\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage {array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{eqnarray}
\usepackage{multirow}
\usepackage{bigdelim}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pstricks,pst-all,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath} ,\vec k} \right)$}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\mathrm {d}}
\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio
\DecimalMathComma
\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
{-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
{2.3ex \@plus.2ex}%
{\reset@font\bfseries\red\sffamily\scshape}}
\renewcommand\subsection{\@startsection {subsection}{2}{\z@}%
{-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
{2.3ex \@plus.2ex}%
{\reset@font\bfseries\sffamily\scshape\blue}}
\renewcommand\subsubsection{\@startsection {subsubsection}{3}{\z@}%
{-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
{2.3ex \@plus .2ex}%
{\reset@font\bfseries\sffamily\scshape\small}}
\makeatother
\setcounter{secnumdepth}{2}
\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
\newcounter{nexo} % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
\stepcounter{nexo}
\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice \arabic{nexo}}}}}}}
}%
\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}
\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\ 5 octobre 2011}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{limites}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
\begin{document}
En terminale ES, la notion intuitive de limite permet de mettre en évidence le comportement d'une fonction dans les cas suivants :
\begin{itemize}
\item Que se passe-t-il lorsque la variable $x$ est proche d'une valeur $a$, sans pour cela l'atteindre ?
\item Que se passe-t-il lorsque la variable $x$ s'éloigne infiniment de 0 (limites en $+\infty$ ou en $-\infty$) ?
\end{itemize}
\section{notion de limite}
\subsection{\textsc{limite finie d'une fonction en un réel}}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{12.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Soit $f$ une fonction définie au \og voisinage \fg{} d'un réel $a$.
Dire que la fonction $f$ a pour limite le réel $\ell$ en $a$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisament proche de $a$.
On note : $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\ell$
&\psset{xunit=.6cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.6)(6,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.5*x+1)*Euler^(1-x^2/16)-1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.6)(6,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.6,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{.5}{5.8}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=10,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{3.473}{4.492}{\f}
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=prune](0,2)(4,2)(4,0)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](0,2.5)(4.492,2.5)(4.492,0)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](0,1.5)(4.492,1.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](3.473,0)(3.473,2.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-[}(3.473,0)(4.492,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-[}(0,1.5)(0,2.5)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8,dotstyle=Bo](4,2)
\uput[d](4,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[l](0,2){\red{$\ell$}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}
\subsection{limite infinie d'une fonction en un réel}
\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie au \og voisinage \fg{} d'un réel $a$ à droite de $a$ (resp. à gauche de $a$).
Dire que la fonction $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ avec $x>a$ (resp. avec $xa$ (resp. avec $xa}{x\to a}}f(x)=+\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty$ (resp. $\displaystyle \lim_{\underset{x}(0,0)(-.5,-.5)(6.5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](6.2,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[ul](0,3.7){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](1,1.567)(1.45,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{1.205}{6}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](1,0)(1,4)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](1.45,0)(1.45,4)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](0,1.567)(1.45,1.567)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,2.5)(1.3,2.5)(1.3,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,1.567)(0,3.85)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=red]{->}(1.4,-.25)(1.1,-.25)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-.35,2.7)(-.35,3.3)
\uput[l](0,2.5){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[dl](0,3.7){\scriptsize{$+\infty$}}
\uput[l](0,1.567){\red{\tiny{$M$}}}
\uput[d](1,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[dr](1.45,0){\red{\footnotesize{$a+h$}}}
\rput(3,-1.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=+\infty$}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{(4-x)/(x^2-6*x+10)-1/(x-4)-1}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-.5)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](4.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[ul](0,3.7){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](4,1.567)(3.55,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-2}{3.795}{\f}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](4,0)(4,4)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](3.55,0)(3.55,4)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](0,1.567)(4,1.567)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,2.5)(3.71,2.5)(3.71,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,1.567)(0,3.85)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=red]{->}(3.55,-.25)(3.85,-.25)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-.35,2.7)(-.35,3.3)
\uput[l](0,2.5){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[dl](0,3.7){\scriptsize{$+\infty$}}
\uput[l](0,1.567){\red{\tiny{$M$}}}
\uput[d](4,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[dl](3.55,0){\red{\footnotesize{$a-h$}}}
\rput(1.5,-1.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x}(0,0)(-4.5,-3.5)(2.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](-4,-1.067)(-3.55,-3.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-3.795}{2.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-4,0)(-4,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](-3.55,0)(-3.55,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](-4,-1.067)(0,-1.067)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,-2.5)(-3.74,-2.5)(-3.74,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,-1.067)(0,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=red]{->}(-3.55,.25)(-3.85,.25)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(.35,-2.7)(.35,-3.3)
\uput[r](0,-2.5){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[r](0,-3.5){\scriptsize{$-\infty$}}
\uput[r](0,-1.067){\red{\tiny{$M$}}}
\uput[u](-4,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[ur](-3.55,0){\red{\footnotesize{$a+h$}}}
\rput(-1,-4.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=-\infty$}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-4.8)(5,1.7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{(x-4)/(x^2-6*x+10)+1/(x-4)+1.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-3.5)(5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](4.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](4,-1.067)(3.55,-3.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-2}{3.795}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](4,0)(4,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](3.55,0)(3.55,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](0,-1.067)(4,-1.067)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,-2.5)(3.74,-2.5)(3.74,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,-1.067)(0,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=red]{->}(3.55,.25)(3.85,.25)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-.35,-2.7)(-.35,-3.3)
\uput[l](0,-2.5){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[l](0,-3.5){\scriptsize{$-\infty$}}
\uput[l](0,-1.067){\red{\tiny{$M$}}}
\uput[u](4,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[ul](3.55,0){\red{\footnotesize{$a-h$}}}
\rput(1.5,-4.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x}(0,0)(-2,-4)(9.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](9.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](4.42,-2.2)(9.5,-1.3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-1.8}{9.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,-2)(9.5,-2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](0,-2.2)(9.5,-2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](0,-1.3)(9.5,-1.3)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](4.42,0)(4.42,-2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,-1.6)(5.68,-1.6)(5.68,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-[}(0,-1.3)(0,-2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-.4,-1.5)(-.4,-1.85)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(5.7,.25)(9,.25)
\uput[l](0,-1.3){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[u](9.5,0){\footnotesize{$+ \infty$}}
\uput[l](-.1,-2){\red{{$\ell$}}}
\uput[u](4.42,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture}
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell$ : $f(x)$ est aussi proche que l'on veut de $\ell$ à condition de choisir $x >m$
\end{center}
\item Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]-\infty; A]$, où $A$ est un réel.
Dire que la fonction $f$ a pour limite le réel $\ell$ en $-\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x <0$ suffisament éloigné de $0$.
On note : $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell$
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-9.5,-1.5)(2,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{2-(3-2*x)*EXP(.64*x)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-9.5,-1.5)(2,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](2,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](-4.42,2.2)(-9.5,1.3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-9.5}{1.8}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-9.5,2)(0,2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](-9.5,2.2)(0,2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](-9.5,1.3)(0,1.3)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](-4.42,0)(-4.42,2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,1.6)(-5.68,1.6)(-5.68,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-[}(0,1.3)(0,2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(.4,1.5)(.4,1.85)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-5.7,-.25)(-9,-.25)
\uput[r](0,1.3){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[d](-9.5,0){\footnotesize{$- \infty$}}
\uput[r](.1,2){\red{{$\ell$}}}
\uput[d](-4.42,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture}
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell$ : $f(x)$ est aussi proche que l'on veut de $\ell$ à condition de choisir $x {\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
\multicolumn{2}{l}{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[A; +\infty[$, où $A$ est un réel.}\\
\begin{enumerate}
\item Dire que la fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]M ; + \infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisament grand.
On note : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$
\end{enumerate}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(6,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{.9*ln(0.25*x^2-.5*x+.5)+.2*x+.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-.5)(6,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](3.834,2)(6,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-1}{6}{\f}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](0,2)(6,2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](3.834,0)(3.834,4)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,2)(0,3.8)
\uput[l](0,2){\red{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](3.834,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} \\
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Dire que la fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]- \infty; M[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisament grand.
On note : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$
\end{enumerate}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-3.5)(6,1)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{-.9*ln(0.25*x^2-.5*x+.5)-.2*x-.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-3.5)(6,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,.7){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](3.834,-2)(6,-3.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-1}{6}{\f}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](0,-2)(6,-2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](3.834,0)(3.834,-3.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,-2)(0,-3.5)
\uput[l](0,-2){\red{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](3.834,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} \\
\multicolumn{2}{l}{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]-\infty; A]$, où $A$ est un réel.}\\
\begin{enumerate}
\item Dire que la fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $-\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]M ; + \infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x<0$ suffisament éloigné de $0$.
On note : $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$
\end{enumerate}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-.5)(1,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{.9*ln(0.25*x^2+.5*x+.5)-.2*x+.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-.5)(1,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](-3.834,2)(-6,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-6}{1}{\f}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](0,2)(-6,2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](-3.834,0)(-3.834,4)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,2)(0,3.8)
\uput[r](0,2){\red{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](-3.834,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} \\
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Dire que la fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $-\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]- \infty; M[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x<0$ suffisament éloigné de $0$.
On note : $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$
\end{enumerate}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-3.5)(1,1)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{-.9*ln(0.25*x^2+.5*x+.5)+.2*x-.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-3.5)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,.7){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](-3.834,-2)(-6,-3.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-6}{1}{\f}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](0,-2)(-6,-2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](-3.834,0)(-3.834,-3.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,-2)(0,-3.5)
\uput[r](0,-2){\red{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](-3.834,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} \\
\end{tabularx}
\subsubsection{asymptote oblique}
\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de borne $+\infty$ ou $-\infty$, et $\mathcal{D}$ une droite d'équation $y=ax+b$.
Si $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ (ou $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$), on dit alors que la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction $f$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$).
}
\bigskip
\psset{xunit=.5cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-2)(6,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\rput(2.75,-1.5){$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)= +\infty$}
\def\f{(3-2*x^2-x)*EXP(-x)+.8*x-1}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.75)(6,4.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.25){\footnotesize{$y$}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=mauveClair]{4}{6}{\f} \gsave
\psline(6,3.8)(4,2.2)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-.5}{6}{\f}
\pcline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](.5,-.6)(6,3.8)
\naput*[nrot=:U]{\red{\tiny{$y=ax+b$}}}
\end{pspicture}\hfill
\begin{pspicture}(-.5,-5)(6,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\rput(2.75,-4.5){$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)= -\infty$}
\def\f{1.5-.8*x-(4-4*x^2+5*x)*EXP(-x)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-3.75)(6,1.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.25){\footnotesize{$y$}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=mauveClair]{4}{6}{\f} \gsave
\psline(6,-3.3)(4,-1.7)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-.5}{6}{\f}
\pcline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](.5,1.1)(6,-3.3)
\nbput*[nrot=:U]{\red{\tiny{$y=ax+b$}}}
\end{pspicture}\hfill
\begin{pspicture}(-6,-2)(1,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\rput(-2.5,-1.5){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)= +\infty$}
\def\f{.5-.5*x+(x^2-3*x+1)*EXP(x)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-0.75)(1,4.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.25){\footnotesize{$y$}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=mauveClair]{-4}{-6}{\f} \gsave
\psline(-6,3.5)(-4,2.5)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-6}{0.6}{\f}
\pcline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](-6,3.5)(.6,.2)
\nbput*[nrot=:U]{\red{\tiny{$y=ax+b$}}}
\end{pspicture}\hfill
\begin{pspicture}(-6,-4.5)(1,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\rput(-2.5,-4){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)= -\infty$}
\def\f{-0.5+.5*x+(x^2-3.25*x+1)*EXP(x)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-3.25)(1,1.75)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.3){\footnotesize{$y$}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=mauveClair]{-4}{-6}{\f} \gsave
\psline(-6,-3.5)(-4,-2.5)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-6}{1}{\f}
\pcline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](-6,-3.5)(.5,-.25)
\nbput*[nrot=:U]{\red{\tiny{$y=ax+b$}}}
\end{pspicture}
\medskip
\textsf {\textbf{\textsc{\small{remarque}}}}
Pour étudier la position relative de la courbe représentative de la fonction $f$ par rapport à une asymptote $\mathcal{D}$ d'équation $y=ax+b$, il suffit d'étudier le signe de la différence $f(x)-(ax+b)$
\section{limites de fonctions usuelles}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-1.5)(3.5,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(0,7.5){\textsf {\textbf{\textsc{\small{fonction carré}}}}}
\rput(0,-1){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}{x^2}= +\infty$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}{x^2}= +\infty$ }
\def\f{x^2}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-.5)(3.5,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,7){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-2.5}{2.5}{\f}
\end{pspicture} \hfill
\begin{pspicture}(-3.5,-4.5)(3.5,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(0,4.5){\textsf {\textbf{\textsc{\small{fonction cube}}}}}
\rput(0,-4){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}{x^3}= +\infty$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}{x^3}= +\infty$ }
\def\f{x^3}
\psaxes[ticks=none,linewidth=.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.5}{1.58}{\f}
\end{pspicture}
\bigskip
\begin{pspicture}(-3.5,-4.5)(3.5,4.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(0,4){\textsf {\textbf{\textsc{\small{fonction inverse}}}}}
\rput(0,-4){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}{\dfrac{1}{x}}= 0$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to {0^-}}{\dfrac{1}{x}}= +\infty$}
\rput(0,-5){$\displaystyle \lim_{x\to {0^+}}{\dfrac{1}{x}}= +\infty$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}{\dfrac{1}{x}}= 0$}
\def\f{1/x}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-3.5}{-.285}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.285}{3.5}{\f}
\end{pspicture} \hfill
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(6.5,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(3,5.5){\textsf {\textbf{\textsc{\small{fonction racine carrée}}}}}
\rput(3,-2.5){$\displaystyle \lim_{x\to 0}{\sqrt{x}}= 0$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}{\sqrt{x}}=+\infty$}
\def\f{x^.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-1)(6.5,4.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](6.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=650,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{6.5}{\f}
\end{pspicture}
\pagebreak
\section{règles opératoires sur les limites}
Dans tout ce paragraphe, $u$ et $v$ désignent deux fonctions, $\ell$ et $\ell '$ désignent deux nombres réels, et $\alpha$ désigne $+\infty$ ou $-\infty$ ou un nombre réel.
\subsection{\textsc{limite d'une somme de deux fonctions}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
{\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Si $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}u(x)=$ & $\ell$ & $\ell$ & $\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ \\ \hline
et $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}v(x)=$ & $\ell '$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ \\ \hline
alors par somme
$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}(u+v)(x)=$ & $\ell + \ell '$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & {\Rougef{\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{à étudier}}}}}} \\ \hline
\end{tabularx}
}
\medskip
\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=x^2-1+\dfrac{1}{x}$.
\'Etudions les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.
\begin{itemize}
\item $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}x^2-1=-1$ et $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}\dfrac{1}{x}=+\infty$ donc, par somme, $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}f(x)=+\infty$. La courbe représentative de la fonction $f$ admet pour asymtote l'axe des ordonnées.
\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^2-1=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$ donc, par somme, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$
\end{itemize}
\subsection{limite d'un produit de deux fonctions}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
{\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Si $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}u(x)=$ & $\ell$ & $\ell \ne 0$ & $0$ & $+\infty$ ou $-\infty$ \\ \hline
et $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}v(x)=$ & $\ell '$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$ \\ \hline
alors par produit
$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}(u \times v)(x)=$ & $\ell \times \ell '$ & $\pm\infty$\textsuperscript{*} & {\Rougef{\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{à étudier}}}}}} & $\pm\infty$\textsuperscript{*} \\ \hline
\end{tabularx}
}
\begin{flushright}
{\scriptsize(*) Lorsque la limite du produit est infinie, c'est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat $+\infty$ ou $-\infty$.}
\end{flushright}
\medskip
\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=x^2\times \left(\dfrac{1}{x}-1\right)$.
\'Etudions les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.
\begin{itemize}
\item $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}x^2=0$ et $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}\dfrac{1}{x}-1=+\infty$. Nous sommes en présence de la forme indéterminée \og $0\times \infty$ \fg.
Or pour tout réel $x$ non nul, $x^2\times \left(\dfrac{1}{x}-1\right)=x- x^2$ et $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}x- x^2=0$. Donc, $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}f(x)=0$
\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}-1=-1$ donc, par produit, $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}f(x)=-\infty$
\end{itemize}
\subsection{limite d'un quotient de deux fonctions}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
{\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Si $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}u(x)=$ & $\ell$ & $\ell \ne 0$ & $\ell$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & 0 & $+\infty$ ou $-\infty$ \\ \hline
et $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}v(x)=$ & $\ell ' \ne 0$ & 0 & $+\infty$ ou $-\infty$ & $\ell '$ & 0 & $+\infty$ ou $-\infty$ \\ \hline
alors par quotient
$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}\left(\dfrac{u}{v} \right)(x)=$\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\dfrac{\ell}{ \ell '}$ & $\pm\infty$\textsuperscript{*} & $0$ & $\pm\infty$\textsuperscript{*} & {\Rougef{\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{à étudier}}}}}} & {\Rougef{\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{à étudier}}}}}} \\ \hline
\end{tabularx}
}
\begin{flushright}
{\scriptsize(*) Lorsque la limite du quotient est infinie, c'est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat $+\infty$ ou $-\infty$.}
\end{flushright}
\medskip
\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
Soit $f$ la fonction définie sur $]1 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x-1}{x^2-1}$.
\'Etudions les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.
\begin{itemize}
\item $\displaystyle \lim_{\underset{x>1}{x\to 1}}x-1=0$ et $\displaystyle \lim_{\underset{x>1}{x\to 1}}x^2-1=0$. Nous sommes en présence de la forme indéterminée \og $\dfrac{0}{0}$\fg.
Or pour tout réel $x \ne 1$, \[ \dfrac{x-1}{x^2-1} = \dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{1}{x+1} \]
Comme $\displaystyle \lim_{\underset{x>1}{x\to 1}}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2}$, nous pouvons conclure que, $\displaystyle \lim_{\underset{x>1}{x\to 1}}f(x)=\dfrac{1}{2}$
\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x-1=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^2-1=+\infty$. Nous sommes en présence de la forme indéterminée \og $\dfrac{\infty}{\infty}$\fg.
Comme pour pour tout réel $x \ne 1$, $\dfrac{x-1}{x^2-1} =\dfrac{1}{x+1}$ et que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x+1}=0$, il s'ensuit que $\displaystyle \lim_{\underset{x>1}{x\to 1}}f(x)=0$.
La courbe représentative de la fonction $f$ admet pour asymtote l'axe des abscisses en $+\infty$.
\end{itemize}
\subsection{formes indéterminées}
Il y quatre formes indéterminées du type \og $\infty - \infty$ \fg ; \og $\infty \times 0$ \fg ; \og $\dfrac{0}{0}$ \fg ; \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg.
Lorsqu'on rencontre une forme indéterminée, on essaie de trouver la limite demandée en étudiant la situation. On dispose cependant de deux règles, permettant de déterminer la limite d'une fonction polynôme et la limite d'une fonction rationnelle en l'infini.
\subsubsection{règle 1}
\cadreB{%
En $+\infty$ ou en $-\infty$, la limite d'une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
}
\medskip
\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
\medskip
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}-3x^3-2x^2+x-5=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}-3x^3=-\infty$
\subsubsection{règle 2}
\cadreB{%
En $+\infty$ ou en $-\infty$, la limite d'une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient du terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur.
}
\medskip
\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
\medskip
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{5x^2-2x^3}{3x^4+1}=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{-2x^3}{3x^4}=\dfrac{-2}{3x}=0$
\subsection{limite de la composée de deux fonctions}
\cadreR{%
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $v$ une fonction définie sur un intervalle $J$ de $\R$ telles que
pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $u(x)$ appartient à $J$.
$a$, $b$ et $c$ désignent des réels ou $+\infty$ ou $-\infty$. $f$ est la fonction $v\circ u$, composée de $u$ suivie de $v$.
\begin{center}
Si $\displaystyle \lim_{x\to a}u(x)=b$ et $\displaystyle \lim_{X\to b}v(X)=c$, alors $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=c$
\end{center}
}
\medskip
\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
\medskip
Déterminer $\displaystyle \lim_{\underset{x>1}{x\to 1}}\left(\dfrac{2}{1-x}\right)^2$.
$\displaystyle \lim_{\underset{x>1}{x\to 1}}\dfrac{2}{1-x}=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{X\to -\infty}X^2=+\infty$, donc $\displaystyle \lim_{\underset{x>1}{x \to 1}}\left(\dfrac{2}{1-x}\right)^2=+\infty$
\section{limite par comparaison}
Les théorèmes suivants sont admis
\subsection* {théorème 1}
\addcontentsline{toc}{subsection}{Théorème 1}
\cadreR{%
$\alpha$ désigne un réel ou $+\infty$ ou $-\infty$. $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur un intervalle $I$ de $\R$.
Si pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x) \geqslant g(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}g(x)=+\infty$, alors $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}f(x)=+\infty$.
}
\medskip
\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
\medskip
Déterminer $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\sqrt{9x^2+1}-x+1$.
Pour tout réel $x$ positif, $9x^2+1 \geqslant 9x^2 $ d'où pour tout réel $x$ positif, \[\sqrt{9x^2+1} \geqslant 3x \Leftrightarrow \underbrace{\sqrt{9x^2+1}-x+1}_{f(x)} \geqslant \underbrace{2x+1}_{g(x)}\]
Or $\displaystyle \lim_{x\to \infty}2x+1 = +\infty$ donc d'après le théorème sur les limites par comparaison, $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \sqrt{9x^2+1}-x+1 = +\infty$.
\subsection* {théorème 2}
\addcontentsline{toc}{subsection}{Théorème 2}
\cadreR{%
$\alpha$ désigne un réel ou $+\infty$ ou $-\infty$. $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur un intervalle $I$ de $\R$.
Si pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x) \leqslant g(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}g(x)=-\infty$, alors $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}f(x)=-\infty$.
}
\medskip
\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
\medskip
Déterminer $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2-1}-2x+1$.
Pour tout réel $x \geqslant 1$, $x^2-1 \leqslant x^2 $ d'où pour tout réel $x \geqslant 1$, \[\sqrt{x^2-1} \leqslant x \Leftrightarrow \underbrace{\sqrt{x^2-1}-2x+1}_{f(x)} \leqslant \underbrace{-x+1}_{g(x)}\]
Or $\displaystyle \lim_{x\to \infty}-x+1 = -\infty$ donc d'après le théorème sur les limites par comparaison, $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2-1}-2x+1 = -\infty$
\subsection* {théorème 3 \hfill \normalfont({\emph{Théorème des gendarmes}})}
\addcontentsline{toc}{subsection}{Théorème 3}
\cadreR{%
\begin{tabularx}{.9\linewidth}{m{12cm} >{\centering \arraybackslash}X}
$\alpha$ désigne un réel ou $+\infty$ ou $-\infty$. Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur un intervalle $I$ de $\R$ et $\ell$ un réel.
Si pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x) \leqslant h(x) \leqslant g(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to \alpha}g(x)=\ell $, alors $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}h(x)=\ell$.
&\psset{unit=.68cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(5,4.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{2-1.2/(x+1)}
\def\g{2+1.2/(x+1)}
\def\h{2-sin(1-1.5*x)/(x+1)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.8){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](2.1,1.7)(5,2.3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.45}{5}{\h}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=red]{0}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=red]{0}{5}{\g}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](0,2)(5,2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](0,1.7)(5,1.7)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](0,2.3)(5,2.3)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt, linecolor=red](2.1,0)(2.1,2.3)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-[}(0,1.7)(0,2.3)
\uput[l](0,2){\red{\footnotesize{$\ell$}}}
\uput[d](2.1,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} \\
\end{tabularx}
}
\bigskip
\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
\medskip
Soit $f$ une fonction définie sur $]0;+\infty[$ et telle que pour tout réel $x > 0$, $3+\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{3x^2+x+1}{x^2}$.
\'Etudions les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.
\begin{itemize}
\item Pour tout réel $x > 0$, $ f(x) \geqslant 3+\dfrac{1}{x}$ or $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}3+\dfrac{1}{x}=+\infty$, donc d'après le théorème sur les limites par comparaison, $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x \to 0}} f(x) =+\infty$.
\item Pour tout réel $x > 0$, $3+\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{3x^2+x+1}{x^2}$ or $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} 3+\dfrac{1}{x}=3$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{3x^2+x+1}{x^2} = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{3x^2}{x^2} =3$, donc d'après le théorème sur les limites par encadrement, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) =3$.
\end{itemize}
\newpage
\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}
\exo
\medskip
Déterminer les limites suivantes :
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\raggedright \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-4mm]{0pt}{10mm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\sqrt{x} \left(1-2x\right)$ & $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\sqrt{x} \left(1-\dfrac{12}{x}\right)$ & $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \dfrac{x^2-3x+1}{2x^3-x^2}$ & $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{1-x^3}{x^2+x+1}$ \\ \hline
\rule[-5mm]{0pt}{12mm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^3 \left(1-\dfrac{2}{x}\right)$ & $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2-x}{4-x^2}$ & $\displaystyle \lim_{\underset{x>2}{x\to 2}}\dfrac{2+x}{4-x^2}$ & $\displaystyle \lim_{\underset{x>2}{x\to 2}}\dfrac{2-x}{4-x^2}$\\ \hline
\rule[-5mm]{0pt}{13mm} $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x^3 +x^2 -2x+1}$ & $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \left(\dfrac{x^2-3x+1}{1-x^2}\right)^2$ & $\displaystyle \lim_{\underset{x>1}{x\to 1}} \left(\dfrac{x^2-3x+1}{1-x^2}\right)^2$ & $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}} \dfrac{x-\sqrt{x}}{2x}$ \\ \hline
\end{tabularx}
\bigskip
\exo
\medskip
La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous, représente une fonction $f$ définie sur $\R$. Les droites $D$ et $\Delta$ sont les asymptotes à la courbe respectivement en $-\infty$ et $+\infty$.
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-12,-4)(10,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.85 0.05 .06 }
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.75*x-1.5*ln(1+Euler^(-.5*x-.5))+2.25}
\def\g{-.75*x+2.25}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-4)(10,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-2)(5,4)
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,3.8){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-6}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-2}{5}{\g}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-6,3)(.5,3)
\uput[ur](.5,3){\prune{\footnotesize{$D$}}}
\uput[ul](-2,3.5){\prune{\footnotesize{$\Delta$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=f(x)+ \dfrac{3}{4}x$. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$.
\end{enumerate}
\bigskip
\exo
\medskip
\begin{enumerate}
\item Soit $P(x) = x^2 + x - 6$ et $Q(x) = 2 x^2 - 3 x - 2$ deux polynômes.
\begin{enumerate}
\item Résoudre $P(x) = 0$ et $Q(x) = 0$.
\item En déduire une factorisation de $P(x)$ et $Q(x)$.
\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $] 2 ; + \infty[$ par $f (x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle \lim_{\underset{x>2}{x\to 2}} f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)$.
\item La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des asymptotes ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\exo
\medskip
La courbe $C_u$ ci-dessous représente une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On sait que :
\begin{itemize}
\item la courbe coupe l'axe des ordonnées au point $A$ et la tangente à la courbe au point $A$ passe par le point de coordonnées $(-2 ; 0)$ ;
\item la courbe admet au point $B$ d'abscisse 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses ;
\item l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $C_u$.
\end{itemize}
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-8)(21,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-8)(21,7)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-4)(10.5,3.5)
\uput[d](10.4,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\f{2*(x+1)*EXP(-.5*x)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.82}{10.5}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-3,-1)(1.5,3.5)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](0.2,2.42612)(1.8,2.42612)
\uput[d](0.2,2){\bleu{$A$}} \uput[d](1,3){\bleu{$B$}}
\uput[r](9.75,0.5){\bleu{$C_u$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \`A partir du graphique et des renseignements fournis :
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} u(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} u(x)$.
\item Déterminer $u'(0)$ et $u'(1)$.
\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $]-1; +\infty[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{1}{u(x)}$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition. La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des asymptotes ?
\item Déterminer $f'(0)$ et $f'(1)$.
\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\left[u(x)\right]^2$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les limites de la fonction $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$. La courbe représentative de la fonction $g$ admet-elle des asymptotes ?
\item Déterminer $g'(0)$ et $g'(1)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\exo
\medskip
Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $I =\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$ et telle que pour tout réel $x \geqslant 1$, on a $f(x) \leqslant \sqrt{x}$.
\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(12,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-3)(12,4)
\uput[d](11.8,0){$x$} \uput[l](0,3.8){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\def\f{ln(2*x-1)}
\def\g{x^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.525}{12}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{12}{\g}
\uput[r](.5,-3){\bleu{$C_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
On considère la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$.
Montrer que si $x \geqslant 1$ alors, $0 \leqslant g(x) \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. Que peut-on en déduire sur la limite de $g$ en $+ \infty$ ?
\bigskip
\exo
\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$ par : $f(x)=\dfrac{2x^2-13x+7}{4x-2}$.
On appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} f(x)$, qu'en déduit-on pour la courbe $C_f$ ?
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{4x-2}$.
\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet pour asymptote la droite $\Delta$ d'équation $y=\dfrac{x}{2}-3$.
\item \'Etudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $\Delta$
\item Résoudre l'inéquation $\dfrac{1}{4x-2} \leqslant 0,001$.
\item Calculer le plus simplement possible, une valeur approchée au millième près de l'image par $f$ de 500.
\end{enumerate}
\item Calculer la dérivée de la fonction $f$.
\item \'Etudier les variations de $f$.
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}
\bigskip
\exo
\medskip
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$ . On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un tableau, étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
\item Déterminer, en justifiant avec soin, $\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction composée de la fonction $f$ suivie de la fonction carrée, $g$ est définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty\right[$ par $g(x)={\left[f(x)\right]}^2$ . On note $C_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -1^+} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)$. En déduire l'existence d'asymptotes à la courbe $C_g$.
\item On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_g$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\exo
\medskip
Afin de de réduire ses coûts de fabrication, un industriel décide d'investir une certaine somme tous les mois dans la maintenance de l'outil de production.
Si $x$ est le montant en milliers d'euros que l'industriel investit, le pourcentage de réduction des coûts est modélisé par la fonction $f$ définie sur $\left[1;+\infty\right[$ par $f(x)=0,3-\dfrac{2x+0,1}{\left(x+1\right)^3}$.
\begin{enumerate}
\item Un investissement de 1100 \euro{} est-il suffisant pour réduire les coûts de 5\% ?
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
\item En déduire que l'équation $f(x)=0,25$ admet une solution unique.
\end{enumerate}
\item Selon ce modèle, est-il possible de réduire les coûts de 40\% ?
\item Quelle somme, arrondie à la centaine d'euros près, faut-il investir pour réduire les coûts d'au moins 25 \% ?
\end{enumerate}
\bigskip
\exo
\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=1-\left(\displaystyle\frac{2x^2+1}{x^2+5}\right)^3$
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition. En donner une interprétation graphique.
\item On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$.
\item En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.
\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x)=0$.
\end{enumerate}
\bigskip
\exo
\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0;+\infty\right[$ par : $f(x)=\dfrac{x^3-x^2+9x-1}{x^2+1}$.
On appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
\medskip
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(24,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x^3-x^2+9*x-1)/(x^2+1)}
%\def\g{x-1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-3)(24,12)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-3)(12,12)
\uput[d](11.8,0){$x$} \uput[l](0,11.6){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{12}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-1}{12}{\g}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-1}{3}{\g+4}
\uput[ul](11,10.5){\bleu{$C_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
\textsf {\textsc{\small{\textbf{partie a}}}}
\medskip
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y= x-1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
Tracer la droite $\Delta$
\item Résoudre l'inéquation $\dfrac{8x}{x^2+1} \leqslant 0,01$.
\end{enumerate}
\medskip
\textsf {\textsc{\small{\textbf{partie b}}}}
\medskip
On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.
Représenter la tangente $T$ sur le graphique.
\end{enumerate}
\medskip
\textsf {\textsc{\small{\textbf{partie c}}}}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $k$ positif, l'équation $f(x)=k$ admet une solution unique.
\item Sans utiliser la calculatrice, déterminer une valeur approchée au centième près du réel $x_0$, solution de l'équation $f(x)=1000$.
\end{enumerate}
\end{document}