cours terminale ES enseignement de spécialité

Introduction au calcul matriciel

III - matrices carrées

1 - matrice identité

matrice diagonale

Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, sauf éventuellement les coefficients de la diagonale, est appelée matrice diagonale.

exemples

La matrice $A = (\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$ est une matrice diagonale. La matrice $B = (\begin{array}{r} 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})$ n'est pas une matrice diagonale.

définition

La matrice diagonale d'ordre n dont tous les coefficients sur la diagonale sont égaux à 1 est appelée matrice identité d'ordre n, on la note $I_{n}$ .

exemples

$I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ est la matrice identité d'ordre 2 ; $I_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ est la matrice identité d'ordre 3 et $I_{4} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ est la matrice identité d'ordre 4.

propriété

Soit A une matrice carrée d'ordre n alors $A \times I_{n} = I_{n} \times A = A$ , où $I_{n}$ est la matrice identité d'ordre n.

exemple

$(\begin{array}{r} 1 & - 2 & 5 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & - 3 & 2 \end{array}) \times (\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{r} 1 & - 2 & 5 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & - 3 & 2 \end{array})$ et $(\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \times (\begin{array}{r} 1 & - 2 & 5 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & - 3 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{r} 1 & - 2 & 5 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & - 3 & 2 \end{array})$ .

2 - puissances d'une matrice carré

Soit A une matrice carré d'ordre n et p un entier supérieur ou égal à 1.
La puissance p-ième de la matrice A est la matrice carrée d'ordre n obtenue en effectuant le produit de p matrices égales à A. $A^{p} = \underset{p fois}{\underset{⏟}{A \times A \times \dots \times A}}$ Par convention $A^{0} = I_{n}$ .

exemple

Soit $A = (\begin{array}{r} - 3 & 1 & 2 \\ - 5 & 1 & 4 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array})$ : $\begin{array}{rcl} A^{2} = A \times A & = & (\begin{array}{r} - 3 & 1 & 2 \\ - 5 & 1 & 4 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}) \times (\begin{array}{r} - 3 & 1 & 2 \\ - 5 & 1 & 4 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{r} 6 & - 4 & 2 \\ 14 & - 8 & 2 \\ 4 & - 2 & 2 \end{array}) \\ A^{3} = A^{2} \times A & = & (\begin{array}{r} 6 & - 4 & 2 \\ 14 & - 8 & 2 \\ 4 & - 2 & 2 \end{array}) \times (\begin{array}{r} - 3 & 1 & 2 \\ - 5 & 1 & 4 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{r} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}) \end{array}$

3 - inverse d'une matrice carrée

définition

Une matrice carrée A d'ordre n est inversible, s'il existe une matrice carrée B d'ordre n telle que $A \times B = B \times A = I_{n}$ , où $I_{n}$ est la matrice identité d'ordre n.
La matrice inverse de A si elle existe, est unique et est notée $A^{- 1}$ .

exemple

La matrice $A = (\begin{array}{r} 4 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array})$ est elle inversible ?

Calculons a, b, c etd tel que $(\begin{array}{r} 4 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array}) \times (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ . a, b, c etd sont les solutions éventuelles du système : $\begin{matrix} {\begin{cases} 4 a - 2 c = 1 \\ 4 b - 2 d = 0 \\ - 3 a + c = 0 \\ - 3 b + d = 1 \end{cases} & ⟺ & {\begin{cases} 2 a - c = \frac{1}{2} \\ - 3 a + c = 0 \\ 2 b - d = 0 \\ - 3 b + d = 1 \end{cases} & ⟺ & {\begin{cases} a = - \frac{1}{2} \\ b = - 1 \\ c = - \frac{3}{2} \\ d = - 2 \end{cases} \end{matrix}$

L'inverse de la matrice $A = (\begin{array}{r} 4 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array})$ est la matrice $A^{- 1} = (\begin{array}{r} - \frac{1}{2} & - 1 \\ - \frac{3}{2} & - 2 \end{array})$ .

4 - application aux systèmes linéaires

Un système linéaire à n équations et n inconnues : ${\begin{cases} a_{1, 1} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + \dots + a_{1, n} x_{n} = b_{1} \\ a_{2, 1} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + \dots + a_{2, n} x_{n} = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{n, 1} x_{1} + a_{n, 2} x_{2} + \dots + a_{n, n} x_{n} = b_{n} \end{cases}$ peut s'écrire sous la forme matricielle $A X = B$ où $A = (\begin{matrix} a_{1, 1} & \dots & a_{1, n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n, 1} & \dots & a_{n, n} \end{matrix})$ est une matrice carrée d'ordre n, $X = (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$ et $B = (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$ sont des matrices colonnes de dimension $n \times 1$ .
Si la matrice A est inversible, alors le système admet une unique solution donnée par $X = A^{- 1} B$ .

exemple

Soit le système ${\begin{cases} x - 3 y + z = 6 \\ 2 x - y + 3 z = - 2 \\ - 4 x + 3 y - 6 z = 1 \end{cases}$ .

Posons $A = (\begin{array}{r} 1 & - 3 & 1 \\ 2 & - 1 & 3 \\ - 4 & 3 & - 6 \end{array})$ , $X = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$ et $B = (\begin{array}{r} 6 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ . Alors le système peut s'écrire sous la forme matricielle $A X = B$ .

La matrice A est inversible et $A^{- 1} = (\begin{array}{r} 3 & 15 & 8 \\ 0 & 2 & 1 \\ - 2 & - 9 & - 5 \end{array})$ on en déduit que $A X = B ⟺ A^{- 1} A X = A^{- 1} B ⟺ X = A^{- 1} B$

Soit $(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{array}{r} 3 & 15 & 8 \\ 0 & 2 & 1 \\ - 2 & - 9 & - 5 \end{array}) \times (\begin{array}{r} 6 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{r} - 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array})$

On obtient ainsi, l'unique solution du système $x = - 4$ ; $y = - 3$ et $z = 1$ .

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