Intuitivement une fonction continue est celle dont la courbe représentative peut être tracée en un seul morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou).
La fonction f est définie et continue sur ℝ | La fonction f n'est pas définie sur l'intervalle . | La fonction f est définie sur ℝ |
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et a un réel appartenant à I.
Si f est dérivable en a alors, f est continue en a.
Démonstration
Pour tout réel x appartenant à I,
Par conséquent,
Or si f est dérivable en a alors, donc si f est dérivable en a alors,
d'où , ce qui prouve que f est continue en a.
remarque
La réciproque du théorème est fausse :
Une fonction peut être continue en un réel a sans être dérivable en ce réel.
Par exemple la fonction valeur absolue f définie sur par est contine en 0 mais n'est pas dérivable en 0.
En terminale ES on ne demande pas de démontrer qu'une fonction est continue. D'après le programme, on conviendra que dans un tableau, les flèches obliques de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré.
Plus généralement, on admettra les résultats suivants :
f étant une fonction continue sur un intervalle , m et M étant respectivement les minimum et maximum de f sur , pour tout réel k compris entre m et M il existe au moins un réel c de tel que .
est la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère.
est un intervalle sur lequel la fonction f est définie. On note m le minimum de la fonction f et M le maximum de la fonction f sur .
Si f est une fonction continue sur alors, pour tout réel , il existe au moins un point d'intersection entre la droite d'équation et la courbe dont l'abscisse c est solution de l'équation .
L'équation admet une, deux ou trois solutions selon les valeurs de .
Si f est une fonction continue sur , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet au moins une solution c appartenant à .
Si la fonction f n'est pas continue, l'existence de solutions n'est plus certaine.
Par exemple, la fonction f représentée ci-dessous n'est pas continue en α. Pour les valeurs de k situées dans l'intervalle , l'équation n'a pas de solution.
Attention ! la continuité est une condition suffisante mais pas nécessaire :
une fonction f peut prendre toute valeur sur un intervalle sans que cette fonction soit continue.
Pour tout réel l'équation a des solutions dans l'intervalle et pourtant la fonction f n'est pas continue en α.
Soit f une fonction continue sur un intervalle , si et sont de signes contraires ( i.e ) alors, il existe au moins un réel c de tel que .
Si f est une fonction continue sur telle que et sont de signes contraires alors, 0 est une valeur intermédiaire , donc l'équation admet au moins une solution α dans .
Soit f la fonction définie sur par . La fonction f admet-elle une racine entre 0 et 1 ?
f est une fonction polynôme donc continue sur .
et . Donc et sont de signes contraires.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un réel c compris entre 0 et 1 tel que .
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