avec $a$, $b$ et $c$ non tous nuls.
\item Réciproquement, toute équation de la forme $ax+by+cz=d$, où l'un au moins des réels $a$, $b$ et $c$ n'est pas nul, est une équation cartésienne d'un plan.
\end{itemize}
}

\subsubsection{\textsc{plans particuliers :}}

Un plan admettant une équation \og incomplète \fg, c'est à dire dans laquelle ne figure qu'une ou deux des trois variables $x$, $y$ et $z$, est parallèle à un plan de coordonnées ou à un axe de coordonnées.

\bigskip

\begin{tabularx}{16.9cm}{| >{\small\centering \arraybackslash}X| >{\small\centering \arraybackslash}X| >{\small\centering \arraybackslash}p{5.5cm}|} \hline
Plan $\mathcal P$ d'équation $x=k$ & Plan $\mathcal P$ d'équation $y=k$ & Plan $\mathcal P$ d'équation $z=k$ \\
\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-2.2)(6.5,6.8)
\psset{linecolor=gray,Alpha=45,Beta=12}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linewidth=.5pt,linecolor=mauveClair]{
 \parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](6,0){4 0 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){4 t 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,6){4 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){4 t 6}
}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=prune}{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](6,0){4 0 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){4 t 0}
}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=5,yMax=8,zMax=6,linecolor=black,linewidth=.75pt]
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=2,yMax=2,zMax=2,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1pt]
\pstThreeDPut(0,0,-.4){\footnotesize{\textbf{\textsf{O}}}}
\pstThreeDPut(1.2,-.2,.6){\footnotesize{\red $\vec i$}}
\pstThreeDPut(-0.2,1.2,.6){\footnotesize{\red $\vec j$}}
\pstThreeDPut(-.2,.4,1.5){\footnotesize{\red $\vec k$}}
\end{pspicture*} &
\psset{unit=0.45cm} 
\begin{pspicture*}(-4.5,-2.2)(6.5,6.8)
\psset{linecolor=gray,Alpha=45,Beta=12}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linewidth=.5pt,linecolor=mauveClair]{
 \parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](6,0){8 6 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](8,0){t 6 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,6){0 6 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,8){t 6 6}
}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=prune}{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](8,0){t 6 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,6){0 6 t}}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=5,yMax=8,zMax=6,linecolor=black,linewidth=.75pt]
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=2,yMax=2,zMax=2,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1pt]
\pstThreeDPut(0,0,-.4){\footnotesize{\textbf{\textsf{O}}}}
\pstThreeDPut(1.2,-.2,.6){\footnotesize{\red $\vec i$}}
\pstThreeDPut(-0.2,1.2,.6){\footnotesize{\red $\vec j$}}
\pstThreeDPut(-.2,.4,1.5){\footnotesize{\red $\vec k$}}
\end{pspicture*} &
\psset{unit=0.45cm} 
\begin{pspicture*}(-4.5,-2)(6.5,6.8)
\psset{linecolor=gray,Alpha=45,Beta=12}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linewidth=.5pt,linecolor=mauveClair]{
 \parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,6.5){t 0 4.5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,8.5){6.5 t 4.5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](6.5,0){t 8.5 4.5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](8.5,0){0 t 4.5}
}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=prune}{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](8.5,0){0 t 4.5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,6.5){t 0 4.5}}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=5,yMax=8,zMax=6,linecolor=black,linewidth=.75pt]
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=2,yMax=2,zMax=2,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1pt]
\pstThreeDPut(0,0,-.4){\footnotesize{\textbf{\textsf{O}}}}
\pstThreeDPut(1.2,-.2,.6){\footnotesize{\red $\vec i$}}
\pstThreeDPut(-0.2,1.2,.6){\footnotesize{\red $\vec j$}}
\pstThreeDPut(-.2,.4,1.5){\footnotesize{\red $\vec k$}}
\end{pspicture*} \\ 
$\mathcal P // (y\mathrm {O}z)$ & $\mathcal P // (x\mathrm {O}z)$ & $\mathcal P // (x\mathrm {O}y)$ \\ \hline
Plan $\mathcal P$ d'équation $ax+by=d$ & Plan $\mathcal P$ d'équation $ax+cz=d$ & Plan $\mathcal P$ d'équation $by+cz=d$ \\
\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-2.2)(6.5,6.8)
\psset{linecolor=gray,Alpha=45,Beta=12}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linewidth=.5pt,linecolor=mauveClair]{
 \parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](6,0){4 0 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,4){t -1.625 t mul 6.5 add 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,6){0 6.5 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](4,0){t -1.625 t mul 6.5 add 6}
}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=prune}{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=6](6,0){4 0 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,4){t -1.625 t mul 6.5 add 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,6){0 6.5 t}
}\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=5,yMax=8,zMax=6,linecolor=black,linewidth=.75pt]
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=2,yMax=2,zMax=2,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1pt]
\pstThreeDPut(0,0,-.4){\footnotesize{\textbf{\textsf{O}}}}
\pstThreeDPut(1.2,-.2,.6){\footnotesize{\red $\vec i$}}
\pstThreeDPut(-0.2,1.2,.6){\footnotesize{\red $\vec j$}}
\pstThreeDPut(-.2,.4,1.5){\footnotesize{\red $\vec k$}}
\end{pspicture*} &
\psset{unit=0.45cm} 
\begin{pspicture*}(-4.5,-2.2)(6.5,6.8)
\psset{linecolor=gray,Alpha=45,Beta=12}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linewidth=.5pt,linecolor=mauveClair]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,4){t 0 -1.25 t mul 5 add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,8){4 t 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](4,0){t 8 -1.25 t mul 5 add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](8,0){0 t 5}
}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=prune}{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,4){t 0 -1.25 t mul 5 add}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,8){4 t 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](8,0){0 t 5}}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=5,yMax=8,zMax=6,linecolor=black,linewidth=.75pt]
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=2,yMax=2,zMax=2,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1pt]
\pstThreeDPut(0,0,-.4){\footnotesize{\textbf{\textsf{O}}}}
\pstThreeDPut(1.2,-.2,.6){\footnotesize{\red $\vec i$}}
\pstThreeDPut(-0.2,1.2,.6){\footnotesize{\red $\vec j$}}
\pstThreeDPut(-.2,.4,1.5){\footnotesize{\red $\vec k$}}
\end{pspicture*} &
\psset{unit=0.45cm} 
\begin{pspicture*}(-4.8,-2.2)(6.5,6.8)
\psset{linecolor=gray,Alpha=45,Beta=12}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linewidth=.5pt,linecolor=mauveClair]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](7,0){t 0 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](5,0){0  -1.3 t mul 6.5 add t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,7){t 6.5 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,5){7  -1.3 t mul 6.5 add t}
}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=prune}{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](7,0){t 0 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](5,0){0  -1.3 t mul 6.5 add t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,7){t 6.5 0}}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=5,yMax=8,zMax=6,linecolor=black,linewidth=.75pt]
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=2,yMax=2,zMax=2,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1pt]
\pstThreeDPut(0,0,-.4){\footnotesize{\textbf{\textsf{O}}}}
\pstThreeDPut(1.2,-.2,.6){\footnotesize{\red $\vec i$}}
\pstThreeDPut(-0.2,1.2,.6){\footnotesize{\red $\vec j$}}
\pstThreeDPut(-.2,.4,1.5){\footnotesize{\red $\vec k$}}
\end{pspicture*} \\ 
$\mathcal P // (\mathrm {O}z)$ & $\mathcal P // (\mathrm {O}y)$ & $\mathcal P // (\mathrm {O}x)$ \\ \hline
\end{tabularx}

\subsubsection{déterminer une équation cartésienne d'un plan :}

Dans l'espace muni d'un repère \Oijk, montrer que les points $A \left( 1; 0; 3 \right)$, $B \left( 1; -1; 0 \right)$ et $C \left( -1; -2; 1 \right)$ définissent un plan et déterminer une équation de ce plan.

\medskip

Les vecteurs $\overrightarrow{AB} \left( 0; -1; -3 \right)$ et $\overrightarrow{AC} \left( -2; -2; -2 \right)$ ne sont pas colinéaires donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, ils définissent un plan $\left( ABC \right)$.

Déterminons une équation cartésienne du plan $\left( ABC \right)$.

\begin{enumerate}
	\item[] \textsf{\textsc{méthode 1 :}}
	
	Une équation cartésienne du plan $\left( ABC \right)$ est de la forme $ax+by+cz=d$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels.
	
\begin{itemize}
\item[]  $A \left( 1; 0; 3 \right) \in \left( ABC \right) \Leftrightarrow a+3c=d$
\item[]  $B \left( 1; -1; 0 \right) \in \left( ABC \right) \Leftrightarrow a-b=d$
\item[]  $C \left( -1; -2; 1 \right) \in \left( ABC \right) \Leftrightarrow -a-2b+c=d$
\end{itemize}
Ainsi, $a$, $b$ et $c$	sont solutions du système :
\[\begin{split} 
	\displaystyle\left\lbrace
\begin{array}{rcl}a+3c&=& d\\a-b &=& d\\-a-2b+c &=& d
\end{array}
\right. &\Leftrightarrow  	\displaystyle\left\lbrace
\begin{array}{rcl}c&=& \dfrac{d-a}{3}\\b &=& a-d\\-a-2(a-d)+\dfrac{d-a}{3} &=& d
\end{array}
\right. \\
	&\Leftrightarrow  \displaystyle\left\lbrace
\begin{array}{rcl}c&=& \dfrac{d-a}{3}\\b &=& a-d\\-\dfrac{10a}{3} &=& -\dfrac{4d}{3}
\end{array}
\right.\\
		&\Leftrightarrow  \displaystyle\left\lbrace
\begin{array}{rcl}c&=& \dfrac{d}{5}\\b &=& -\dfrac{3d}{5}\\a &=& \dfrac{2d}{5}
\end{array}
\right.\\
	\end{split}
	\]
En choisissant, $d=5$ on obtient $a=2$, $b=-3$ et $c=1$	donc le plan $\left( ABC \right)$ a pour équation $2x-3y+z=5$
	 	\item[] \textsf{\textsc{méthode 2 :}}
	 	
	 	$M(x;y;z)$ est un point du plan $\left( ABC \right)$ si, et seulement si, les points $A$, $B$, $C$ et $M$ sont coplanaires.
	 	
	 	C'est à dire, si, et seulement si, il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que  \[ \overrightarrow{AM} =\alpha \overrightarrow{AB} +\beta \overrightarrow{AC} \]
	 	Or $\overrightarrow{AM} \left( x-1; y; z-3 \right)$, $\overrightarrow{AB} \left( 0; -1; -3 \right)$ et $\overrightarrow{AC} \left( -2; -2; -2 \right)$ d'où 
	 	\[\begin{split} 
	\displaystyle\left\lbrace
\begin{array}{rcl}x-1&=& -2\beta\\y &=& -\alpha -2\beta \\z-3 &=&  -3\alpha -2\beta
\end{array}
\right. &\Leftrightarrow  	\displaystyle\left\lbrace
\begin{array}{rcl}\dfrac{1-x}{2}&=& \beta\\x-y-1 &=& \alpha  \\z-3 &=&  -3(x-y-1) +(x-1)
\end{array}
\right. \\
	&\Leftrightarrow  \displaystyle\left\lbrace
\begin{array}{rcl}\dfrac{1-x}{2}&=& \beta\\x-y-1 &=& \alpha  \\2x-3y+z &=&5
\end{array}
\right.\\		
	\end{split}
	\]
	
	Ainsi, le plan $\left( ABC \right)$ a pour équation $2x-3y+z=5$
\end{enumerate}

\subsection{\textsc{vecteur orthogonal à un plan}}
  
 
On dit qu'un vecteur $\vec n$ est orthogonal (ou normal) à un plan $\mathcal P$ si la direction de $\vec n$ est une droite orthogonale au plan $\mathcal P$. C'est à dire une droite orthogonale à toutes les droites du plan $\mathcal P$.
 
\cadreR{%
\textbf{Dans un repère othonormal}, le vecteur $\vec n \left( a;b;c\right)$ est orthogonal au plan $\mathcal P$ d'équation $ax+by+cz=d$.
}

\subsection{\textsc{plans parallèles}}
 
\cadreR{%
Deux plans $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ d'équations respectives $ax+by+cz = d$ et $a'x+b'y+c'z = d'$ sont parallèles si, et seulement si, les coefficients $a$, $b$, $c$ et $a'$, $b'$, $c'$ sont proportionnels.
}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3.5)(4.5,5.5)
\psset{Alpha=135,coorType=1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=4,yMax=4,zMax=4.5,linecolor=black,linewidth=0.75pt]
\pstThreeDPut(0.1,0.15,-.1){O}
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1.25pt](3.2,0,0)(0,3.5,0)(0,0,3.8)(3.2,0,0)
\pstThreeDLine[linecolor=prune,linewidth=1.25pt](2,0,0)(0,2.3,0)(0,0,2.6)(2,0,0)
\pstThreeDPut(2.5,0,2){\small{\textbf{\bleu $\mathcal{P}_1$}}}
\pstThreeDPut(0,1.3,1.5){\small{\textbf{\prune $\mathcal{P}_2$}}}
\rput(.25,-3.2){Plans parallèles}
\end{pspicture}\hfill
\begin{pspicture}(-4,-3.5)(4.5,5.5)
\psset{Alpha=135,coorType=1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=4,yMax=4,zMax=4.5,linecolor=black,linewidth=0.75pt]
\pstThreeDPut(0.1,0.15,-.1){O}
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1.25pt](3.2,0,0)(0,2.5,0)(0,0,3.8)(3.2,0,0)
\pstThreeDLine[linecolor=prune,linewidth=1.25pt](2,0,0)(0,3.5,0)(0,0,2.6)(2,0,0)
\pstThreeDLine[linecolor=red,linewidth=1pt,linestyle=dashed](-.957,1.406,2.8)(1.885,1.817,-1.2)
\pstThreeDLine[linecolor=red,linewidth=1pt](1.032,1.694,0)(0,1.544,1.453)
\pstThreeDPut(-1,1.7,2.8){\small{\textbf{\red $\mathcal{D}$}}}
\pstThreeDDot[dotstyle=*,dotscale=1.2,linecolor=red](1.032,1.694,0)
\pstThreeDDot[dotstyle=*,dotscale=1.2,linecolor=red](0,1.544,1.453)
\pstThreeDPut(2.5,0,2){\small{\textbf{\bleu $\mathcal{P}_1$}}}
\pstThreeDPut(0,3,1){\small{\textbf{\prune $\mathcal{P}_2$}}}
\rput(.25,-3.2){Plans sécants selon une droite $\mathcal{D}$}
\end{pspicture}

\subsection{\textsc{système d'équations cartésiennes d'une droite}}
 
\cadreR{%
L'espace est muni d'un repère \Oijk. Un point $M\left(x ; y ; z \right)$ appartient à une droite $\mathcal D$ de l'espace si, et seulement si, ses coordonnées vérifient un système d'équations de la forme 	
\[\displaystyle\left\lbrace
\begin{array}{lcl}ax+by+cz&=& d\\a'x+b'y+c'z &=& d'
\end{array}
\right. \text{ où }  a\text{, } b\text{, } c \text{ et }  a'\text{, } b'\text{, } c' \text{ ne sont pas proportionnels.}
\]
}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo

\medskip


Dans l'espace muni d'un repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j,\vec k} \right)$,  on considère les points $A(5;0;0)$, $B(5;9;0)$, $C(0;9;0)$ et $S(0;9;9)$. 

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(11.5,10.5)
\psset{linewidth=0.1pt,linecolor=gray,subticks=10,coorType=1,Alpha=150}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psset{xsubticks=7,ysubticks=11}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy,Dx=1,Dy=1](0,0)(7,11)
\psset{xsubticks=7,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz](0,0)(7,10)
\psset{xsubticks=11,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz](0,0)(11,10)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1.25pt](0,9,9)(5,0,0)(5,9,0)(0,9,0)(0,9,9)(5,9,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=.75pt,linestyle=dashed,dash=3pt  4pt](5,0,0)(0,9,0)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=7,yMax=11,zMax=10,linecolor=black,linewidth=1pt]
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=1,yMax=1,zMax=1,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1.5pt]
\psset{dotstyle=+,linecolor=prune,linewidth=2pt}
\pstThreeDDot(2,5,5)
\pstThreeDDot(4,9,6)
\pstThreeDPut(0,0,-.3){O}
\pstThreeDPut(.4,-.2,.4){\red $\vec i$}
\pstThreeDPut(-0.2,.8,.4){\red $\vec j$}
\pstThreeDPut(-.2,.2,1){\red $\vec k$}
\pstThreeDPut(5,0,-.3){\footnotesize{\textsf{\textbf{\bleu A}}}}
\pstThreeDPut(-0.2,9.2,0.2){\footnotesize{\textsf{\textbf{\bleu C}}}}
\pstThreeDPut(5,9,-.3){\footnotesize{\textsf{\textbf{\bleu B}}}}
\pstThreeDPut(-0.6,9,9){\footnotesize{\textsf{\textbf{\bleu S}}}}
\pstThreeDPut(2,5,5.4){\footnotesize{\textbf{\textsf{\prune F}}}}
\pstThreeDPut(4,9,6.4){\footnotesize{\textbf{\textsf{\prune G}}}}
\end{pspicture}
 \end{center} 
\begin{enumerate}
	\item Placer le point $E$ de coordonnées $(6;4;7)$ dans le repère précédent.
	\item L'abscisse du point $F$ est égale à 2, lire les coordonnées du point $F$.
	\item $G$ est un point du plan $(SBC)$, lire les coordonnées du point $G$.
	\item Les points $E$, $F$ et $G$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}
\bigskip

\exo

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère \Oijk, on considère les points  $A(2;-1;3)$, $B(3;2;1)$, $C(-2;3;1)$ et $D(6;3;0)$.

\begin{enumerate}
	\item Les points $A$, $B$  et $C$ déterminent-ils un plan ?
	\item Calculer les coordonnées du point $I$ milieu du segment $[BC]$.
	\item Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont-ils coplanaires ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\exo

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. On considère les points $A(2;-1;3)$, $B(-2;3;1)$, $C(-2;0;4)$, $D(9;-5;8)$  et  $E(x;y;6)$.

\begin{enumerate}
	\item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ déterminent un plan.
	\item Le point $E$ appartient à la droite $(AB)$. Déterminer son abscisse et son ordonnée.
	\item Montrer que les vecteurs  $\overrightarrow {ED}$ et $\overrightarrow {AB}$ sont orthogonaux.
	\item Montrer que la droite $(ED)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.  
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère  \Oijk, on considère les points $A(-2;3;-1)$ et  $B(1;3;2)$.\\
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les coordonnées du point $C$ intersection de la droite $(AB)$ avec le plan $(xOy)$.
	\item Déterminer les coordonnées du point $D$ intersection de la droite $(AB)$ avec le plan $(yOz)$.
	\item La droite $(AB)$ est-elle sécante avec le plan $(xOz)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

 
\exo \hfill (\emph{D'après Sujet Bac Polynésie 2005})

\medskip
 
L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

La figure ci-dessous, représente un pavé droit ; le point O est le milieu de $[AD]$.

Soit $P$ le milieu du segment $[EF]$.
\psset{unit=3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(2.5,3)
\psset{Alpha=135,coorType=1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\pstThreeDBox[linecolor=bleu,linewidth=1.5pt](-1,0,0)(0,0,2)(2,0,0)(0,1,0)
\pstThreeDCoor[xMin=-2,yMin=-2,zMin=-1,xMax=1.75,yMax=2,zMax=2.5,linecolor=black,linewidth=1pt]
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=1,yMax=1,zMax=1,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1.75pt]
\pstThreeDPut(0.1,0.15,-.1){O}
\pstThreeDPut(0.5,-.05,.05){\red $\vec i$}
\pstThreeDPut(-0.1,0.5,.05){\red $\vec j$}
\pstThreeDPut(-.1,.05,0.5){\red $\vec k$}
\pstThreeDPut(0,-0.1,2.1){\small{\textsf{\textbf{\bleu 2}}}}
\pstThreeDPut(1.1,0.1,0){\small{\textsf{\textbf{\bleu A}}}}
\pstThreeDPut(1.1,1.1,0){\small{\textsf{\textbf{\bleu B}}}}
\pstThreeDPut(-1,1.1,0){\small{\textsf{\textbf{\bleu C}}}}
\pstThreeDPut(-1.1,-0.2,0){\small{\textsf{\textbf{\bleu D}}}}
\pstThreeDPut(-1,1,2.1){\small{\textsf{\textbf{\bleu G}}}}
\pstThreeDPut(-1,0,2.1){\small{\textsf{\textbf{\bleu H}}}}
\pstThreeDPut(1,-.1,2){\small{\textsf{\textbf{\bleu E}}}}
\pstThreeDPut(1,1,2.1){\small{\textsf{\textbf{\bleu F}}}}
\end{pspicture}
 \end{center} 


\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quel ensemble de points de l'espace a pour équation $z =2$ ?

\item Déterminer une équation du plan $(ABF)$.

\item En déduire un système d'équations qui caractérise la droite $(EF)$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}\item Quelles sont les coordonnées des points $A$, $G$ et $P$ ? 

\item Placer sur la figure le point $Q$ de coordonnées $(0 ; 0,5 ; 0)$. 

\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(APQ)$.

\end{enumerate}

\item	\begin{enumerate}\item Construire sur la figure les segments $[PQ]$ et $[AG]$. 

\item Le point $G$ appartient-il au plan $(APQ)$ ? Justifier.

\end{enumerate}

\item On construit la figure précédente à l'aide d'un logiciel de géométrie, puis on demande au logiciel de représenter le point d'intersection des droites $(AG)$ et $(PQ)$. Quelle pourrait être la réponse de l'ordinateur ?

\end{enumerate}

\bigskip


\exo 

La figure ci-dessous, représente un pavé droit $ABCDEFGH$ dans l'espace muni d'un repère orthonormal $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j,\vec k} \right)$.

Les coordonnées des points $A$, $B$ et $G$ sont $A(5;-3;0)$, $B(5;5;0)$ et $G(0;5;5)$.

$M$ est le point d'intersection du segment $[AB]$ avec l'axe des abscisses, $N$ est le point d'intersection du segment $[HG]$ avec l'axe des cotes.\\

\psset{unit=.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-18,-8)(13,13)
\psset{Alpha=90,coorType=2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\pstThreeDBox[linecolor=bleu,linewidth=1.25pt](0,-6,0)(0,0,10)(10,0,0)(0,16,0)
\psset{linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray,xsubticks=20,ysubticks=12}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz](-8,0)(12,12)
\psset{xsubticks=12,ysubticks=20}
\pstThreeDPlaneGrid(0,-8)(12,12)
%\psset{linewidth=0.1pt,linecolor=gray,subticks=12}
%\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=-8](0,0)(12,12)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=-8,zMin=0,xMax=12,yMax=12,zMax=12,linecolor=black,linewidth=1.25pt]
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=2,yMax=2,zMax=2,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1.75pt]
\pstThreeDPut(0,0,-.5){O}
\pstThreeDPut(.5,-.5,0.25){\red $\vec i$}
\pstThreeDPut(0,0.75,.75){\red $\vec j$}
\pstThreeDPut(0,-.5,1){\red $\vec k$}
\pstThreeDPut(10.5,-6.1,0){\small{\textsf{\textbf{\bleu A}}}}
\pstThreeDPut(10.5,10.8,0){\small{\textsf{\textbf{\bleu B}}}}
\pstThreeDPut(-.5,10,0){\small{\textsf{\textbf{\bleu C}}}}
\pstThreeDPut(-.5,-7,0){\small{\textsf{\textbf{\bleu D}}}}
\pstThreeDPut(10.5,-6.1,10.5){\small{\textsf{\textbf{\bleu E}}}}
\pstThreeDPut(11,10.5,11){\small{\textsf{\textbf{\bleu F}}}}
\pstThreeDPut(0,10,10.5){\small{\textsf{\textbf{\bleu G}}}}
\pstThreeDPut(0,-6,10.5){\small{\textsf{\textbf{\bleu H}}}}
\pstThreeDPut(10.5,0.5,-.25){\small{\textsf{\textbf{\bleu M}}}}
\pstThreeDPut(0,-0.5,10.5){\small{\textsf{\textbf{\bleu N}}}}
\end{pspicture*}
 \end{center} 



\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Les points $A$, $B$, $G$ et $H$ sont-ils coplanaires ?
\item Déterminer une équation du plan $(ABG)$.
\item Les points $M$ et $N$ appartiennent-ils au plan $(ABG)$ ?
\item Préciser la nature de l'ensemble $\mathcal{D}$ des points de l'espace dont les coordonnées vérifient le système : 
	\[\left\{ {\begin{array}{rcr}
y &=& 0 \\
x+z &=& 5 \\
\end{array}} \right. \]
Représenter l'ensemble $\mathcal{D}$ dans le repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j,\vec k} \right)$\\
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Quel ensemble de points de l'espace a pour équation $x =5$ ?

\item Déterminer une équation du plan $(EBH)$.

\item En déduire un système d'équations qui caractérise la droite $(EB)$.

\item Déterminer un système d'équations qui caractérise la droite $(CH)$.\\

\end{enumerate}

\item Les droites $(MN)$ et $(CH)$ sont-elles sécantes ? (\textit{Justifiez})
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France Métropolitaine Septembre 2009})

 \medskip 

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

Sur le dessin joint en annexe, on a placé les points $A(0~;~2~;~0)$, $B(0~;~0~;~6)$, $C(4~;~0~;~0)$, $D(0~;~4~;~0)$ et $E(0~;~0~;~4)$.

Soit $(P)$ le plan d'équation $3y + z = 6$.

Il est représenté par ses traces sur le plan de base sur le dessin joint en annexe.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points $C$, $D$ et $E$ déterminent un plan que l'on notera $(CDE)$.
		\item Vérifier que le plan $(CDE)$ a pour équation $x + y + z = 4$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les plans $(P)$ et $(CDE)$ sont sécants. On note $(\Delta)$ leur intersection.
		\item Sans justifier, représenter $(\Delta)$ en couleur (ou à défaut en traits pointillés) sur la figure en annexe.
	\end{enumerate}
\item On considère les points $F(2~;~0~;~0)$ et $G(0~;~3~;~0)$.

On note $(Q)$ le plan parallèle à l'axe $\left(\text{O};~\vec{k}\right)$ et contenant les points $F$ et $G$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur la figure en annexe les points $F$ et $G$.
		
		Sans justifier, représenter le plan $(Q)$ par ses traces sur les plans de base, d'une autre couleur (ou à défaut en larges pointillés), sur la figure en annexe.
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $ax + by = 6$ soit une équation du plan $(Q)$.
	\end{enumerate}
\item L'intersection des plans $(CDE)$ et $(Q)$ est la droite $\left(\Delta'\right)$.

Sans justifier, représenter la droite $\left(\Delta'\right)$, d'une troisième couleur (ou à défaut en très larges pointillés), sur la figure en annexe.
\item On considère le système de trois équations à trois inconnues suivant :

\[\left\{\begin{array}{r c l}
3y + z&=&6\\
x + y + z&=&4\\
\multicolumn{1}{l}{3x + 2y}&=&6
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre ce système.
		\item Que peut-on alors en déduire pour les droites $(\Delta)$ et $\left(\Delta'\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}

\textbf{\textsc{\textsf{annexe}}}

\bigskip

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-4,-2.75)(4.5,6.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rougef}{.8 0.1 .1}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-11)(18,26)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(4.5,6.5)
\psline[linewidth=.75pt]{->}(0,0)(-4,-2.6667)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=rougef]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=rougef]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=rougef]{->}(0,0)(-.75,-.5)
\uput[d](-.35,-.25){\rougef $\vec i$} \uput[d](.5,0){\rougef $\vec j$} \uput[l](0,.5){\rougef $\vec k$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](-4.02,3.32)(0,6)(2,0)(-2.125,-2.75)
\pspolygon[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](-3,-2)(4,0)(0,4)
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt,linecolor=rougef](0,6)(2,0)(-3,-2)(4,0)(0,4)
\uput[r](-4,-2.7){$x$} \uput[d](4.4,0){$y$} \uput[ul](0,6.25){$z$}
\uput[dr](2,0){\bleu $A$} \uput[ur](0,6){\bleu $B$} \uput[d](-3,-2){\prune $C$} \uput[d](4,0){\prune $D$} \uput[l](0,4){\prune $E$}
\end{pspicture}
\end{center}


 \bigskip
  
  \exo

\medskip

 L'espace est muni d'un repère \Oijk orthonormal représenté en annexe ci-dessous.


\begin{enumerate}
\item Tracer les droites d'intersection du plan $(P)$ d'équation  $5x+5y+6z=15$ avec les plans de coordonnées du repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j,\vec k} \right)$.
\item On considère le plan $(Q)$ d'équation $3x+4y=6$.
\begin{enumerate}
	\item Préciser la nature de l'ensemble $\Delta$  des points $M$ de l'espace dont les coordonnées vérifient : 
	\[\left\{ {\begin{array}{rcr}
5x+5y+6z &=& 15 \\
3x+4y &=& 6 \\
\end{array}} \right. \]
\item Représenter l'ensemble $\Delta$ dans le repère \Oijk.
\end{enumerate}

\item On donne les points  $D\left(1;0;0\right)$, $E\left(0;-3;0\right)$,  $F\left(-1;-3;4\right)$ et $G\left(0;0;4\right)$.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que les points $D$, $E$ et $F$ déterminent un plan.
	\item Les points $D$, $E$, $F$ et $G$ sont-ils coplanaires ?
	\item Déterminer une équation du plan $(R)$ qui contient les points $D$, $E$, $F$.
	\item Représenter l'intersection des trois plans $(P)$, $(Q$) et $(R)$ dans le repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j,\vec k} \right)$
\end{enumerate}

\item Résoudre le système suivant et en donner une interprétation graphique.
 \[\left\{ {\begin{array}{rcr}
12x-4y+3z &=& 12 \\
5x+5y+6z &=& 15 \\
3x+4y &=& 6 \\
\end{array}} \right. \]
\end{enumerate}

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-8,-5)(9,9)
\psset{linewidth=0.1pt,linecolor=darkgray,subticks=17,Alpha=145,coorType=1}
\pstThreeDPlaneGrid(0,0)(8.5,8.5)
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz](0,0)(8.5,8.5)
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz](0,0)(8.5,8.5)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=8.5,yMax=8.5,zMax=8.5,linecolor=black,linewidth=1pt]
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=2,yMax=2,zMax=2,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1.5pt]
\pstThreeDPut(0,0,-.3){O}
\pstThreeDPut(1.5,-.2,.4){\red $\vec i$}
\pstThreeDPut(-0.2,1.5,.4){\red $\vec j$}
\pstThreeDPut(-.2,.2,1.5){\red $\vec k$}
\end{pspicture}
 \end{center} 

\pagebreak

\exo

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère  \Oijk, on considère les points $A(-1;6;7,5)$ et  $B(-2;8;9)$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ parallèle à l'axe $(Oz)$ et passant par les points $A$ et $B$.
	\item Déterminer une équation cartésienne du plan $Q$ parallèle à l'axe $(Oy)$ et passant par les points $A$ et $B$.
	\item Soit $d$ la droite caractérisée par le système :
	\[\displaystyle\left\lbrace
\begin{array}{lcr}2x+y &=& 4\\3x+2z &=& 12
\end{array}
\right. 
\]
	Les points $A$ et $B$ sont-ils sur la droite $d$ ?
	\item Dans le repère \Oijk  ci-dessous, représenter les plans $P$ et $Q$ par leurs traces avec les plans de base ainsi que la droite $(AB)$.
\end{enumerate}

\psset{unit=.9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-10,-5)(10,10)
\psset{linewidth=0.1pt,linecolor=gray,subticks=10,Alpha=47,Beta=19}
\pstThreeDPlaneGrid(0,0)(10,10)
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz](0,0)(10,10)
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz](0,0)(10,10)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=10,linecolor=black,linewidth=1pt]
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=1,yMax=1,zMax=1,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1.5pt]
\pstThreeDPut(0,0,-.3){O}
\pstThreeDPut(.4,-.2,.4){\red $\vec i$}
\pstThreeDPut(-0.2,.8,.4){\red $\vec j$}
\pstThreeDPut(-.2,.2,1){\red $\vec k$}
\end{pspicture}
 \end{center}
  
\end{document}