Lois de probabilité à densité

III - Loi normale

1 - Vers une approximation de la loi binomiale

Rappel

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p notée $ℬ\left(n,p\right)$.
L'espérance mathématique est $E\left(X\right)=np$ ; l'écart-type est $\sigma \left(X\right)=\sqrt{np\left(1-p\right)}$.

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La fonction de Gauss

Soit $\left(X_n\right)$ une suite de variables aléatoires suivant une loi binomiale de paramètres n et de même probabilité p.
On s'intéresse à la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z_n={\displaystyle \frac{X_n-E\left(X_n\right)}{{\sigma }_n}}={\displaystyle \frac{X_n-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}}$.

La variable aléatoire $Z_n$ prend les valeurs suivantes : $z_k={\displaystyle \frac{k-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}}$ où k est un entier naturel tel que $0⩽k⩽n$.
Pour tout entier naturel k compris entre 0 et n on a :$$P\left(Z_n=z_k\right)=P\left({\displaystyle \frac{X_n-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}}={\displaystyle \frac{k-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}}\right)=P\left(X_n=k\right)=p_k$$

Ainsi, quand $X_n$ prend la valeur k avec la probabilité $p_k$, alors $Z_n$ prend la valeur ${\displaystyle \frac{k-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}}$ avec la même probabilité $p_k$.

On a représenté graphiquement ci-dessous, pour $X_n\in \left[E\left(X_n-3\sigma \right);E(X_n+3\sigma )\right]$, les lois de probabilité de $X_n$ et de $Z_n$ pour $n=36$ et $n=400$ avec $p=\mathrm{0,2}$.

La loi de probabilité de $Z_n$ est représentée à l'aide d'un histogramme.
L'aire de chaque rectangle centré sur la valeur $z_k$ est égale à la probabilité $P\left(Z_n=z_k\right)=p_k$, il s'ensuit que chaque rectangle a pour dimensions ${\sigma }_n\times P\left(X_n=k\right)$ et ${\displaystyle \frac{1}{{\sigma }_n}}$.

Loi binomiale de paramètres $n=36$ et $p=\mathrm{0,2}$	Loi de probabilité de $Z_{36}={\displaystyle \frac{X_{36}-\mathrm{7,2}}{\mathrm{2,4}}}$

La « courbe en cloche » (représentée en rouge) est la courbe représentative de la fonction de Gauss définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$.
Quand n est de plus en plus grand, les aires des rectangles deviennent de plus en plus proches des aires correspondantes limitées par la courbe représentant la fonction de Gauss : $P\left(a⩽Z_n⩽b\right)\approx {\displaystyle {\int }_a^b}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}t$.

2 - Loi normale centrée réduite

Définition

Dire qu'une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite notée $𝒩\left(0;1\right)$ signifie que sa densité de probabilité est la fonction f définie sur $ℝ$ par $$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$$

espérance et écart-type de la loi normale centrée réduite

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $𝒩\left(0;1\right)$ son espérance mathématique est $E\left(X\right)=0$ et son écart-type est $\sigma \left(X\right)=1$.

propriété

Soit f la fonction densité de probabilité de la loi normale centrée réduite $𝒩\left(0;1\right)$ définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$. Comme $f\left(x\right)=f\left(-x\right)$ alors , la courbe représentative de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite $𝒩\left(0;1\right)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, par conséquent, les mesures des aires égales aux probabilités $P\left(X⩽0\right)$ et $P\left(X⩾0\right)$ sont égales, d'où $P\left(X⩽0\right)=P\left(X⩾0\right)$.
Or $P\left(X⩽0\right)+P\left(X<0\right)=1$ on en déduit que $P\left(X⩽0\right)=P\left(X⩾0\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

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Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $𝒩\left(0;1\right)$ on a : $P\left(X⩽0\right)=P\left(X⩾0\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Intervalle associé à une probabilité donnée

On retient en particulier :

calculs

Il n'est pas possible de déterminer les primitives de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite $𝒩\left(0;1\right)$ à l'aide de fonctions usuelles.
On peut néanmoins obtenir des valeurs approchées des probabilités $P\left(a⩽X⩽b\right)={\displaystyle {\int }_a^b}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x$ par des méthodes numériques, disponibles dans les calculatrices.

Du fait de la symétrie de la courbe de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite $𝒩\left(0;1\right)$, pour calculer $P\left(X⩽a\right)$ ou $P\left(X⩾a\right)$, on peut utiliser la méthode suivante :

Probabilité	$P\left(X⩽a\right)$ avec $a<0$	$P\left(X⩽a\right)$ avec $a>0$	$P\left(X⩾a\right)$ avec $a<0$	$P\left(X⩾a\right)$ avec $a>0$
Graphique
Calcul	$\mathrm{0,5}-P\left(a<X<0\right)$	$\mathrm{0,5}+P\left(0<X<a\right)$	$\mathrm{0,5}+P\left(a<X<0\right)$	$\mathrm{0,5}-P\left(0<X<a\right)$

3 - Loi normale

Définition

Soit μ un réel et σ un réel strictement positif.
Dire qu'une variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ, signifie que la variable aléatoire ${\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}$ suit la loi normale centrée réduite $𝒩\left(0;1\right)$.
On note : X suit la loi normale $𝒩\left(\mu ;{\sigma }^2\right)$.

remarques :

• Si X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ alors sa variance $V\left(X\right)={\sigma }^2$.
• La densité associée à une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ est la fonction f définie sur $ℝ$ par :$$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$$

• L'espérance μ de la loi normale est un paramètre de position.
  La courbe représentative de la fonction de densité admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=\mu$.
• L'écart-type $\sigma >0$ de la loi normale est un paramètre de dispersion.
  Plus l'écart-type σ est élevé, plus les réalisations de la variable aléatoire X sont dispersées autour de l'espérance mathématique μ.

Intervalles de fluctuation d'une loi normale

exemple

1. 1. À l'aide de la calculatrice on trouve $P\left(122⩽X⩽128\right)\approx \mathrm{0,495}$.

   2. $\begin{array}{rcl}P\left(X⩽120\right)& =& P\left(X⩽125\right)-P\left(120<X⩽125\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(120<X⩽125\right)\\ & \approx & \mathrm{0,133}\end{array}$

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   3. $\begin{array}{rcl}P\left(X⩽\mathrm{129,5}\right)& =& P\left(X⩽125\right)+P\left(125<X⩽\mathrm{129,5}\right)\\ & =& \mathrm{0,5}+P\left(125<X⩽\mathrm{129,5}\right)\\ & \approx & \mathrm{0,841}\end{array}$

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   4. $\begin{array}{rcl}P\left(X⩾\mathrm{130,4}\right)& =& P\left(X⩾125\right)-P\left(125⩽X<\mathrm{130,4}\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(125⩽X<\mathrm{130,4}\right)\\ & \approx & \mathrm{0,115}\end{array}$

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   5. $\begin{array}{rcl}P\left(X⩾\mathrm{118,7}\right)& =& P\left(\mathrm{118,7}⩽X⩽125\right)+P\left(X>125\right)\\ & =& P\left(\mathrm{118,7}⩽X⩽125\right)+\mathrm{0,5}\\ & \approx & \mathrm{0,919}\end{array}$

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2. Avec la calculatrice, $P\left(X⩽a\right)=\mathrm{0,871}$ pour $a\approx \mathrm{130,09}$.

3. La calculatrice permet de résoudre l'équation $P\left(X⩽k\right)=\alpha$ avec $\alpha \in \left]0;1\right]$. Or $$\begin{array}{ccccc}P\left(X⩾b\right)=\mathrm{0,02}& \iff & 1-P\left(X<b\right)=\mathrm{0,02}& \iff & P\left(X<b\right)=\mathrm{0,98}\end{array}$$ Soit en utilisant la calculatrice $b\approx \mathrm{134,242}$.

4. Un intervalle I de centre 125 est de la forme $\left[125-a;125+a\right]$ où a est un réel positif.
   On cherche donc le réel a tel que $P\left(125-a⩽X⩽125+a\right)=\mathrm{0,81}$.

   La courbe de la fonction de densité de la loi normale $𝒩\left(125;{\mathrm{4,5}}^2\right)$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=125$. On en déduit que :$$\begin{array}{rcl}P\left(125-a⩽X⩽125+a\right)=\mathrm{0,81}& \iff & 1-2\times P\left(X<125-a\right)=\mathrm{0,81}\\ & \iff & P\left(X<125-a\right)={\displaystyle \frac{1-\mathrm{0,81}}{2}}=\mathrm{0,095}\end{array}$$

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   Soit en utilisant la calculatrice $125-a\approx \mathrm{119,102}$ d'où $a\approx \mathrm{5,898}$ et $125+a\approx \mathrm{130,898}$.
   Un intervalle I de centre 125 tel que $P\left(X\in I\right)=\mathrm{0,81}$ est $\left[\mathrm{119,102};\mathrm{130,898}\right]$.

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