continuité et résolution d'équations

continuité et valeurs intermédiaires

continuité d'une fonction

fonction continue

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de contenant un réel a.
  • Dire que f est continue en a signifie que limxaf(x)=f(a).
  • Dire que f est continue sur I signifie que f est continue en tout réel appartenant à I.

Intuitivement une fonction continue est celle dont la courbe représentative peut être tracée en un seul morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou).

fonction continue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La fonction f est définie et continue sur

fonction non continue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La fonction f n'est pas définie sur l'intervalle [1;3].
f n'est pas continue sur

fonction définie non continue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La fonction f est définie sur
f n'est pas continue sur .

théorème

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de et a un réel appartenant à I.
Si f est dérivable en a alors, f est continue en a.

Démonstration

Pour tout réel x appartenant à I, xa f(x)-f(a)=(x-a)×f(x)-f(a)x-a

Par conséquent, limxaf(x)-f(a)=limxa[(x-a)×f(x)-f(a)x-a]=limxa(x-a)×limxaf(x)-f(a)x-a

Or si f est dérivable en a alors, limxaf(x)-f(a)x-a=f(a) donc si f est dérivable en a alors, limxaf(x)-f(a)=limxa(x-a)×f(a)=0

d'où limxaf(x)=f(a), ce qui prouve que f est continue en a.

remarque

La réciproque du théorème est fausse :

Fonction valeur absolue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Une fonction peut être continue en un réel a sans être dérivable en ce réel.

Par exemple la fonction valeur absolue f définie sur par f(x)=|x| est contine en 0 mais n'est pas dérivable en 0.


En terminale ES on ne demande pas de démontrer qu'une fonction est continue. D'après le programme, on conviendra que dans un tableau, les flèches obliques de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré.

Plus généralement, on admettra les résultats suivants :


théorème des valeurs intermédiaires

énoncé

f étant une fonction continue sur un intervalle [a;b] , m et M étant respectivement les minimum et maximum de f sur [a;b] , pour tout réel k compris entre m et M il existe au moins un réel c de [a;b] tel que f(c)=k.

Interprétation graphique

𝒞f est la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère.

[a;b] est un intervalle sur lequel la fonction f est définie. On note m le minimum de la fonction f et M le maximum de la fonction f sur [a;b] .

Si f est une fonction continue sur [a;b] alors, pour tout réel k [m;M] , il existe au moins un point d'intersection entre la droite d'équation y=k et la courbe 𝒞f dont l'abscisse c est solution de l'équation f(x)=k.

Courbes représentatives des fonctions u, v et f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

L'équation f(x)=k admet une, deux ou trois solutions selon les valeurs de k [m;M] .

conséquence

Si f est une fonction continue sur [a;b] , alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet au moins une solution c appartenant à [a;b] .

la continuité une condition suffisante :

Si la fonction f n'est pas continue, l'existence de solutions n'est plus certaine.

Par exemple, la fonction f représentée ci-dessous n'est pas continue en α. Pour les valeurs de k situées dans l'intervalle [c;d[ , l'équation f(x)=k n'a pas de solution.

Fonction non continue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Attention ! la continuité est une condition suffisante mais pas nécessaire :

une fonction f peut prendre toute valeur sur un intervalle sans que cette fonction soit continue.

Fonction non continue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Pour tout réel k [m;M] l'équation f(x)=k a des solutions dans l'intervalle [a;b] et pourtant la fonction f n'est pas continue en α.

Cas particulier

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] , si f(a) et f(b) sont de signes contraires ( i.e f(a)×f(b)<0) alors, il existe au moins un réel c de [a;b] tel que f(c)=0.

Si f est une fonction continue sur [a;b] telle que f(a) et f(b) sont de signes contraires alors, 0 est une valeur intermédiaire , donc l'équation f(x)=0 admet au moins une solution α dans [a;b] .

Fonction continue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exemple

Soit f la fonction définie sur par f(x)=x5-3x4+6x2+2x-1. La fonction f admet-elle une racine entre 0 et 1 ?

f est une fonction polynôme donc continue sur .

f(0)=-1 et f(1)=5. Donc f(0) et f(1) sont de signes contraires.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un réel c compris entre 0 et 1 tel que f(c)=0.


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